谈谈中学数学知识与数学方法

曹建军

“数学方法”和通常人们所说的“物理学中的数学方法”、“经济学中的数学方法”不同，在那里把“数学本身”作为方法、作为工具对某种具体学科或内容进行研究，这里所说的是研究数学本身的方法。在中学数学教学中，应正确认识和处理好数学知识与数学方法的关系，这对于教学有重要意义。

一、认识一般科学方法

数学方法的一个重要特点，即数学知识本身即体现研究数学的方法，知识本身即具有方法性功能。且不说，如对数知识的产生就是为了便于计算，它自然可以构成数字计算的方法，在数学中，三角本身也可看成是一个数学工具，解析几何的知识本身即“携带”了坐标方法，它是运用这种方法进行研究的成果。此外，如研究了一元二次方程根的形式，同时也就给出了求根的方法，利用矩阵讨论线性方程组，对矩阵进行的初等变换，即是解方程组的方法。两个多项式恒等的概念，孕含了待定系数法；不等关系A≤B，暗示了一种求极值的方法，等等，不胜枚举。

一般科学方法的特征，由于其来源于包括数学在内的知识体系，自然地在数学中也有明显体现。如在科学知识的等级体系中，事情往往是这样的：抽象水平较高的知识对较具体的知识履行方法论的职能。在数学中高层次知识对于较低层次的知识，可能具有方法论意义或功能。最明显的例子，如微分学给出了求一类函数极值的统一方法。利用函数的有关性质，可以讨论和研究相应的式子、不等式和方程。从数学的发展来看，较低层次的研究内容，是较高层次研究的直观基础；在一个活动系统中曾是目的的东西，在另一个系统中可以成为手段，反映出活动的目的和手段相互间的辩证关系。另外，数学知识体系的发展，内容的组织，其内部逻辑关系与结构，就预示着化归原则，从而形成具有一般性的化归方法。

二、数学方法与数学知识

如果说，数学方法全部被包含在数学知识之中，学习数学知识也就包括了学习数学方法。这种说法也对，也不尽然、不准确。这要从数学本身谈起。长期形成的数学知识体系凝聚着人类的睿智，隐含着人们的思想、观念，反映出认识主体的信念、意向、行为准则和思维方式。数学并不是外在客观世界上已有之物，它是一种人类的活动，是人们在反映的基础上按照人类自身的需要逐步构建的认识成果。这不是指创造物质本身，而是指创造了形式即指客体的形式。在数学发生的过程中不可能完全撇开“超逻辑”的因素，如数的概念扩充时所做出的规定，等等。这些地方都渗入了人们的目的、意向，体现了人们的思想、观念，是数学知识系统与数学观念系统相互作用的产物。当然，最后需接受社会和历史的筛选。这就间接说明了数学方法来自于数学知识，同时也深受人们的思想、意向，即数学观念系统的影响。

三、数学知识与数学思想方法

如所周知，思想与方法有着密切关系，通常把它们作为一个整体，表述为“思想方法”。数学的核心是问题解决，问题解决是寻求某个问题深层关系结构的未知性态或未知因素。解题方法之所以成为方法，是在对这种结构关系认识的基础上，经过人的主观精神的作用，把对象之间可能的客观联结关系化为主观的经验和想法，然后，在实践活动中自觉地进行运作，再进入干预和发现的进程。方法经过主体的思维加工才能成为适用于某个问题的，有明确目标的操作程序。

思想不仅在方法的形成阶段中起到作用，而且在其运用中有重要影响。正是在运用中，在运用后的总结和反思过程中才逐漸明晰定形。概括并抓住这种解题思想，使之从具体问题情境中独立出来，进一步考察能否扩充它的适用范围，再对于能适用该思想的“问题类”进行概括，经过两次不同对象的概括：一次是对“思想”的概括，另一次是对适于思想的“问题类”进行概括，从而形成了有一定适用范围的方法。人们在掌握了某种具体方法后，很容易忽略掉其背景思想。这是因为方法的主要特征是程序性，在相应范围内，为了使方法便于应用，可以整理化简为一些法则或操作步骤，如解代数方程时的“移项变号”，它们往往可以摆脱其成因的思想，甚至可能脱离其理论依据，仅仅突出了“方法”的手段、途径即工具性的侧面。教育中忽视揭示思想，仅注重操作性训练，是产生负迁移的重要原因之一。

教学中，解题教学从根本上讲是包含在整个数学教学之中，数学中问题解决的场合都为解题教学提供了机会，在知识体系不断发展进程中揭示思想方法，学习解题，数学知识正是通过问题解决才得以发展的。之所以出现削弱知识的发生过程，而解题部分过分膨胀，甚至游离于基本知识教学之外的现象时有发生，其原因主要是过于对“方法”的程序性和操作性方面的强调，对“数学方法论主要是一种启发性的研究”不理解、不认识。“精讲多练”变成了在背景知识的强烈暗示下对运行步骤的重复，一旦情境改变或问题形式发生变化，则不是依据问题的外部特征去“一猜二套”，就是束手无策。这些进一步牵引了对“题型—方法”的依赖，陷于难于自拔的境地。

四、经营有成效的训练课

唤醒知识经验唤醒学生的已有认知，进行有趣味的学习，是有效训练的核心所在。练习课教学的主要任务就是唤醒和激发，即唤醒学生的认知与经验，使其以已有的知识去思考、去研究，能够有效运用经验去联想，找寻探究新知中的相关点，使学习成为一个探索发展的历程。一节有成效的训练课，教师要全面掌控学生的学习动态，让学生始终处于“愤悱”状态之中，激活他们的思维，诱发他们的创新活力。上述教学中，教师首先让学生解读问题，使其真正成为活动的参与者、实践者；其次，让学生积极思辨，使他们能够在不同思维的碰撞中领悟知识的本质，把握解决问题的要领。

五、激发学习潜能

激发学生的潜能，进行有信心的学习，是数学教学的任务之一。引发学生有主题的自学，既是现代课堂的一种追求，也是打造人本教育的有力举措。上述教学中，教师的引领性话语，既开启了学生深入探索的思维之门，又为学生主动探究和有热情的自学提供了必要的指导，使学生学会综合运用所学知识思考问题、解决问题。学生就在不断辨析中明白错解的缘由，并通过亲身体验、主动探究，从纷繁复杂的知识点中寻找到知识的脉络，形成自身的知识结构。同时，通过画示意图，实现了做中学、学中做的有机融合，使学生在画图、读图、交流等活动中明晰了问题的本质，知道比所蕴含的复杂关系，从而使知识的脉络在内隐中发生。研究性学习是对课本学习的超越，课本中的知识是静态呈现的，而解决好问题需要的是综合的知识和技能。