用线性规划方法创新解题

修延彬+陈敏

简单的线性规划知识给学生提供了数学建模，“用数学”的意识和实践机会。要求学生在重点理解基本概念的基础上，学会利用“图解法”解决平面区域问题，这也充分体现了数学的应用性和工具性。

一、用线性规划方法解二次方程问题

例1 实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，试求 的取值范围。

分析：本题利用二次方程根的分布，可得到关于的三个不等式，相当于线性规划问题中的约束条件，而 可看作目标函数，因此可考虑将本题转化为线性规划问题。并且这个目标函数的形式与直线的斜率的计算公式很相似，提示我们构造两点连线的斜率。

解：设f（x）=x2+ax+2b，

由题意可得，

f（0）>0f（1）<0f（2）>0？圯b>01+a+2b<02+a+b>0

如图1所示，建立以a为横轴，b为纵轴的平面直角坐标系，找到可行域，设可行域内动点M（a，b），则表达式 表示动点M（a，b）和定点C（1，2）连线的斜率，即KMC= ，由图1可知KBC

二、用线性规划方法解三角形问题

例2 已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，求 的取值范围。

分析：根据三角形三边之间的关系，及已知条件的不等式关系可得到a0，b>0，c>0这个不等式组是关于三个变量a，b，c的，要求的是两个量的比值的范围，看上去似乎很难与 建立起联系，但如果根据其特点进行变形，就可以转化为关于两个变量的不等式组，并且可以作为约束条件，这样就可转化为线性规划问题了。

解：设x= ，y= 则有10，y>0

因此，原问题转化为在上述约束条件下求的取值范围的问题，如图2所示做出上述这个约束条件下的可行域，由方程组x+y=1y+1=2x可得点A ， ，再由方程组x+y=2y+1=x可得点C ， ，易知

三、用线性规划方法解取值范围问题

例3 已知f（x）=px2-q，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围。

分析：根据已知条件可得到关于p，q的不等式组，f（3）也是关于p，q的线性方程，我们就可以将不等式组作为约束条件，

f（3）=9p-q作为目标函数，将其转化为线性规劃问题，这样就可使问题变得简易可行。

解：因为f（1）=p-q，f（2）=4p-q

所以-4≤p-q≤-1，-1≤4p-q≤5，

于是问题转化为：在约束条件p-q≥-4p-q≤-14p-q≤54p-q≥-1下，求Z=f（3）=9p-q的取值范围的问题。如图3，找到可行域ABCD（包括内部及边界），设Z=9p-q，即q=9p-Z，则Z表示直线q=9p-Z在q轴上截距的相反数。过点A（0，1）的直线的截距的最大值为1，于是Z的最小值为-1，过点C（3，7）的直线截距最小值为-20，于是Z的最大值为20。所以，-1≤Z≤20，即-1≤f（3）≤20。

以上几个例题虽有一定的难度，但具有几何意义，运用线性规划的方法解决，解法非常灵活巧妙，易于学生理解和掌握。

编辑 彭 锁