试论高中物理解题中量子霍尔效应的运用

吴飞

摘 要：量子霍尔效应是高中物理选修课程中的一个研究性学习内容，虽然属于选修性内容，但它在解决带电粒子在磁场中运动的相关问题时应用十分广泛。通过对量子霍尔效应的内涵进行分析，指出了量子霍尔效应在高中物理解题中应用的条件，最后通过实例对量子霍尔效应的具体应用进行分析，为高中物理的学习提供借鉴与参考。

关键词：高中物理；量子霍尔效应；解题运用

霍尔效应是新课标人教版高中物理教材选修的一个研究性教学内容，在教材中出现过两次，要求学生在实验中，通过研究性学习发现电子运动的规律。这体现了新课标的教学理念，也增强了学生对现代科技与生产实际相联系的理解，激发了学生学习物理的兴趣与爱好。霍尔效应在生活与物理解题中具有十分广泛的应用，通过量子霍尔效应与物理解题相结合，能提高学生的学习兴趣，还能加深学生对量子霍尔效应实验的理解。

一、量子霍尔效应分析

量子霍尔效应属于高中物理知识中的选学内容，但是在物理解题中应用比较广泛，学生通过对量子霍尔效应进行分析，有利于培养物理学习的兴趣，提高分析复杂带电粒子在电场中运动问题的能力，进而加强对量子霍尔效应的理解。根据经典霍尔效应理论的内涵，可以知道霍尔电阻RH的变化应随磁场B呈现出连

续变化的状态，并且随着电路中的载流子浓度n的变化而变化，并且随着n的增大而减小。但是，在1980年，克利青在实验研究中发现，在1.5 K极低温度和18.9 T强磁场的实验环境下进行霍尔实验，通过实验测量分析，发现金属-氧化物-半导体场效应晶体管中进行霍尔实验，霍尔电阻呈现出新的规律，他发现当霍尔电阻RH随磁场的变化而变化时，反应的结果出现了h一系列量子化的变化平台，即RH=Ne2的计算方法，其中h为普朗克常量，e为反应中的电子电量，N为正整数，并将反应中的这种现象称为整数量子霍尔效应（IQHE），也是量子霍尔效应。在该反应式中，QHE的概念可以简单理解为在磁场的环境中，带电粒子在磁场中运动，在一定的条件下，处在强磁场中的二维带电运动粒子，其霍尔电阻的电导率张量利用公式表示如下：

？滓=0■■0 （1）

在上面的公式（1）中，其中i是自然整数，也就是说在量子霍尔反应中，电磁场中的电流密度i严格地与电场E垂直，且电路中的电流值是量子化处理后的。

从上面的计算公式中可以看出，当电场Ex=0时，可以得到：

jx=？滓xyEy，jy=0 （2）

通过对上面的公式（2）进行分析计算，可以得到以下公式：

j=？滓HE=■E （3）

从上面的分析可以看出，量子霍尔效应主要应用于带电粒子在电场中运动的相关问题解决中，当电磁场中的电流密度i严格地与电场E垂直，且RH=Ne2中N为正整数时，可以采用量子霍尔效应解决此类问题。

二、量子霍尔效应在高中物理解题中的应用分析

量子霍尔效应涉及的知识面比较广泛，对粒子在电场中运动的分析具有重要意义，但由于高中生的知识有限，对量子霍尔效应的讲解不能太深入。但是，课本及辅导书的习题也涉及了量子霍尔效应的问题，主要是围绕经典霍尔效应的知识点进行设计和解答的。因此，为了培养学生物理知识的学习兴趣，老师需要给学生渗透一些量子霍尔理论知识，拓展学生的知识面，激发学生的学习兴趣，这对学生高中物理知识的学习具有十分重要的作用，可以通过一些问题实例提高学生对量子霍尔理论的理解。

例1.运用电磁流量计对导电液体的电量进行测量，电磁流量计的截面为正方形的非磁性管，具体如图1所示，它的每边边长为d，导电液体在电磁流量计内流动，在垂直液体流动方向上施加了一个匀强磁场，磁场的方向指向纸内，电磁感应的强度为B，电磁流量计测得导电液体a、b两点间的电势差为U，试对管内导电液体的流量Q进行分析。

■

解析：导电液体经磁场时会产生电磁感应，在洛仑兹力的作用下，通过电磁流量计的正离子向下偏转，负离子向上偏转，使得电磁流量计的管内电压发生变化，在管内液体的上表面积累负电荷，下表面积累正电荷，这样在电磁流量计的管内产生一个方向竖直向上的电场，进而形成一个相互垂直的电場和磁场的复合场（满足量子霍尔效应的基本条件），共同作用于进入电磁流量计管内的电子，使得进入这个复合场的正、负离子不仅受洛仑兹力，同时还受与洛仑兹力相反方向的电场力作用。在正、负电子不断向电磁流量计表面累积的过程中，电场力不断发生变化，当电场力与洛仑兹力达到平衡时，进入电磁流量计管内的离子匀速通过管子，不再发生偏转而做直线运动，此时a、b两点间的电势差U保持恒定。

解：通过上面对电子整个运动过程的分析可以得出，当a、b间保持恒定电势差U时应满足电场力与洛仑兹力相等。因此，可以得到：q·■=qvB，

这样就可以求出电磁流量计内导电液体的流速：

v=■

因此，我们可以求出导电液体的流量：

Q=v·d2=■

从上面的分析可以看出，电磁流量计中的电流密度Q严格地与电场E垂直时，说明满足量子霍尔效应，这样我们在解题中就可以运用量子霍尔效应的相关理论进行解题，不仅有利于学生对量子霍尔效应的理解，还能提高学生解决问题的能力。

例2.在原子反应堆的实验中，当抽动液态金属等导电液时，为了保证反应的严密性，不允许传动机械部分与这些反应堆中的流体相接触，常使用一种电磁泵与传动机械部分相连，如图2所示的这种电磁泵的结构。将导管置于磁场S中，当电流I穿过电磁泵的导电液体时，这种导电液体即被驱动，就会产生运动，如果导管的内截面积为a×h，电磁泵磁场区域的宽度为L，电磁泵的磁感强度为B，如果液态金属穿过磁场区域的电流为I，试分析驱动电流所产生的压强差应该是多少。

■

图2 原子反应堆的电磁泵

解析：本题设置的物理情景如下：当电流通过金属液体，并沿着图3所示的竖直方向向上流动时，电流将会受到磁场力的作用，而且电流方向与磁场力的方向垂直（符合量子霍尔效应的要求），电流将受到磁场的作用力，而磁场力的方向可以采用左手定则的方法进行判断。这个磁场力即为驱动液态金属流动的动力，我们就可以根据量子霍尔效应对其产生的压强差进行求解。

■

图3 例2的等价示意图

解：根据上面的分析可以得出，由于驱动力而使金属液体沿电流流动方向运动，并在管壁的两侧产生压强差？驻P，根据量子霍尔效应，可以得出电场力为：F=BIh，而？驻P=■，这样通过联立这两个公式求解，就可以得出电流流过时所产生的压强差的计算方法为：？驻P=■。

从上面的例题分析可以看出，在应用量子霍尔效应时需要满足它的基本条件：首先，电流运动的方向与电磁场的方向垂直；其次，从经典霍尔效应到量子霍尔效应之间应该是整数倍的关系。在解题的过程中，只要满足这两个条件，我们就可以考虑使用量子霍尔效应分析问题中的信息。

例3.有一个厚度为h、宽度为d的均匀厚度的导体板，将其放在与它垂直的、磁感应强度为B的匀强磁场中，如图4所示，当电流通过导体板时，试分析导体板的上侧面A和下侧面A'之间

电势差的情况。

■

图4

解析：由题意可知，导体板在一个均匀的磁场中通过导电电流，在外部磁场的洛仑兹力的作用下，运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧就会聚集正电荷，这样在导体板之间就会形成一個横向的电场，电场对电子施以静电力，静电力的方向与洛伦兹力的方向相反，当静电力与洛仑兹力达到平衡时，电子在磁场内做匀速直线运动，在导体板的上下就会形成一个稳定的电势差。

解：电子在运动的过程中受到的电场力与洛伦兹力相等，使

得电子达到平衡，做匀速运动，可以得出：■=evB，而导体板中的电流I的大小为：I=nev（dh），这样联立这两个公式，就可以求出导体板上侧面A和下侧面A'的电势差为：U=■=■=KnevdB，其中K为霍尔系数，K=■，进而求得导体板的电势

为：U=dvB。

从上面的分析可以看出，量子霍尔效应是一种发现、研究和应用都很广泛的磁电效应，能有效解决高中物理中的一些问题，

特别是带电粒子与磁场力的方向垂直运动的情况。从经典霍尔效应到整数量子霍尔效应再到分数量子霍尔效应，都在科技中得到了广泛的应用，而量子霍尔效应在物理探究性教学与学习中也具有十分广泛的用途。随着新的研究方法的应用，量子霍尔实验的元器件也比较容易获得，使得量子霍尔效应的实验也变得比较容易，这样学生可以通过量子霍尔实验进行研究性学习，从而能方便地理解量子霍尔实验，也能更好地将量子霍尔效应应用于解决物理问题中。

参考文献：

[1]冯剑盛.霍尔效应及其相关效应与高中物理教学[J].物理教师，2011（7）.

[2]余丽容.开展“霍尔效应”研究性学习破解高中物理学习难点[J].学园，2012（4）.

[3]于世新.霍尔效应及其相关效应与高中物理教学[J].物理教学，2013（4）.

[4]张会云.霍尔效应的发展及应用[J].纺织高校基础科学学报，2012（1）.

[5]陈元军.谈霍尔效应及其运用[J].考试周刊，2011（9）.