浅谈抽象函数的对称性与周期性

薛永红

[摘 要] 通过由浅入深、由易到难的方式对抽象函数的对称性、周期性进行探究，总结出抽象函数对称性、周期性的规律，得出“函数括号内和为定”则有对称性，“函数括号内差为定”则有周期性的结论。

[关 键 词] 抽象函数；和为定；差为定

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）35-0063-01

抽象函数是中学函数的重要组成部分，是对学生严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用能力的综合考查。因此，对抽象函数的对称性与周期性进行探究是很有必要的。

一、抽象函数y=f（x）的对称性

（一）关于直线对称

抽象函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称？圳f（a-x）=f（a+x）（1）上式是抽象函数最基本的一个轴对称关系，我们可理解为函数y=f（x）在直线x=a的左右两边相等，所以函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。

探究：若函数y=f（x）符合f（a-x）=f（b+x），不妨令a

由（1）式研究方式可知，该函数在x=a的左边和x=b右边相等（x>0时），或在x=a的右边和x=b左边相等（x<0时）。故易知该函数的图象关于直线x=■对称。

得f（a-x）=f（b+x）？圳函数y=f（x）的图象关于直线x=■对称（2）

观察（1）（2）不难发现，（1）中（a-x）+（a+x）=2a，（2）中（a-x）+（b+x）=a+b，其中2a，a+b为定值，故得出“函数括号内和为定”则有对称性，对称轴为x=■=■。

推论：f（x）=f（2a-x）？圳y=f（x）的关于直线x=a对称。

特殊的，若函数y=f（x）满足f（x）=f（-x），则函数y=f（x） 的图象关于直线x=0（y轴）对称。此时称该函数为偶函数。

（二）关于点对称

抽象函数y=f（x）的图象关于点（a，0）对称？圳y=f（a-x）+f（a+x）=0 （3）

（3）上式是抽象函数最基本的一个点对称关系，我们可理解为函数y=f（x）在点（a，0）的左右两边互为相反数，所以函数y=f（x）的图象关于点（a，0）对称。

探究：若函数y=f（x）符合f（a-x）=f（a+x）=2b，不妨令a

得f（a-x）+f（a+x）=2b？圳y=f（x）函数的图象关于点（a，b）对称（4）

推论：f（a-x）+f（b+x）=2b？圳函数y=f（x）的图象关于点（■，c）对称（5）

观察（3）（4）（5）不难发现，该对称性仍有“函数括号内和为定”则有对称性的特征。

特殊的，若y=f（x）满足f（x）+f（-x）=0，则函数y=f（x）的图象关于原点（0，0）对称。此时，称该函数为奇函数。

二、函数的周期性

对于函数y=f（x），若f（x+T）=f（x）（T为不等于0的常数）恒成立，则这个就具有周期性，是个周期函数。常数称为这个函数的一个周期。

探究：若函数y=f（x）满足如下关系，则该函数是否具有周期性？

（1）f（x+T）=-f（x）；

（2）f（x+T）=■或f（x+T）=-■；

（3）f（x+a）=f（x+b）。

分析：由（1）得f（x+2T）=-f（x+T）=-（-f（x））=f（x），所以（1）具有周期性，周期为2T.

由（2）得f（x+2T）=■=f（x）或f（x+2T）=-■=f（x），所以（2）也具有周期性，周期为2T.

在（3）中令x=x-a得f（x-a+a）=f（x-a+b）？圳f（x）=f（x+b-a），所以（3）也具有周期性，周期为b-a。

分析不难发现，周期性具有“函数括号内差为定值”的特性，故得出“函数括号内差为定”则有周期性。

三、对称性，周期性和奇偶性的综合应用

定理1：若函数f（x）在R上满足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=f（b-x）（其中a≠b），则函数y=f（x）以2（a-b）为周期。

定理2：若函数f（x）在R上满足f（a+x）=f（a-x），且周期为T，则函数y=f（x）关于x=■，x=a+T也对称。

定理3：若函数f（x）在R上满足f（x+T）=f（x），且f（-x）=f（x），则函数y=f（x）关于x=■对称。

综上所述，定义在R上的函数y=f（x）在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

总之，灵活应用函数的这三个性质，对学生逻辑思维能力、想象力以及函数知识灵活运用的能力的提升有很重要的作用。