声光子晶体带隙特性与声光耦合作用研究综述1)

马天雪苏晓星董浩文汪越胜,2)张传增

∗(北京交通大学工程力学所，北京100044)†(德国锡根大学土木工程系，德国锡根D-57076)

创刊60周年专栏

声光子晶体带隙特性与声光耦合作用研究综述1)

马天雪∗苏晓星∗董浩文∗汪越胜∗,2)张传增†

∗(北京交通大学工程力学所，北京100044)†(德国锡根大学土木工程系，德国锡根D-57076)

声光子晶体是一种同时具有光子和声子带隙的周期性结构.声光子晶体为同时控制电磁波和弹性波的传播提供了一个系统的平台，并在光学、声学及声光多功能器件、腔光力学等领域展现了十分广阔的应用前景.论文首先介绍了声光子晶体的基本概念，包括声光子晶体的材料、空间周期分类、能带结构的计算方法等；阐述了不同体系下声光子晶体双重带隙的特性，以及拓扑优化方法在声光子晶体带隙优化方面的应用；然后简要介绍了腔光力学，以及计算声光耦合作用的准静态方法和光力耦合系数方法，并针对当前各种声光子晶体结构中声光耦合作用的研究进行了阐述；还进一步介绍了声光子晶体波导和传感器的相关研究;最后，基于当前声光子晶体的研究进展对未来的研究方向进行了展望，其中涉及到增强声光子晶体谐振腔的声光相互作用、三维声光子晶体的研究、声光超构材料的设计、声光子晶体器件设计与应用等.

光子晶体，声子晶体，声光子晶体，声光双重带隙，声光耦合，腔光力学

引言

作为能量的载体，波动(如电磁波、声波、弹性波等)与人们的生活密不可分.为了实现对波动行为的操控，研究者相继提出了光子晶体(photonic crystal,PTC)[12]和声子晶体(phononic crystal,PNC)[3]的概念，随后展开了广泛且深入的研究.光子/声子晶体是由光学/力学(或声学)参数不同的介质在空间上周期排列所形成的，其中光子/声子晶体可以控制电磁波/弹性波(或声波)的传播.光子/声子晶体与传统晶体类似，只是光子/声子晶体的组成单元是宏观介质材料.光子/声子晶体的一个重要物理特性是具有带隙(bandgap)，带隙频率范围内的波在晶体中的传播行为将被禁止.除了光子/声子带隙外，光子/声子晶体还可以实现诸如缺陷效应[4-5]、波的引导和弯折[6-7]、负折射[8-9]等物理现象，并在光学/声学器件领域具有广泛的应用前景.

光子晶体与声子晶体具有诸多相似性，两者的研究方法也具有一定的相通性.在相当长的时间里,光子晶体与声子晶体的研究相互借鉴，但是一直平行独立地发展，很少有研究涉及到两个领域的交叉问题.实际上，当电磁波和弹性波(或声波)在同一介质内传播时两者容易发生相互作用，这从光电子和通信等领域中各种声光调制器、传感器的发展可以看出[1011].最简单的，弹性波(或声波)产生的变形或位移可以调控电磁波的相位.除此之外，两者之间还可以发生非线性作用，如布里渊散射(Brillouin scattering)效应[1213].若电磁波和弹性波(或声波)同时被局域在微纳米尺度的结构中，由于态密度的增大可以导致两者间的相互作用增强[14].

随着微纳米加工技术的不断发展，光学以及声学元器件越来越小型化.在微纳米尺度下,对于某些能同时传播电磁波和弹性波(或声波)的介质(如透明材料、半导体材料等)，若其光学、力学(或声学)参数同时发生周期性变化，则同一个周期结构可能同时产生光子和声子带隙.这种同时具有光子和声子带隙的周期结构被称为声光子晶体(phoxonic crystal,PXC)[15].声光子晶体是一种能够同时操控电磁波和弹性波(或声波)传播的周期性结构，其中字母“x”代表“t”和“n”，意味着声光子晶体既是光子晶体又是声子晶体.在一些文献中也会采用光力学晶体或光机(械)晶体(optomechanical crystal,OMC)的概念[16].2006年，Maldovan和Thomas[17-18]通过分析空气孔周期排列在硅基体中和硅柱周期排列在空气中这两种体系，第一次从理论上证实了上述周期结构可以同时产生光子和声子带隙，并通过引入点缺陷实现了电磁波和弹性波在缺陷位置的同时局域化.2009年，Sadat-Saleh等[15]第一次明确提出了声光子晶体的概念.同年，Eichenfiel等[16,19]提出了光力学晶体的概念，并通过理论和实验结果展示了光力学晶体(或声光子晶体)结构作为超高精度力或质量传感器的可能性；他们还指出，光力学晶体概念还可以广泛地应用于可调节光子系统、光通讯、增强光学非线性效应和光缓存等领域.除此之外，由于声光子晶体同时具有光子晶体和声子晶体的特性，还可以将声光子晶体作为基础单元设计多功能(即光学和声学功能)器件，如波导[2021]、传感器[22]等.

1 声光子晶体基本概念

声光子晶体是由光学和力学(或声学)材料性质不同的介质在空间上周期排列而形成的，其最重要的物理特性是同时具有光子和声子带隙.声光子晶体中相互连通的部分为基体，相互不连通的部分为散射体.通常情况下，声光子晶体的结构尺度属于微纳米级别，其结构形式是在固体基体中周期性地移除基体材料(或者说在基体内周期性地形成孔洞)，其中形成的孔洞通常视为空气或真空.由于弹性波(或声波)可以在绝大多数固体介质中传播，因此声光子晶体的基体材料通常是光子晶体的基体材料，如硅[16,20,23]、金刚石[24-25]、蓝宝石[26]、氮化硅[19]、氮化铝[27]和铌酸锂[15]等.

与光子晶体和声子晶体类似，根据声光子晶体的空间周期性，可以将其分为一维、二维和三维体系三类，如图1所示.一维声光子晶体是由材料参数不同的均匀介质层组成的多层结构，比如两种不同介质沿一个方向交替层叠而成的结构，如图1(a)所示.二维声光子晶体的特征是材料参数在两个方向上呈周期性变化(见图1(b))，柱体散射体在平面内可以以正方晶格、长方晶格、三角晶格或蜂窝晶格等形式排列.三维声光子晶体的特征是材料参数在3个方向上均呈周期性变化(见图1(c))，散射体的空间点阵结构则可以是简立方、面心立方或体心立方等形式.

图1 一维、二维和三维声光子晶体的示意图Fig.1 Schematic diagramsof one-dimensional,two-dimensionaland three-dimensionalphoxonic crystals

声光子晶体的最小周期尺寸为晶格常数，组成周期结构的最小单元称为单胞(或基元).一般来说，声光子晶体的光子带隙和声子带隙对应的波长与晶格常数处在同一个数量级.若在完美的声光子晶体中引入缺陷，如点缺陷或线缺陷，周期性的破坏可能导致同时产生光和声的缺陷态，即电磁波和弹性波(或声波)同时局限在点缺陷位置或者沿线缺陷传播.缺陷中的电磁波和弹性波对应的波长相近，且与晶格常数同属于一个数量级.然而，由于在固体介质中电磁波与弹性波(或声波)的传播速度相差几个数量级，导致声光子晶体结构中的电磁波和弹性波(或声波)的频率差异巨大.以通讯应用为例，电磁波的工作波长约为1550nm(194THz)，则令光子带隙的中心频率约为194THz，而声子带隙对应的频率仅为几个吉赫兹[16,20].

能带结构(band structure)，也称频散关系或色散关系(dispersion relations).在光子晶体和声子晶体的研究中，能带结构通常表示为本征频率ω与Bloch波矢k之间的关系，如图2所示.由于结构的平移周期性和点群对称性，波矢k遍历不可约布里渊区，即可获得本征频率ω随波矢k变化的曲线，即能带结构.可以证明，当波矢k在布里渊区高对称点上时，本征频率取极值.因此，如果只为确定带隙，波矢k遍历不可约布里渊区的边界即可.

图2 (a)二维声光子晶体的声子能带结构,(b)对应的不可约布里渊区Fig.2(a)Phononic band structureof a2D phoxonic crystal,and(b)the corresponding Brillouin zone

光子和声子能带结构是分析声光子晶体光学和声学特性的基础.设电磁波和弹性波以谐波形式在无源的声光子晶体中传播，电磁波的控制方程为

其中，E为电场强度，ε和µ分别为介质的相对介电常数张量和相对磁导率张量，c为真空中的光速，r为位置矢量，弹性波的控制方程为

其中，u为位移矢量，C和ρ分别为介质的弹性张量和质量密度.计算光子和声子能带结构也就是求解电磁波和弹性波在周期结构中的本征频率问题.自光子晶体和声子晶体的概念提出以来，已经发展出了多种比较成熟的数值方法用于计算光子和声子能带结构，计算方法主要分为本征函数展开法和离散方法[28].前者包括平面波展开法(planewave expansion,PWE)[2930]、多散射法(multiple scattering theory,MST)[3132]、狄利克雷--纽曼映射法(Dirichlet to Neumann,DtN)[3334]、广义多极子法(generalizedmultipole technique,GMT)[3536]等；后者包括边界元法(boundary elementmethod,BEM)[3738]、时域有限差分法(fi nite di ff erence time domain,FDTD)[3942]、有限元法(fi nite elementmethod,FEM)[4345]、无网格法(meshfree method)[4647]等.上述方法均可以计算声光子晶体的光子和声子能带结构.

2 声光子双重带隙的特性

同时产生光子和声子带隙(也称为双重带隙)是实现声光子晶体众多应用的基础，如何使声光子晶体同时产生更宽的光子和声子带隙是带隙调控的一个重要目标.需要指出的是，实现电磁波和弹性波的局域化并不一定需要完全带隙(completebandgap，沿任意方向传播的任意模式的波都将被禁止)，利用模式带隙(mode bandgap，关于结构的对称面呈某种对称性的电磁波或弹性波将被禁止)也可以实现波的局域化.这为声光子晶体双重带隙的调控和结构设计提供了更广的设计空间.正如上一节所指出的，声光子晶体多为空气/电介质(如硅)体系，且基体材料的选择范围相对较小，因此光子和声子带隙的调控以改变单胞的结构形式和几何参数为主，包括了晶格的排列形式和单胞的拓扑结构(多数情况下可认为是空气孔的分布和形状).

2.1 一维和二维声光子晶体

与二维体系相比，对一维声光子晶体带隙特性的研究相对较少.在声光子晶体的概念提出之前，Trigo等[48]通过实验观测到电磁波和弹性波可以同时局限在光子--声子谐振腔内(见图3(a))，但是由于结构中的电磁波和弹性波对应的晶格尺度不同，上述结构并不是严格意义上的声光子晶体.Psarobas等[49]从理论上证实了由硅与二氧化硅层交替排列所构成的一维声光子晶体可以同时产生光子和声子带隙，如图3(b)所示.Tang等[50]的研究表明，由压电材料和压磁材料组成的三相一维声光子晶体可以同时产生微波光子带隙和声子带隙(见图3(c)).

图3 一维声光子晶体[48-50]Fig.3 1D phoxonic crystals[48-50]

对于二维声光子晶体，Maldovan等[1718]于2006年第一次从理论上证明了周期结构可以同时产生光子和声子带隙，他们分别讨论了空气圆孔周期排列在硅基体中和硅柱周期分布在空气中的情况.随后，Sadat-Saleh等[15]系统地研究了晶格形式和几何参数对空气/铌酸锂体系声光子晶体带隙的影响(见图4(a))，他们指出在六角晶格中引入不同尺寸的散射体有利于同时产生光子和声子带隙，但由于铌酸锂的折射率小于硅，上述结构不易得到光子完全带隙.Bria等[26]指出,空气/蓝宝石和空气/硅体系的声光子晶体分别可以在微波和光通讯波段产生光子和声子带隙.然而，上述研究仅考虑了圆形孔或圆形散射体的情况，所得到的光子和声子带隙相对较窄，甚至某些条件下不能得到光子或声子完全带隙.类比纹理连接的光子晶体结构[5153]，Ma等[54]研究了纹理拓扑形式(或者称为网络拓扑形式)的二维声光子晶体的带隙特性，如图4(b)所示.他们的研究表明，与传统的圆形孔声光子晶体相比，纹理拓扑形式的声光子晶体有利于同时产生较宽的光子和声子完全带隙，在正方晶格下其相对带隙宽度(带隙宽度与带隙中心频率之比)随几何参数的变化如图5所示.

图4 二维声光子晶体[15,54]Fig.4 2D phoxonic crystals[15,54]

一维或二维声光子晶体作为一种理想结构，较难在实验上得以验证.光子晶体光纤(photonic crystal fiber则是一类与二维声光子晶体相类似的准三维结构[5556]，如图6所示.光纤由高纯度的二氧化硅构成，其中不仅可以传输电磁波，也可以传输弹性波(或声波)，当光纤中传输的电磁波强度较高时会发生受激布里渊散射[1213].Russell课题组[57-60]的研究表明,光子晶体光纤也可以产生声子带隙，并开展了一系列光子晶体光纤中受激布里渊散射现象的实验研究.此外，在光子晶体光纤中传播的弹性波(或声波)的性质近年来也开始受到关注[6163].

图5 纹理拓扑形式声光子晶体的相对带隙宽度随几何参数的变化[54]Fig.5 Variationsof the relativebandgap w idthsas the functionsof geometricalparameters for the phoxonic crystalsw ith veins[54]

图6 光子晶体光纤[55]Fig.6 Photonic crystal fiber[55]

2.2 声光子晶体梁和板

目前光子晶体梁或板结构的加工工艺已经相对成熟，这使得声光子晶体梁或板结构的制作和实验更容易实现.与一维和二维体系不同，声光子晶体梁和板具有有限的厚度，其中梁结构沿一个方向具有周期性，而板结构沿两个方向具有周期性，如图7所示.声光子晶体梁或板结构可以在硅基板上通过刻蚀等手段形成周期分布的空气孔而实现.

图7 声光子晶体梁[66,68]((a),(b))和板[71,75,77]((c)～(e))Fig.7 Phoxonic crystalbeams[66,68]((a),(b))and slabs[71,75,77]((c)～(e))

对于声光子晶体梁，目前应用最广泛的结构形式是在硅基体上刻蚀圆形孔(或椭圆形孔)[24,6467]，如图7(a)所示.虽然这类结构易于加工，但是通常只能产生光子和声子的模式带隙.与此类似的还有在硅基体上刻蚀矩形孔的情况[16,19].利用模式带隙可以实现电磁波和弹性波的局域化，然而在样品加工过程中不可避免出现误差，这可能导致具有不同对称性模式间的相互耦合，为实际应用带来不利影响[14].以谐振腔结构为例，加工误差主要引起声学(或力学)谐振腔模式的能量耗散并降低品质因子.若利用完全带隙(尤其是声子完全带隙),则可以降低加工误差造成的不利影响，同时提高谐振腔的性能.为了得到声子完全带隙，Pennec等[68]在具有圆形孔的声光子晶体梁左右两侧各设置了一系列的振子(见图7(b))；他们指出,具有圆形孔的声光子晶体梁可以产生光子偶模带隙，而通过引入振子则可以产生声子完全带隙.

与声光子晶体梁类似，目前为止报道最多的声光子晶体板结构也是在硅基体上刻蚀圆形孔(或椭圆形孔)而形成的[2074]，如图7(c)所示.Mohammadi等[69]和Pennec等[70]系统研究了具有圆形孔的硅基声光子晶体板，讨论了结构几何参数和晶格形式对光子和声子带隙的影响.结果表明：正方晶格和蜂窝晶格的声光子晶体板有利于产生光子和声子模式带隙，蜂窝晶格体系更适合产生光子和声子完全带隙，然而在光子晶体领域应用最广泛的三角晶格体系并不利于同时产生光子和声子带隙.Safavi-Naeim i等[75]和Mayer-A legre等[76]用弹簧-质量结构取代圆形孔，并提出了一种具有十字形孔和雪花形孔的声光子晶体板结构(见图7(d))；与圆形孔结构相比，这类结构可以产生更宽的光子模式带隙和声子完全带隙，且结构可设计性更强.El Hassouani等[77]在二氧化硅基板上周期放置硅柱(见图7(e))，理论上证明了这类声光子晶体板可以在较广的几何参数范围内产生较宽的光子和声子带隙.

2.3 三维声光子晶体

三维声光子晶体可以从真正意义上实现在3个空间维度上对电磁波和弹性波(或声波)的操控.由于在设计、制备和计算等方面存在诸多困难，三维声光子晶体的研究仍处于起步阶段.Papanikolaou等[78]从理论上预测将金属球周期置于环氧树脂基体可以得到光子和声子完全带隙.Akimov等[79]的研究证实了蛋白石结构的二氧化硅光子晶体可以同时产生光子和声子方向带隙，如图8(a)所示.针对空气/硅体系，Ma等[80]提出了纹理拓扑形式的三维声光子晶体结构(见图8(b))，同时指出这类结构可以同时产生较宽的光子和声子完全带隙，图9显示了其相对带隙宽度随几何参数的变化情况.

图8 三维声光子晶体[79-80]Fig.8 3D phoxonic crystals[79-80]

图9 纹理拓扑形式声光子晶体的相对带隙宽度随几何参数的变化[80]Fig.9 Variationsof the relativebandgap w idthsas the functionsof geometricalparameters for the phoxonic crystalsw ith veins[80]

2.4 声光子准晶

光子晶体和声子晶体概念的提出也引起了人们对准周期结构中波的传播特性产生兴趣，并相应地提出了光子准晶(photonicquasicrystal)[8185]和声子准晶(phononic quasicrystal)[8690]的概念.电磁波和弹性波(或声波)在光子准晶和声子准晶中传播也会发生一些奇特的物理现象，如带隙[8182]、局域化[82-83]、负折射[91]等.2016年，Yu等[92]研究了具有8重旋转对称性的二维声光子准晶(phoxonic quasicrystal)，发现准晶结构可以同时产生光子和声子带隙，并指出无缺陷声光子准晶可以实现电磁波和弹性波(或声波)的局域化，如图10所示.同年，Wang等[93]的研究表明，即使以折射率较小的铌酸锂为基体，具有8重旋转对称性的二维声光子准晶同样可以产生光子和声子带隙，并且通过引入点缺陷分析了光子和声子的局域化模式.

图10 二维声光子准晶[92]Fig.10 2D phoxonic quasicrystals[92]

2.5 声光子晶体的拓扑优化设计

光子和声子能带结构很大程度上依赖于单胞的拓扑形状，因此设计单胞的拓扑形状是获取更优带隙特性的一个重要途径.拓扑优化(topology optim ization)作为一种数值方法可以同时有效地处理结构的几何和物理性质的改变，目前已经广泛应用于光子和声子晶体的结构设计领域.将拓扑优化应用于声光子晶体领域，传统的经验和直观设计可以转变为基于数学模型的自动优化设计方法，从而获得性能卓越的结构，并探索出新的拓扑形式.Dong等[94]于2014年首次针对空气/硅体系的二维声光子晶体的带隙和谐振腔进行了多目标优化设计，得到了理想的结构形式，如图11(a)所示.随后，Zhang等[95]基于多级子结构策略，对二维声光子晶体的带隙特性也进行了多目标优化设计(见图11(b)).Dong等[96]于2017年研究了旋转对称性对二维声光子晶体拓扑优化的影响，研究结果显示,引入旋转对称性可获得带隙较宽的声光子晶体，如图11(c)所示.

图11 拓扑优化的声光子晶体结构[94-96]Fig.11 Topology optimized phoxonic crystals[94-96]

3 声光子晶体结构中的声光耦合作用

声光子晶体结构中的声光耦合问题与近年来迅速发展的腔光力学或腔光机械(cavity optomechanics)密不可分.声光子晶体为腔光力学注入了新的研究内容，与此同时腔光力学的发展也促进了声光子晶体的研究.

3.1 腔光力学

早在400年前，开普勒在解释为什么彗尾方向总是背离太阳时就已经提出了光压(optical pressure)的假设.然而由于光的力学效应太过微弱，直到1960年激光问世，光的力学效应才真正开始被利用[97].近年来，随着先进镀膜技术和微纳米加工技术的发展，光学谐振腔的光学谐振模式和力学(或声学)谐振模式之间通过光压发生的相互作用受到了广泛关注，并导致了腔光力学这一研究领域的迅速发展[98-101].

图12给出了经典的法布里--珀罗(Fabry-P´erot)腔光力学系统，其中一面镜子固定而另一面镜子(相当于力学振子)可以自由移动.光学谐振腔模式的共振频率依赖于自由镜子(力学振子)的位置，一旦谐振腔内光场产生的光压改变自由镜子的位置，则谐振腔失谐，于是谐振腔内光场强度发生改变从而导致光压改变，反过来影响镜子的位置.即谐振腔的力学模式在改变其光学模式的同时光学模式也在改变力学模式.这种反馈机制，不但使得腔光力学系统可以囚禁、冷却力学振子，还展示出丰富的非线性物理现象.尽管微镜子、纳米梁等力学振子在光压作用下运动模式十分复杂，可能涉及到各种振动、扭转模式，但实验上发现只要其力学模式的品质因子(quality factor)足够高，则可以用一个单模的阻尼振子来描述其运动[102103].目前为止，科研工作者已经在不同尺度范围上实现了腔光力学系统，其中包括引力波探测器[104]、微镜子[105106]、光学微谐振腔[107-108]等.声光子晶体为系统地设计谐振腔的光学和声学(力学)模式提供了可能，并丰富了腔光力学的研究内容.

图12 法布里--珀罗腔光力学系统Fig.12 Fabry-P´erotoptomechanicalsystem

3.2 计算声光耦合作用的方法

对于声光子晶体结构中的声光相互作用问题，通常需要考虑移动界面效应(moving interface e ff ect)和光弹效应(photoelastic e ff ect)[14,64]，其中前者也被称为移动边界效应(moving boundary e ff ect).移动界面效应为表面效应(surface e ff ect)，表现为在弹性波扰动作用下电介质体--空气界面形状发生改变；光弹效应为体效应(bulk e ff ect)，表现为由应变引起的电介质体内部折射率(或介电常数)的改变.折射率的改变量与应变有如下关系[10]

其中，nij为折射率张量,Skl为应变张量,pijkl为光弹系数张量.需要指出的是，实际上其他一些效应(热--力效应、热--光效应、表面效应、残余应力等)也会影响耦合强度[109111]，但是在多数情况下忽略其影响.

目前为止，研究声光子晶体结构中声光耦合作用强度的方法主要有准静态方法和计算光力耦合系数(optomechanical coupling coe ffi cient)方法[14].对于准静态方法，由于声光子晶体谐振腔中电磁波的工作频率比弹性波高约5个数量级，因此对于电磁波来说，弹性波扰动过程可以视为准静态过程.利用准静态方法计算声光耦合问题的具体方法如下.

(1)分别计算声光子晶体谐振腔结构的光学和声学(力学)腔模式的本征频率和本征场.

(2)通过合理施加单频弹性波扰动，激发出声光子晶体谐振腔的声学腔模式.

(3)将一个声学腔模式的周期划分为不同的相位(时间步)，得到每个相位对应的位移场和应变场分布，以及结构在变形后的几何模型.通过式(3)计算得到谐振腔变形后新的折射率分布.

(4)针对每个相位，基于变形后几何模型和新的折射率分布重新计算光学腔模式，并得到声扰动作用下光学腔模式的本征频率.在计算过程中，若只考虑变形后的几何模型则结果对应移动界面效应的影响；若只考虑折射率的变化则结果对应光弹效应的影响；若同时考虑上述两个方面则对应移动界面和光弹效应共同作用下的结果.

对于计算光力耦合系数g，Eichenfiel等[16]和Chan等[64]基于一阶电磁波问题的微扰理论分别给出了在移动界面效应和光弹效应作用下光力耦合系数的表达式.基于移动界面效应的光力耦合系数的具体形式如下

其中，n为界面(电介质域边界)的外法向单位向量，E||为平行于界面的电场分量，D⊥为垂直于界面的电位移场分量，∆ε=ε1-ε2为电介质与空气介电常数之差，为电介质与空气介电常数倒数之差，表示在所有考虑的谐振腔边界(电介质/空气界面)上作面积分，表示力学/声学模式(振子/谐振腔)的零点运动(zero-point motion)的振幅，或者说单一声子的最大位移，其中meff为声学(力学)谐振腔模式的等效质量，ωm为力学模式的频率，ħ为约化普朗克常数.基于光弹效应的光力耦合系数的具体形式如下

移动界面效应和光弹效应共同作用下的光力耦合系数g可以由下面的关系计算得到

光力耦合系数g反映了声学(力学)振子(或者说谐振腔模式)零点运动引起的光学模式频率的变化，或者说由振子的零点运动引发的单一光子与单一声子间相互作用的强度.

3.3 声光子晶体结构中的声光耦合作用

Psarobas等[49]理论上研究了一维声光子晶体谐振腔中的声光耦合作用，并指出谐振腔中产生的非线性耦合效应(多声子交换)是光弹效应和多层结构界面纵向振动共同作用的结果；利用弹性波可以有效地对电磁波进行调控，在弹性波扰动作用下电磁波谐振腔模式的频率发生明显地改变，如图13所示.A lmpanis等[112]利用一维声光子晶体谐振腔模型，理论上分析了非线性声光作用产生的条件，即提高弹性波激励的强度或者通过谐振腔模式的对称性令一阶声光耦合作用消失.Rolland等[113]和El-Jallal等[114]系统研究了二维声光子晶体点缺陷谐振腔中的声光耦合作用，研究表明谐振腔模式的对称性，尤其是声学模式的对称性，是影响声光耦合作用的关键因素.区别于体波模式，Ma等[115]设计了声光子晶体表面模式谐振腔，电磁波和弹性波可以同时局域在谐振腔表面，并研究了谐振腔中的声光耦合作用.

图13 在非共振频率(虚线)和共振频率(实线)的弹性波作用下电磁波谐振腔模式频率随时间的变化[49]Fig.13 Variationsof theelectromagnetic cavitymode frequency asa function of time for theelastic waveexcitation o ff-resonance(dashed line)and at resonance(solid line)[49]

与上述一维或二维体系相比，更多学者将注意力放在一维声光子晶体纳米梁谐振腔上.目前为止，已经有多种不同的一维声光子晶体纳米梁谐振腔的理论[24,67,116-120]和实验[16,19,23,64-66,121-127]研究,如图14所示.Eichenfiel等[16,19]的开创性工作(见图14(a)和图14(b))，将声光子晶体(光子和声子带隙概念)引入了腔光力学领域，降低了力学模式的能量耗损，减小了力学模式的等效质量，最终提升了腔光力学系统(谐振腔)对力变化的灵敏度.Gomis-Bresco等[23]在光子模式带隙和声子完全带隙的基础上设计了声光子晶体纳米梁谐振腔(见图14(c))，并通过实验分析了谐振腔中的声光耦合作用，指出利用声子完全带隙可以大幅降低力学模式的能量损失.与此不同，Wu等[123]设计并实验验证了可以检测扭转力的分离型--纳米梁谐振腔(见图14(e))，其中纳米梁的振动方向垂直于周期平面.

Chan等[64]提出了一个新的提高力学模式品质因子的方法，即在谐振腔的外侧设置声子屏障(即在所关注的频率范围内具有声子完全带隙的声子晶体结构)，如图14(d)所示.该方法可以在不降低光学谐振腔模式性能的同时提高力学模式的品质因子，此外通过调节声子带隙的频率，声子屏障可以用于各种纳米梁谐振腔结构.声光子晶体谐振腔的变形模式以在周期平面内为主.

在讨论声光子晶体板谐振腔之前，需要指出有部分工作研究了光子晶体板谐振腔中的声光(光力)耦合作用[71-72,128-132].然而上述结构通常存在谐振腔力学模式品质因子较低的问题.El-Jallal等[73]理论研究了正方晶格声光子晶体板谐振腔中的声光耦合作用，分析了模式对称性、声光和移动界面效应对耦合强度的影响.利用具有雪花形孔的声光子晶体板，Safavi-Naeini等[133]设计了声光子晶体板谐振腔(见图14(g))，并在理论和实验上研究了谐振腔中的声光耦合作用.

Hsiao等[134]理论研究了声光子晶体纳米梁中的声光耦合作用，并指出波导结构较低的群速度使得声光相互作用时间增长从而提高了耦合强度.Lin等[135]的研究表明，二维声光子晶体波导中传播的声波可以有效地对波导中传播的光波进行调节.基于声子与光子间的相互作用，Safavi-Naeini等[136]通过将波导与谐振腔结构相结合设计了声子--光子转换器.

图14 不同的声光子晶体谐振腔[16,19,23,64,123,125,130,133]Fig.14 Di ff erentphoxonic crystalcavities[16,19,23,64,123,125,130,133]

4 声光子晶体器件设计

声光子晶体器件的相关研究尚处于起步阶段，目前研究较多的两类应用是声光子晶体波导[20-21,137]和声光子晶体传感器[22,138140].需要指出的是，本节所讨论的声光子晶体器件的工作机理不涉及声光耦合效应.

作为多功能器件，声光子晶体波导可以同时有效控制电磁波和弹性波(或声波)的传输路径；此外，也可以作为未来集成光路或集成声路中重要的组成元件.Laude等[20]研究发现二维声光子晶体板波导可以同时实现慢光和慢声效应，即在波导中电磁波和弹性波均以较低的群速度传播，如图15(a)所示.Escalante等[21]设计了两类声光子晶体板波导(见图15(b))，波导不仅具有较低的群速度，还可以获得单模的电磁波和弹性波导波模式(意味着频率范围内只存在一种导波模式，不会耦合成为其他导波模式).Ma等[137]研究了三维声光子晶体的线缺陷态，并指出上述结构可以作为电磁波和弹性波的波导，如图15(c)所示.

在传感器方面，Lucklum等[22]从理论和实验上向人们展示了声光子晶体谐振腔作为双重传感器的可行性.这里双重的含义是指传感器可以同时检测液体的光学性质(光折射率)和声学性质(声速).Amoudache等[138]提出了基于二维声光子晶体谐振腔的液体传感器(见图16(a)).2016年，Amoudache等[139]指出,可以利用声光子晶体板的法诺共振(Fano resonance)效应实现液体光学性质和声学性质的高灵敏度检测，如图16(b)所示.区别于上述基于体波模式的传感器，Ma等[140]设计了基于光表面波和声表面波的声光子晶体液体传感器(见图16(c)).

图15 不同的声光子晶体波导[20-21,137]Fig.15 Di ff erentphoxonic crystalwaveguides[20-21,137]

图16 不同的声光子晶体传感器[138-140]Fig.16 Di ff erentphoxonic crystalsensors[138-140]

5 总结与展望

声光子晶体不仅可以同时操控电磁波和弹性波，还可以增强声光相互作用，因此在近年来备受广大科研工作者关注.本文着重介绍了声光子晶体的基本概念、光子和声子带隙的特性、声光相互作用的机理与研究方法、不同声光子晶体结构中的声光耦合作用、以及相关的器件设计等方面内容，以期为声光子晶体的研究和器件设计提供一定的参考和借鉴.

(1)增强微结构中的声光相互作用仍然是今后声光子晶体研究的一个重要方向.目前，在绝大多数声光子晶体谐振腔的研究中光力耦合系数是基于一阶微扰理论得到的，即假设声光相互作用较弱，仅考虑声光之间的线性相互作用.若声光间作用较强，或者说声光之间的非线性相互作用不可忽略，则需要计算由二阶甚至高阶微扰理论得到的光力耦合系数[14,141].为了提高声光非线性作用，需要设计具有合适变形模式和电磁场分布的声光子晶体谐振腔.此外，利用软物质为基体制备声光子晶体结构，则可以在光力的作用下产生更大的变形，并提高声光非线性耦合强度.

(2)虽然只有三维声光子晶体可以产生三维完全带隙并真正意义上实现光子和声子的三维操控，但是目前为具有完全带隙的三维声光子晶体还没有被实验证实.可以说关于三维声光子晶体的理论与实验研究仍处于起步阶段.与此类似的还有声光子准晶的研究.

(3)类比于声光子晶体，设计同时具有新奇声光特性的声光超构材料也是未来发展的一个方向.这类材料同时具有负的光学和声学等效材料参数，可以在亚波长尺度下同时操控电磁波和弹性波(或声波)，并在多功能器件设计等领域发挥作用.

声光子晶体发展的另外一个方向是与实际应用与器件设计相结合，将声光子晶体应用在全光信号处理、光子--声子集成回路中的光力学元件、双重传感器以及声光多功能器件等方面.

1 Yablonovitch E.Inhibited spontaneous em ission in solid-state physics and electronics.Physical Review Letters,1987,58(20)：2059-2062

2 John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.PhysicalReview Letters,1987,58(23)：2486-2489

3 Kushwaha MS,Halevi P,Dobrzynski L,etal.Acoustic band structure of periodic elastic composites.Physical Review Letters,1993,71(13)：2022-2025

4 Qi MH,Lidorikis E,Rakich PT,et al.A three-dimensional optical photonic crystal w ith designed point defects.Nature,2004,429(6991)：538-542

5 Khelif A,Choujaa A,Djafari-Rouhani B,etal.Trapping and guiding of acoustic wavesby defectmodes in a full-band-gap ultrasoniccrystal.PhysicalReview B,2003,68(21)：214301

6 Notomi M,Yamada K,Shinya A,et al.Extremely large groupvelocity dispersion of line-defect waveguides in photonic crystal slabs.PhysicalReview Letters,2001,87(25)：253902

7 Khelif A,W ilm M,Laude V,etal.Guided elasticwavesalong a rod defect of a two-dimensional phononic crystal.Physical Review E,2004,69(6)：067601

8 Cubukcu E,Aydin K,Ozbay E,etal.Electromagneticwaves：Negative refraction by photonic crystals.Nature,2003,423(6940)：604-605

9 Yang S,Page JH,Liu Z,etal.Focusing of sound in a 3D phononic crystal.PhysicalReview Letters,2004,93(2)：024301

10 Yariv A,Yeh P.OpticalWaves in Crystals-Propagation and Control of LaserRadiation.New York：Wiley,1984

11 Royer D,Dieulesaint E.Elastic Waves in Solids II-Generation Acousto-Optic Interaction Applications.Berlin：Springer,2000

12 Boyd RW.Nonlinear Optics.2nd ed.San Diego：Academ ic Press,2003

13 Damzen MJ,V lad VI,Babin V,etal.Stimulated Brillouin Scattering.London：IOPPublishing,2003

14 Pennec Y,Laude V,Papanikolaou N,et al.Modeling light-sound interaction in nanoscale cavities and waveguides.Nanophotonics,2014,3(6)：413-440

15 Sadat-Saleh S,Benchabane S,Baida FI,etal.Tailoring simultaneous photonic and phononic band gaps.Journal ofApplied Physics,2009,106(7)：074912

16 Eichenfiel M,Chan J,Camacho RM,etal.Optomechanical crystals.Nature,2009,462(7269)：78-82

17 Maldovan M,Thomas EL.Simultaneous complete elastic and electromagnetic band gaps in periodic structures.Applied Physics B,2006,83(4)：595-600

18 Maldovan M,ThomasEL.Simultaneous localizationofphotonsand phonons in two-dimensional periodic structures.Applied Physics Letters,2006,88(25)：251907

19 Eichenfiel M,Camacho R,Chan J,et al.A picogram-and nanometre-scale photonic-crystal optomechanical cavity.Nature,2009,459(7246)：550-556

20 Laude V,Beugnot JC,Benchabane S,etal.Simultaneous guidance ofslow photonsand slow acoustic phonons in silicon phoxonic crystalslabs.Optics Express,2011,19(10)：9690-9698

21 Escalante JM,Martinez A,Laude V.Design of single-modewaveguides for enhanced light-sound interaction in honeycomb-lattice silicon slabs.JournalofApplied Physics,2014,115(6)：064302

22 Lucklum R,Zubtsov M,Oseev A.Phoxonic crystals—A new platform for chem icaland biochemicalsensors.Analyticaland BioanalyticalChemistry,2013,405(20)：6497-6509

23 Gomis-Bresco J,Navarro-Urrios D,Oudich M,et al.A onedimensionaloptomechanicalcrystalw ith a completephononic band gap.Nature Communications,2014,5：4452

24 Kipfstuhl L,Guldner F,Riedrich-Moller J,et al.Modeling of optomechanicalcoupling in a phoxonic crystalcavity in diamond.Optics Express,2014,22(10)：12410-12423

25 Rath P,Ummethala S,Diewald S,et al.Diamond electrooptomechanical resonators integrated in nanophotonic circuits.Applied Physics Letters,2014,105(25)：251102

26 Bria D,Assouar MB,Oudich M,et al.Opening of simultaneous photonic and phononic band gap in two-dimensional square lattice periodic structure.Journal ofApplied Physics,2011,109(1)：014507

27 Bochmann J,Vainsencher A,Awschalom DD,et al.Nanomechanical coupling betweenm icrowave and optical photons.Nature Physics,2013,9(11)：712-716

28王艳锋.含共振单元声子晶体的带隙特性及设计.[博士论文].北京：北京交通大学,2015(Wang Yanfeng.Bandgap propertiesand design of phononic crystalswithresonantunits.[PhD thesis].Beijing：Beijing Jiaotong University,2015(in Chinese))

29 John SG,Fan S,Villeneuve PR,et al.Guided modes in photonic crystalslabs.PhysicalReview B,1999,60(8)：5751-5757

30 Zhou XZ,Wang YS,Zhang CZ.E ff ects ofmaterial parameters on elastic band gapsof two-dimensionalsolid phononic crystals.JournalofApplied Physics,2009,106(1)：014903

31 Zhang X,LiLM,Zhang ZQ,etal.Surfacestatesin two-dimensional metallodielectric photonic crystals studied by amultiple-scattering method.PhysicalReview B,2001,63(12)：125114

32 Liu Z,Chan CT,Sheng P,etal.Elastic wave scattering by periodic structures of spherical objects：Theory and experiment.Physical Review B,2000,62(4)：2446-2457

33 Yuan JH,Lu YY.Photonic bandgap calculationsw ith Dirichlet-to-Neumannmaps.Journalofthe Optical Society ofAmerica A,2006,23(12)：3217-3222

34 Zhen N,Li FL,Wang YS,etal.Bandgap calculation form ixed inplanewavesin2D phononic crystalsbased on Dirichlet-to-Neumann map.Acta Mechanica Sinica,2012,28(4)：1143-1153

35 Shi ZJ,Wang YS,Zhang CZ.Band structure calculation of scalar waves in two-dimensional phononic crystals based on generalized multipole technique.Applied Mathematics and Mechanics,2013,34(9)：1123-1144

36 Shi ZJ,Wang YS,Zhang CZ.Application of the generalized multipole technique in band structure calculation of two-dimensional solid/flui phononic crystals.MathematicalMethods in the Applied Sciences,2015,38(15)：1099-1476

37 LiFL,Wang YS,Zhang CZ.Boundary elementmethod forbandgap computation of photonic crystals.Optics Communications,2012,285(5)：527-532

38 Li FL,Wang YS,Zhang CZ,et al.Boundary elementmethod for band gap calculations of two-dimensional solid phononic crystals.Engineering Analysis with Boundary Elements,2013,37(2)：225-235

39 Oskooi AF,Roundy D,Ibanescu M,etal.Meep：A fl xible freesoftware package for electromagnetic simulations by the FDTD method.Computer Physics Communications,2010,181(3)：687-702

40 Tafl ve A,Hagness SC.Computational Electrodynam ics—The Finite-Di ff erence Time-Domain Method.3rd ed.Norwood：Artech House,2005

41 Tanaka Y,Tomoyasu Y,Tamura S.Band structureof acousticwaves in phononic lattices：Two-dimensionalcompositesw ith largeacousticm ismatch.PhysicalReview B,2000,62(11)：7387-7392

42 Su XX,Wang YF,Wang YS.E ff ects of Poisson’s ratio on the band gapsand defectstates in two-dimensionalvacuum/solid porous phononic crystals.Ultrasonics,2012,52(2)：255-265

43 Andonegui I,Garcia-Adeva AJ.The finit elementmethod applied to the study of two-dimensionalphotonic crystalsand resonantcavities.OpticsExpress,2013,21(4)：4072-4092

44 Khelif A,Aoubiza B,MohammadiS,etal.Complete band gaps in two-dimensional phononic crystal slabs.Physical Review E,2006,74(4)：046610

45 Wu TT,Hsu JC,Sun JH.Phononic platewaves.IEEE Transactions on Ultrasonics Ferroelectricsand Frequency Control,2011,58(10)：2146-2161

46 Zheng H,Zhang CZ,Wang YS,et al.A meshfree local RBF collocationmethod for anti-plane transverse elastic wave propagation analysis in2D phononic crystals.JournalofComputationalPhysics,2016,305：997-1014

47 Zheng H,Zhang CZ,Wang YS,et al.Band structure computation of in-plane elastic waves in 2D phononic crystalsby ameshfree local RBF collocationmethod.Engineering Analysiswith Boundary Elements,2016,66：77-90

48 Trigo M,Bruchhausen A,Fainstein A,etal.Confinemen of acoustical vibrations in a semiconductor planar phonon cavity.Physical Review Letters,2002,89(22)：227402

49 Psarobas IE,Papanikolaou N,Stefanou N,etal.Enhanced acoustooptic interactions in a one-dimensional phoxonic cavity.Physical Review B,2010,82(17)：174303

50 Tang ZH,Jiang ZS,Chen T,et al.Simultaneousmicrowave photonic and phononic band gaps in piezoelectric-piezomagnetic superlatticesw ith three typesof domains in aunitcell.Physics Letters A,2016,380：1757-1762

51 Qiu M,He S.Optimal design of a two-dimensional photonic crystalof square latticew ith a large complete two-dimensionalbandgap.JournaloftheOpticalSociety ofAmerica B,2000,17(6)：1027-1030

52 Chau YF.Intersecting veins e ff ects of a two-dimensional photonic crystal w ith a large two-dimensional complete bandgap.Optics Communications,2009,282(21)：4296-4298

53 Chau YF,Wu FL,Jiang ZH,etal.Evolution of the complete photonic bandgap of two-dimensionalphotonic crystal.Optics Express,2011,19(6)：4862-4867

54 Ma TX,Wang YS,Zhang CZ.Investigation of dual photonic and phononic bandgaps in two-dimensional phoxonic crystalsw ith veins.OpticsCommunications,2014,312：68-72

55 Russell PSJ.Photonic-crystal fibers JournalofLightwave Technology,2006,24(12)：4729-4749

56 Poli F,Cucinotta A,Selleri S.Photonic Crystal Fibers——Propertiesand Applications.Dordrecht：Springer,2007

57 RussellP,Marin E,Diez A,etal.Sonic band gaps in PCFpreforms：Enhancing the interaction of sound and light.Optics Express,2003,11(20)：2555-2560

58 Dainese P,Russell PS,Wiederhecker GS,et al.Raman-like light scattering from acoustic phonons in photonic crystal fibe.Optics Express,2006,14(9)：4141-4150

59 Dainese P,Russell PSJ,Joly N,et al.Stimulated brillouin scattering frommulti-Ghz-guided acoustic phonons in nanostructured photonic crystal fibres Nature Physics,2006,2(6)：388-392

60 Kang MS,Nazarkin A,Brenn A,et al.Tightly trapped acoustic phonons in photonic crystal fibre as highly nonlinear artificia Raman oscillators.Nature Physics,2009,5(4)：276-280

61 Laude V,Khelif A,Benchabane S,etal.Phononic band-gap guidance of acousticmodes in photonic crystal fibers Physical Review B,2005,71(4)：045107

62 Wilm M,Khelif A,Ballandras S,et al.Out-of-plane propagation of elastic waves in two-dimensional phononic band-gap materials.PhysicalReview E,2003,67(6)：065602

63 Khelif A,Djafari-Rouhani B,Laude V,et al.Coupling characteristics of localized phonons in photonic crystal fibers Journal of Applied Physics,2003,94(12)：7944-7946

64 Chan J,Safavi-Naeini AH,Hill JT,et al.Optimized optomechanical crystal cavity w ith acoustic radiation shield.Applied Physics Letters,2012,101(8)：081115

65 Fan LR,Sun XK,Xiong C,etal.Aluminum nitride piezo-acoustophotonic crystal nanocavity with high quality factors.Applied Physics Letters,2013,102(15)：153507

66 Davanco M,Ates S,Liu Y,et al.Si3N4 optomechanical crystals in the resolved-sideband regime.Applied Physics Letters,2014,104(4)：041101

67 Papanikolaou N,Almpanis E,Gantzounis G,etal.Dual photonicphononic nanocavities for tailoring the acousto-optic interaction.Microelectronic Engineering,2016,159：80-83

68 Pennec Y,Djafari-Rouhani B,Li C,et al.Band gaps and cavity modes in dual phononic and photonic strip waveguides.AIP Advances,2011,1(4)：041901

69 Mohammadi S,Eftekhar AA,Khelif A,et al.Simultaneous twodimensional phononic and photonic band gaps in opto-mechanical crystalslabs.Optics Express,2010,18(9)：9164-9172

70 Pennec Y,Djafari-RouhaniB,El BoudoutiEH,etal.Simultaneous existence of phononic and photonic band gaps in periodic crystal slabs.Optics Express,2010,18(13)：14301-14310

71 Gavartin E,Braive R,Sagnes I,et al.Optomechanical coupling in a two-dimensional photonic crystal defect cavity.Physical Review Letters,2011,106(20)：203902

72 Li Y,Zheng JJ,Gao J,et al.Design of dispersive optomechanicalcoupling and cooling in ultrahigh-Q/V slot-typephotonic crystal cavities.Optics Express,2010,18(23)：23844-23856

73 El-Jallal S,Oudich M,Pennec Y,et al.Analysis of optomechanicalcoupling in two-dimensionalsquare latticephoxonic crystalslab cavities.PhysicalReview B,2013,88(20)：205410

74 Rolland Q,Dupont S,Gazalet J,et al.Simultaneous bandgaps in LiNbO3phoxonic crystal slab.Optics Express,2014,22(13)：16288-16297

75 Safavi-NaeiniAH,PainterO.Designofoptomechanicalcavitiesand waveguides on a simultaneous bandgap phononic-photonic crystal slab.Optics Express,2010,18(14)：14926-14943

76 A legre TPM,Safavi-Naeini A,Winger M,et al.Quasi-twodimensional optomechanical crystals w ith a complete phononic bandgap.Optics Express,2011,19(6)：5658-5669

77 ElHassouani Y,LiC,Pennec Y,etal.Dualphononic and photonic band gaps in a periodic array of pillars deposited on a thin plate.PhysicalReview B,2010,82(15)：155405

78 Papanikolaou N,Psarobas IE,Stefanou N.Absolutespectralgaps for infrared lightand hypersound in three-dimensionalmetallodielectric phoxonic crystals.Applied Physics Letters,2010,96(23)：231917

79 Akimov AV,Tanaka Y,Pevtsov AB,et al.Hypersonicmodulation of light in three-dimensional photonic and phononic band-gapmaterials.PhysicalReview Letters,2008,101(3)：033902

80 Ma TX,Wang YS,Wang YF,et al.Three-dimensional dielectric phoxonic crystals w ith network topology.Optics Express,2013,21(3)：2727-2732

81 Zhang X,Zhang ZQ,Chan CT.Absolute photonic band gaps in 12-fold symmetric photonic quasicrystals.Physical Review B,2001,63(8)：081105

82 BayindirM,Cubukcu E,Bulu I,etal.Photonic band-gap e ff ect,localization,and waveguiding in the two-dimensional penrose lattice.PhysicalReview B,2001,63(16)：161104

83 Wang Y,Hu X,Xu X,et al.Localized modes in defect-free dodecagonalquasiperiodic photonic crystals.PhysicalReview B,2003,68(16)：165106

84 DellaVillaA,Enoch S,Tayeb G,etal.Band gap formationandmultiplescattering in photonic quasicrystalsw ith a Penrose-type lattice.PhysicalReview Letters,2005,94(18)：183903

85 Ledermann A,Wegener M,von Freymann G.Rhombicuboctahedral three-dimensionalphotonic quasicrystals.Advanced Materials,2010,22(21)：2363-2366

86 Lai Y,Zhang X,Zhang ZQ.Large sonic band gaps in 12-fold quasicrystals.JournalofApplied Physics,2002,91(9)：6191-6193

87 Sutter-Widmer D,Deloudi S,Steurer W.Prediction of braggscattering-induced band gaps in phononic quasicrystals.Physical Review B,2007,75(9)：094304

88 Chen AL,Wang YS,Guo YF,et al.Band structures of Fibonacci phononic quasicrystals.Solid State Communications,2008,145(3)：103-108

89 Peng SS,MeiXF,Pang P,etal.Experimental investigation of negative refraction and imaging of 8-fold-symmetry phononic quasicrystals.Solid State Communications,2009,149(17-18)：667-669

90 Zhang MD,Zhong W,Zhang XD.Defect-free localized modes and coupled-resonator acoustic waveguides constructed in twodimensional phononic quasicrystals.Journal of Applied Physics,2012,111(10)：104314

91 Feng ZF,Zhang XD,Wang YQ,etal.Negative refraction and imaging using 12-fold-symmetry quasicrystals.PhysicalReview Letters,2005,94(24)：247402

92 Yu T,Wang Z,Liu W,et al.Simultaneous large band gaps and localization of electromagnetic and elastic waves in defect-free quasicrystals.Optics Express,2016,24(8)：7951-7959

93 Wang Z,Liu WX,Yu TB,et al.Simultaneous localization of photons and phononsw ithin the transparency bands of LiNbO3phoxonic quasicrystals.Optics Express,2016,24(20)：23353-23360

94 Dong HW,Wang YS,Ma TX,et al.Topology optim ization of simultaneous photonic and phononic bandgaps and highly e ff ective phoxonic cavity.Journalofthe OpticalSociety ofAmerica B,2014,31(12)：2946-2955

95 Zhang S,Yin J,Zhang HW,et al.Multi-objective optim ization of two-dimensional phoxonic crystalsw ithmulti-level substructure scheme.International Journal ofModern Physics B,2016,30(9)：1650046

96 Dong HW,Wang YS,Zhang CZ.Topology optim ization of chiral phoxonic crystalsw ith simultaneously large phononic and photonic bandgaps.IEEEPhotonics Journal,2017,9(2)：4700116

97 Maiman TH.Stimulated optical radiation in ruby.Nature,1960,187：493-494

98 Kippenberg TJ,Vahala KJ.Cavity opto-mechanics.Optics Express,2007,15(25)：17172-17205

99 Kippenberg TJ,Vahala KJ.Cavity optomechanics：Back-action at themesoscale.Science,2008,321(5893)：1172-1176

100 MetcalfeM.Applicationsof cavity optomechanics.Applied Physics Reviews,2014,1(3)：031105

101 AspelmeyerM,Kippenberg TJ,Marquard F.Cavity optomechanics.ReviewsofModern Physics,2014,86(4)：1391-1452

102 Cleland AN,Roukes ML.External control of dissipation in a nanometer-scale radiofrequencymechanical resonator.Sensorsand Actuators A,1999,72(3)：256-261

103 Cleland AN,Roukes ML.Noise processes in nanomechanical resonators.JournalofApplied Physics,2002,92(5)：2758-2769

104 Abramovici1 A,Althouse1WE,Drever RWP,et al.LIGO：The laser interferometer gravitationalwave observatory.Science,1992,256(5055)：325-333

105 Arcizet O,Cohadon PF,Briant T,et al.Radiation-pressure cooling and optomechanical instability of amicromirror.Nature,2006,444(7115)：71-74

106 Gigan S,Bohm HR,Paternostro M,et al.Self-cooling of amicromirrorby radiation pressure.Nature,2006,444(7115)：67-70

107 Kippenberg TJ,RokhsariH,Carmon T,etal.Analysisof radiationpressure induced mechanical oscillation of an opticalmicrocavity.PhysicalReview Letters,2005,95(3)：033901

108 Schliesser A,Del’haye P,NooshiN,etal.Radiation pressure cooling of a micromechanical oscillator using dynamical backaction.PhysicalReview Letters,2006,97(24)：243905

109 Camacho RM,Chan J,Eichenfiel M,etal.Characterization of radiation pressure and thermal e ff ects in a nanoscale optomechanical cavity.Optics Express,2009,17(18)：15726-15735

110 Eichenfiel M.Cavity optomechanics in photonic and phononic crystals：engineering the interaction of light and sound at the nanoscale.[PhD thesis].Pasadena：California Institute of Technology,2010

111 Tsvirkun V.Optomechanics in hybrid fully-integrated twodimensionalphotonic crystal resonators.[PhD Thesis].Paris：Universit´e Paris-Sud XI,2015

112 A lmpanis E,Papanikolaou N,Stefanou N.Breakdown of the linear acousto-optic interaction regime in phoxonic cavities.Optics Express,2014,22(26)：31595-31607

113 Rolland Q,Oudich M,El-Jallal S,etal.Acousto-optic couplings in two-dimensionalphoxonic crystalcavities.Applied Physics Letters,2012,101(6)：061109

114 El-Jallal S,Oudich M,Pennec Y,et al.Optomechanical interactions in two-dimensional siand gaas phoxonic cavities.Journal of Physics-Condensed Matter,2014,26(1)：015005

115 Ma TX,Zou K,Wang YS,etal.Acousto-optical interaction of surfaceacoustic and opticalwaves in a two-dimensionalphoxonic crystal hetero-structure cavity.Optics Express,2014,22(23)：28443-28451

116 Oudich M,El-Jallal S,Pennec Y,etal.Optomechanic interaction in a corrugated phoxonic nanobeam cavity.Physical Review B,2014,89(24)：245122

117 Li YZ,Cui KY,Feng X,et al.Optomechanical crystal nanobeam cavity w ith high optomechanical coupling rate.Journal ofOptics,2015,17(4)：045001

118 Lin TR,Lin CH,Hsu JC.Strong optomechanical interaction in hybrid plasmonic-photonic crystal nanocavitiesw ith surface acoustic waves.Scientifi Reports,2015,5：13782

119 Huang ZL,Cui KY,Li YZ,et al.Strong optomechanical coupling in nanobeam cavitiesbased on hetero optomechanical crystals.Scientifi Reports,2015,5：15964

120 Hsu JC,Lu TY,Lin TR.Acousto-optic coupling in phoxonic crystal nanobeam cavitiesw ith plasmonic behavior.Optics Express,2015,23(20)：25814-25826

121 Chan J,A legre TPM,Safavi-Naeini AH,et al.Laser cooling of a nanomechanical oscillator into its quantum ground state.Nature,2011,478(7367)：89-92

122 Safavi-NaeiniAH,Groblacher S,Hill JT,etal.Squeezed light from asiliconmicromechanical resonator.Nature,2013,500(7461)：185-189

123 Wu M,Hryciw AC,Healey C,et al.Dissipative and dispersive optomechanics in a nanocavity torque sensor.Physical Review X,2014,4(2)：021052

124 Balram KC,Davanco M,Lim JY,etal.Moving boundary and photoelastic coupling in gaasoptomechanical resonators.Optica,2014,1(6)：414-420

125 Grutter KE,Davanco M I,Srinivasan K.Slot-mode optomechanical crystals：A versatile platform formultimode optomechanics.Optica,2015,2(11)：994-1001

126 Schneider K,Seidler P.Strong optomechanicalcoupling in a slotted photonic crystal nanobeam cavity w ith an ultrahigh quality factorto-mode volume ratio.Optics Express,2016,24(13)：13850-13865

127 Huang Z,Cui K,BaiG,et al.High-mechanical-frequency characteristicsof optomechanical crystal cavity w ith coupling waveguide.Scientifi Reports,2016,6：34160

128 NomuraM.GaAs-based air-slotphotonic crystalnanocavity foroptomechanicaloscillators.OpticsExpress,2012,20(5)：5204-5212

129 Zheng JJ,Sun XK,LiY,etal.Fem togram dispersive L3-nanobeam optomechanicalcavities：Design and experimentalcomparison.Optics Express,2012,20(24)：26486-26498

130 Sun XK,Zheng JJ,Poot M,et al.Fem togram doubly clamped nanomechanical resonatorsembedded in a high-Q two-dimensional photonic crystalnanocavity.Nano Letters,2012,12(5)：2299-2305

131 Shim izu W,Nagai N,Kohno K,et al.Waveguide coupled air-slot photonic crystal nanocavity for optomechanics.Optics Express,2013,21(19)：21961-21969

132 Pitanti A,Fink JM,Safavi-Naeini AH,et al.Strong opto-electromechanicalcoupling in a silicon photonic crystal cavity.Optics Express,2015,23(3)：3196-3208

133 Safavi-Naeini AH,Hill JT,Meenehan S,et al.Two-dimensional phononic-photonic band gap optomechanical crystal cavity.PhysicalReview Letters,2014,112：153603

134 Hsiao FL,Hsieh CY,Hsieh HY,et al.High-e ffi ciency acoustooptical interaction in phoxonic nanobeam waveguide.Applied Physics Letters,2012,100(17)：171103

135 Lin TR,Lin CH,Hsu JC.Enhanced acousto-optic interaction in twodimensionalphoxonic crystalsw ith a linedefect.JournalofApplied Physics,2013,113(5)：053508

136 Safavi-Naeini AH,Painter O.Proposal for an optomechanical travelingwavephonon-photon translator.New JournalofPhysics,2011,13：013017

137 Ma TX,Wang YS,Zhang CZ.Simultaneousguiding of slow elastic and lightwaves in three-dimensional topology-type phoxonic crystalsw ith a line defect.JournalofOptics,2014,16(8)：085002

138 Amoudache S,Pennec Y,Djafari-Rouhani B,et al.Simultaneous sensing of lightand sound velocitiesof fluid in a two-dimensional phoxonic crystal w ith defects.Journal of Applied Physics,2014,115(13)：134503

139 Amoudache S,Moiseyenko R,Pennec Y,etal.Opticaland acoustic sensing using fano-like resonances in dual phononic and photonic crystalplate.JournalofApplied Physics,2016,119(11)：114502

140 Ma TX,Wang YS,Zhang CZ,etal.Theoretical research on a twodimensional phoxonic crystal liquid sensor by utilizing surface opticaland acoustic waves.Sensorsand Actuators A,2016,242：123-131

141 Kalaee M,Para¨ıso TK,Pfeifer H.Design of a quasi-2D photonic crystal optomechanical cavity w ith tunable,large x2-coupling.Optics Express,2016,24(19)：21308-21328

REVIEW OFBANDGAPCHARACTERISTICSAND ACOUSTO-OPTICAL COUPLING IN PHOXONIC CRYSTALS1)

Ma Tianxue∗Su Xiaoxing∗Dong Haowen∗Wang Yuesheng∗,2)Zhang Chuanzeng†∗

(Institute ofEngineering Mechanics，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)†(Departmen to fCivil Engineering,University ofSiegen，D-57076Siegen，Germany)

Phoxonic crystals are periodic structures which possess photonic and phononic bandgaps simultaneously.Phoxonic crystals can be applied as systematic platforms formanipulating electromagnetic and elasticwaves simultaneously,and can beutilized in various field such asoptical,acoustic and acouto-opticaldevices,and cavity optomechanics.This paper firstl introduces the basic concepts of phoxonic crystals,including the constitutingmaterials,their classifi cations according to spatial periodicity,the numerical calculationmethods of band structures.We elaborate the characteristics of phoxonic dual bandgaps for di ff erent systems,and the topology optim izationmethod applied in optimizing the bandgap w idth of phoxonic dual bandgaps.The fiel of cavity optomechanics,as well as the quasistaticmethod and optomechanicalcoupling coe ffi cientmethod for evaluating the acousto-optical coupling strength are introduced.The acousto-optical coupling phenomena in various phoxonic crystal structures are summarized.Then this paper introduces the research works related to phoxonic crystalwaveguides and sensors.Finally,we outline the prospects of phoxonic crystalsbased on state of the art,including the enhancementsof acousto-optical interaction in phoxonic crystal cavities,the investigations of three-dimensional phoxonic crystals,the designsof di ff erentphoxonicmetamaterials,the phoxonic crystaldevice designsand related applications,and so on.

photonic crystal,phononic crystal,phoxonic crystal,phoxonic dual bandgaps,acousto-optical coupling,cavity optomechanics

O734

A

10.6052/0459-1879-17-130

2017-04-19收稿，2017-05-27录用,2017-05-27网络版发表.

1)国家自然科学基金资助项目(11372031,11532001).

2)汪越胜，教授，主要研究方向：波动力学.E-mail：yswang@bjtu.edu.cn

马天雪,苏晓星,董浩文,汪越胜,张传增.声光子晶体带隙特性与声光耦合作用研究综述.力学学报,2017,49(4)：743-757

Ma Tianxue,Su Xiaoxing,Dong Haowen,Wang Yuesheng,Zhang Chuanzeng.Review of bandgap characteristicsand acousto-optical coupling in phoxonic crystals.Chinese JournalofTheoreticaland Applied Mechanics,2017,49(4)：743-757