关于X0-sn-网的一些性质

2017-08-07刘士琴

郑州大学学报（理学版） 2017年3期

关键词：子集衡水度量

刘士琴

(衡水学院数学与计算机科学系河北衡水 053000)

关于X0-sn-网的一些性质

刘士琴

(衡水学院数学与计算机科学系河北衡水 053000)

X0-sn-网； X0-sn-弱第一可数；cs-网；弱基

0 引言

广义度量空间在一般拓扑学中占有极其重要的地位，众多学者从事该领域的研究工作并得到了较好的结果[1-7]. 文献[1]提出了X0-弱基的概念并对该概念进行了深入的研究，证明了当且仅当X具有点可数X0-弱基时，X是度量空间的商可数对一映射下的象.作为X0-弱基的概念的推广，文献[4]证明了当且仅当X具有点可数X0-sn-网时，X0-sn-网不是X0-弱基，它比X0-弱基还要弱，在该文中得到X是度量空间的序列商，可数对一映射下的象，通过特殊映射得到了关于X0-sn-网与可分度量空间的一些关系.本文通过特殊映射得到关于X0-sn-网的一些新的结果，所述空间均为正则T1的，所有映射均为连续的，N表示自然数，序列{xn:n∈N}、{pn:n∈N}分别为序列{Xn}、{Pn}的子序列.

1 预备知识

定义1[4]空间X的子集族B称为X的X0-sn-网，如果B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N},并且满足：1) 对每个x∈X，n∈N，Bx(n)是x的一个网，并且它在有限交下是封闭的，且x∈Bx(n).2) 空间X中L是收敛到x的一个序列，且x∉L，则存在L的一个子序列L′和n0∈N，使得对任意Bx(n0)∈Bx(n0)，L′终于Bx(n0).

对于文献[1]中Sirois-Dumais定义，X称为X0-sn-弱第一可数，如果X有一个X0-sn-网，B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N}，且对任意x∈X，n∈N，Bx(n)是可数的.

如果X具有一个σ-局部有限X0-sn-网，空间X称为X0-sn-度量空间.

文献[5]中定义的sn-网，如果对任意n∈N，Bx(n)=Bx(1)，则B称为X中的sn-网.文献[6]中的定义，对任意x∈X，如果Bx(n)是可数的，则X称为sn-第一可数的.

定义2[1]设f:X→Y，f称为s-映射(紧映射，σ-紧映射)，如果对任意y∈Y，f-1(y)是在X中的可分子集(紧子集，σ-紧子集).f称为边缘紧映射(边缘可数映射，边缘σ-紧映射)，如果对任意y∈Y，∂f-1(y)是X中的紧子集(可数紧子集，σ-紧子集).

引理1[5]P是空间X中具有σ-遗传闭包保持子集.若P是X中的cs*-网，则P是X中的k-网.

2 主要结果

定理1X是X0-sn-弱第一可数空间，P是X中的一个点可数的cs-网,如果P是有限交封闭的，则P中存在一个子族B,使得B是X的一个X0-sn-网.

证明X是一个X0-sn-弱第一可数空间，令U{Bx(n)：x∈X,n∈N}是X的一个X0-sn-网，Bx(n)={Bx(n,m)：m∈N}，且对每个m∈N，Bx(n,m+1)⊂Bx(n,m).P是X中的一个点可数cs-网，对任意n∈N，令Px(n)={P∈P：Bx(n,m)⊂P,∃m∈N}，则Px(n)是有限交封闭的.B=U{Px(n)：x∈X,n∈N}，则B是P的一个子集族,只需证明B是X中的一个X0-sn-网.下面给出充分性的证明.

1) 对任意x∈X，n∈N，Px(n)是x的一个网.

若Px(n)不是x的一个网，则X中存在n∈N和x的一个邻域U，使得对任意P∈Px(n)，都有P⊄U.令P∈P：x∈P⊂U={Pk：k∈N}，则对任意的m,k∈NB(n,m)⊄U，对每个m≥k，取xmk∈B(n,m)Pk，令yi=xmk，其中i=k+m(m-1)/2，则在X中序列{yi}收敛于x，因为{Bx(n,m)：m∈N}是X中x的递减网，既然P是X中的一个cs-网，则存在k,j∈N使得{yi:i≥j}⊂Pk，取i≥j，使得对某些m≥k，yi=xmk，则xmk∈Pk矛盾.

2)B是一个X0-sn-网.

假设序列L在X中收敛于x∉L，则X中存在L的一个子序列L′和n0∈N，使得对任意m∈N，L′终于Bx(n0,m).但是对某些m∈N，Bx(n0,m)⊂Px(n0)，对任何Px(n0)∈Px(n)，L′终于Px(n0).所以B是X中一个X0-sn-网.

定理2 设X是拓扑空间，则下述等价：

1)X具有点可数X0-sn-网.

2) 存在一个度量空间M和一个序列商点可数映射f:M→X.

证明由文献[4]知1)⟺2)，且2)⟺3)显然.

定理3X是一个fre′chet空间,则可数空间X是一个X0-sn-弱第一可数空间，当且仅当它是可数度量空间的可遗传的序列商映射下的象.

假设X是可数度量空间M的可遗传的序列商映射的象.f:M→Y是序列商映射.f-1(x)={xi:i∈N}，只需要证明X对于x是X0-sn-弱第一可数的，令{C(n,m)：m∈N}是M中xn的邻域，且是M的可数基B(n,m)=f(C(n,m)).则{B(n,m)：m∈N}是可数的，对任意n∈N，令Bx(n)={B(n,m)：m∈N}，Bx(n)是可数的.从定义得到B=U{Bx(n)：x∈X,n∈N}是X0-sn-网.

定理4 对于fre′chet空间X，下列是等价的：

1)X是X0-sn-度量空间.

2) 存在一个度量空间M和一个序列商σ可数对一映射f:M→X.

定义f:M→X使得f(αi)=x(α)，在X中对任何n∈N，Bx(n)是Bx的一个网.容易得到f定义是合理且是到上的. 可得到M是度量空间，且f是连续的.注意到Pi是局部有限的，则f是可数对一的映射.对每个i∈N，αi∈Ii，令D(α1,α2,…,αn)={β=(βi)∈M:βi=αi,i≤n}，且D={D(α1,α2,…,αn):αi∈βi,i≤n,n∈N}，显然D是M的一个基，并且f(D(α1,α2,…,αn))=nBα.