碳限额与交易政策下易变质产品的最优库存策略

柏庆国，徐贤浩

(1. 曲阜师范大学管理学院，山东 日照 276826；2. 华中科技大学管理学院，湖北 武汉 430074)



碳限额与交易政策下易变质产品的最优库存策略

柏庆国1，徐贤浩2

(1. 曲阜师范大学管理学院，山东 日照 276826；2. 华中科技大学管理学院，湖北 武汉 430074)

研究了碳政策下易变质产品的库存优化问题。结合易变质产品销售价格随时间变化与产品在订购和存贮过程会产生碳排放的实际情形，以有限计划期内零售商总利润最大为目标，构建了碳限额与交易政策下易变质产品的库存优化模型。分析模型最优解的相关性质并求解了零售商在碳政策约束下的最优订购次数。进一步将最优订购次数分别与无碳约束情形和零售商实现最小碳排放时对应的订购次数进行比较，得出零售商在碳政策下实现高利润和低排放的条件。最后通过数值算例对模型的理论结果进行验证，探讨了相关参数对零售商库存策略的影响。研究结果表明：在碳限额与交易政策下，存在唯一的最优订购策略使得零售商在有限计划期内的总利润值取得最大；当零售商在碳政策下的最优订购次数等于释放最小碳排放所对应的订购次数时，零售商能够实现高利润和低排放的双赢结果。

碳限额与交易；时变价格；库存模型；最优策略

1 引言

低碳经济是当前社会可持续发展的主题，有效地降低二氧化碳等温室气体的过度排放则是实现这一主题的有效途径。作为减少碳排放的重要手段之一，碳政策被各国政府和组织制定并实施， 例如，为了帮助成员国履行减排承诺，欧盟 (EU)于2005年启动了以碳限额与交易(Cap-and-trade)为核心的排放交易体系(ETS)。碳限额与交易是指对纳入排放交易体系的企业分配一定数量的碳排放许可权，如果企业的实际排放量小于分配到的碳排放许可权，那么该企业就可以将剩余的排放权通过交易体系出售获取利润，否则企业就需要通过交易体系购买碳排放权。碳限额与交易政策通过政府管制和市场激励的双重手段进行有效减排，这也使得该政策在实际中被广泛应用。作为制造业大国，我国长期致力于降低二氧化碳的排放， 2013年就在北京、天津和深圳等7个省市运行了碳排放交易市场；2014年9月发改委发布《国家应对气候变化规划(2014-2020年)》则提出将继续深化碳排放权交易试点，加快建立全国碳排放交易市场。作为二氧化碳排放的主体，企业在碳政策的实施过程中扮演着重要的角色，其经营决策与目标发生了根本改变。因此，在碳政策约束下如何有效地进行库存优化成为当前运作管理领域的一个研究热点。

目前，一些学者对碳政策下的企业运作决策进行了研究。如 Hua Guowei 等[1]将经典的EOQ模型推广到考虑碳约束的情形。他们求解企业在碳限额与交易政策下的库存策略并分析了企业实现低成本和低排放条件。Chen Xi等[2]基于EOQ模型考虑了企业在碳配额、碳税等排放政策下的库存策略，他们分析并比较不同碳政策对企业库存策略的影响。Toptal[3]分别考虑了企业在碳限额与交易、碳配额和碳税政策下的联合订购与减排投资策略。他们分析三种碳政策对企业联合库存和减排投资策略的影响，研究发现在碳限额与交易政策下企业进行投资减排技术能够实现低成本和低排放的双赢结果。Konur 和 Schaefer[4]研究了碳限额与交易、碳配额和碳税等排放政策下企业的联合库存与运输策略，其中运输方式为零担运输(Less-than-truckload)和整车运输 (Truckload)。他们研究表明在碳政策约束下，企业更愿意采用零担运输方式来降低成本和减少碳排放。He Ping等[5]建立了碳限额与交易政策和碳税政策下的库存优化模型。当碳排放权的购买价格不低于售出价格时，他们求解了企业在碳限额与交易政策下的库存策略并与碳税情形进行比较，得出相应的管理启示。以上文献的特点是基于经典的EOQ模型分析企业在碳政策下的库存策略。还有一些学者从经济批量(ELS)问题、报童(Newsvendor)问题等其他视角分析碳政策对企业订购策略的影响，相关的文献如 Benjaafar等[6]，Song Jingpu和 Leng Mingming[7]，王明喜等[8]，骆瑞玲等[9]，张汉江等[10]。

上述文献都是以非变质产品为研究对象分析了碳政策对企业运作决策的影响。然而，实际中很多的物品在存储过程中都具有变质的物理属性，这类产品称为易变质产品。目前运作管理领域的理论研究者从多个角度对易变质产品的库存优化问题进行了研究，得到大量杰出的理论成果，详细的文献综述见Goyal和Giri[11]， Bakker等[12]。Dye 和Yang[13]则首次考虑了碳限额与交易政策对易变质产品库存优化模型的影响。假设产品需求率依赖于企业给顾客提供信贷周期的长度和产品的销售价格为常数，他们以无限计划期内企业的平均总利润最大为目标求解了碳政策下的商业信用和库存策略。然而在当前基于时间竞争的市场环境下，产品的销售价格往往随时间动态变化。另一方面，产品变质的物理属性使得该类产品在有限计划期内的多次订购对其库存策略具有明显的影响。在此情形下，一些理论研究者对有限计划期内的易变质库存优化模型进行了研究。如，Chen 和 Dye[14]考虑时变需求下易变质产品库存优化模型。假设企业会通过投资保护技术降低产品的损耗程度， 他们利用粒子群优化算法求解了零售商在有限计划期内的最优订购次数、订购时间与保护技术投资。Gilding[15]以有限计划期内的总成本最小为目标建立时变需求环境下的库存优化模型，并对允许缺货和不允许缺货两种情形分别研究了通货膨胀对其最优订购策略的影响。Ghoreishi 等[16]考虑市场需求受通货膨胀率和销售价格影响的非立即变质产品库存模型，其中允许顾客退货且退货率依赖于产品需求率和销售价格。他们求解了最优销售价格和订购次数使得企业在有限计划期内总利润的贴现值最大。其他类似的文献见Pal 等[17]，Palanivel 和 Uthayakumar[18]，Xu Xiaohao等[19]，徐健腾等[20]，段永瑞等[21]。

上述文献在对有限计划期内的易变质库存优化模型进行研究时都没有考虑碳政策对企业库存策略的影响。由于易变质产品在订购和存贮过程具有保持新鲜度、防止变质的特殊要求，多次订购该类产品会消耗更多的资源，释放出更多的二氧化碳。而且在碳政策约束下，企业经营易变质产品的决策环境和运营目标发生了变化。基于以上现实背景，本文分析碳限额与交易政策对某零售商在有限计划期内库存策略的影响。当产品的销售价格随时间连续动态变化时，以有限计划期内总利润最大为目标建立了碳限额与交易政策下的库存优化模型。首先证明最优订购策略的唯一性并求解了最优订购次数。然后，与无碳约束情形和以碳排放量最小为目标的碳模型分别进行比较，得出零售商实现高利润和低排放的条件。最后通过算例验证了理论结果。本文的创新点在于(1)与当前有限计划期内易变质产品的库存优化模型相比，考虑了碳政策对库存策略的影响；(2)与当前碳政策下的库存优化模型相比，研究易变质产品在碳排放约束下的运营策略，并对此类产品分析了实现高利润和低排放的条件。

2 问题描述与符号说明

表1给出了文中相关的符号定义。

表1 符号定义

3 模型的建立和求解

3.1 数学模型的建立

根据问题描述可以知道，在第i订购周期初si-1时刻开始，产品的需求和变质使得零售商的库存不断减少直至在si时刻减少为零。用如下微分方程表示这一变化过程：

(1)

方程(1)定量描述了零售商在第i订购周期的库存变化。为了便于分析零售商最优订购策略的性质，参考库存优化模型的研究文献[14-16,19]，我们假设零售商在最初与最终时刻的库存为零。利用边界条件I(si)=0求解上述方程(1)得:

(2)

利用(2)， 可以求得零售商在第i订购周期的库存总量Ii和订购量Qi分别为:

(3)

(4)

利用(3)可得第i订购周期内零售商的库存成本与产品的变质成本之和为:

(5)

利用(4)可得第i订购周期内的订购成本为:

(6)

考虑到零售商销售产品的价格为时变函数p(t),可以求得第i订购周期零售商的销售收入为:

(7)

此外，由于产品在订购和存贮过程中会产生碳排放，结合(3) 和(4)，可以求得该类产品在整个计划期内的碳排放量为:

(8)

结合(5)-(8)，可以得到碳限额与交易政策下零售商的总利润函数为:

(9)

这里，X=C-E(n,{si}) ，其中X=0表示零售商的碳排放量刚好达到碳配额，X>0表示零售商可以卖出一定的碳排放权，而X<0则表示了零售商需要购买一定的碳排放权。

3.2 数学模型的求解

(10)

求解(10)，我们可得如下结论。

接下来，我们证明由(10)确定的{si}使得TP1(n,{si},X)取得最大值。对TP1(n,{si},X)关于si,si-1和si+1分别求二阶偏导数得:

(11)

(12)

和

(13)

(14)

当k为奇数时，Mk<0；当k为偶数时，Mk>0,因此TP1(n,{si},X)对应的海森矩阵为负定矩阵。从而定理得证。

利用定理 1，可将零售商在碳限额与交易政策下的总利润函数TP1(n,{si},X)化简成自变量为n的一元函数，将其简记为TP1(n),则有:

(15)

定义函数f(x)=xex-ex+1,这里0≤x≤θH。利用(15)，我们有如下结论。

定理2 对于碳限额与交易政策下的库存优化问题，若(c+cpce)Df(θH)>θ(A+cpAe),则存在唯一的n1使得零售商的利润值取得最大；否则，零售商只需订购1次即可使得其利润值取得最大。

证明：将订购周期次数n松弛为连续变量，对TP1(n)关于n求一阶和二阶偏导数得:

(16)

(17)

(18)

利用定理2，我们有如下推论。

推论1 在碳限额与交易政策下，当零售商获得最大利润值时，如下结论成立：

推论1(i)表明碳配额的取值直接影响到零售商的利润值，并且碳配额取值越大越有利于零售商获得更多的利润。推论 1(ii)则通过比较临界值X0的非负性得到零售商在获得最大利润时购买碳排放权的条件。对于政府给定的碳配额，零售商可以根据临界值X0的大小调整订购策略从而在获得最大利润的同时尽可能降低碳排放量。

3.3 模型的进一步分析

本节，我们首先分析零售商释放最小碳排放量时对应的订购策略。类似于碳限额与交易政策下零售商最优策略性质的分析，对于给定的订购周期次数n,零售商的碳排放总量E(n,{si}),简记为E(n),可表示如下：

(19)

(20)

利用(19)和(20)可得如下结论。

接下来，我们进一步分析零售商在无碳约束下的最优订购策略。将零售商在无碳约束下的总利润TP2(n,{si})简记为TP2(n),则其函数表达式为:

(21)

(22)

定理3比较了零售商在碳限额与交易政策和无碳约束下的利润值大小。从定理 3 的证明可以看出，当零售商在碳限额与交易政策下的碳排放量大于碳配额时，零售商获得的最大利润值将不大于无碳约束下获得的利润值。这说明在碳限额与交易政策下释放过多的碳排放不利于零售商获取更多的利润值。

将(18) 和(20)、(22)分别进行比较， 我们可得如下结论。

(23)

(24)

(25)

定理4 比较了零售商在碳限额与交易政策、无碳约束和释放最小碳排放量时订购周期次数的大小。 从定理4的证明可以看出若零售商在碳限额与交易政策下的最优订购周期次数等于释放最小碳排放时对应的订购周期次数则零售商能够实现高利润和低碳排放的结果。

4 数值算例

利用以上参数值，我们可以计算得出零售商在碳限额与交易政策下的最优订购周期次数、订购量和最优利润值分别为 15，243.88 和 103520，此时的碳排放量为 17676。在无碳约束下零售商的最优订购周期次数、订购量和最优利润值分别为 13，282.10 和 98918。由于碳排放量小于碳配额，此时零售商在碳限额与交易政策下可以售出一部分碳排放权，这使得零售商的利润值比无碳约束情形下的利润值高出了4602。这同时表明碳政策使得零售商获得了更多的利润。另一方面，当零售商的碳排放量达到最小时对应的最优订购周期次数、订购量和碳排放量分别为 16，228.41和 17664。此时零售商的碳排放量比最小碳排放量多出了12个单位，这表明在本算例中零售商尽管能够获得更多的利润但不能实现最小碳排放。

利用基本算例中的参数值，我们进一步分析H,θ和cp对零售商在碳限额与交易政策下的最优订购策略的影响，相应的趋势变化曲线见图1-3。

从图1可以看出，随着计划期长度H的增加，零售商在碳限额与交易政策下的利润值呈现先增加后减少的趋势而在无碳约束下的利润值一直在增加。当H<7时，零售商在碳限额与交易政策下的利润值高于无碳约束下的利润值而当H≥7时，零售商在碳限额与交易政策下的利润值一直小于无碳约束下的利润值并且二者之间的差值随着H的增加而变大。这是因为当H<7时零售商的碳排放一直小于碳配额，此时零售商可以通过售出额外的碳排放权获得一定收入，这也使得零售商的利润值大于无碳约束下的利润值；随着H的增加，零售商的碳排放量超过了碳配额，在此情形下，零售商只能购买碳排放权这造成了零售商收入的减少同时使得零售商的利润值小于无碳约束下的利润值。购买碳排放权成本的增加使得零售商在碳政策和无碳约束下的利润差值变大。随着H的增加，零售商在碳限额与交易政策、无碳约束以及释放最小碳排放量时对应的订购周期次数分别增加。另一方面，随着H的增加，零售商的碳排放量和最小碳排放量之间的差值呈现波动性增长，这说明了计划期长度H越大越不利于零售商实现高利润和低排放的结果。

从图2可以看出，随着产品变质率θ的增加，零售商在碳限额与交易政策和无碳约束下的利润值分别减少。零售商在碳限额与交易政策下的利润值一直大于无碳约束下的利润值，这主要是因为，当零售商的碳排放量小于碳配额时，零售商在碳政策下可以通过售出一部分碳排放权获得额外的收入。当θ增加时，零售商会采取多次订购、少量库存的方式来降低产品变质的风险，在此情形下，结合本算例的数据可以看出零售商在碳限额与交易政策和无碳约束下的订购次数呈现梯形增加。此外，零售商释放最小碳排放量时的最优订购周期次数随着变质率θ的增加呈现梯形增加的趋势，并且一直大于碳限额与交易政策和无碳约束下的订购周期次数。另一方面， 随着变质率θ的增加，零售商的碳排放量和最小碳排放量的差值呈现波动性变化的趋势。在产品变质率θ分别为 0.02和 0.07 时，零售商的碳排放量和最小碳排放量之间的差值最小而当θ等于 0.01 和 0.06 时零售商的碳排放量和最小碳排放量之间的差值最大。

图1 计划期长度H对模型的影响

图2 产品变质率θ对模型的影响

图3 碳排放权交易价格cp对模型的影响

从图3可以看出，随着碳排放权交易价格cp的增加，零售商在碳政策下的利润值增加而在无碳约束下的利润值保持不变，并且前者一直大于后者。这是因为当零售商的碳排放量小于碳配额时，增加碳排放权交易价格能够使得零售商出售更多的碳排放权而获得额外收入。此时零售商会采取增加订购次数和减少每次订购数量的策略来降低碳排放，因此，随着碳排放权交易价格cp的增加，零售商在碳政策下的最优订购次数呈现增加的趋势而在无碳约束以及释放最小碳排放量时对应的订购次数分别保持不变。这一方面说明，碳排放权交易价格的变化改变了零售商在碳政策下的库存策略；另一方面说明，当碳排放量小于碳配额时，提高碳排放权交易价格有利于激励零售商降低碳排放同时还能使得零售商获取更高的利润。例如，从图3(c)可以看出，当cp的取值大于1.5时，零售商的碳排放量和最小碳排放量之间的差值降低为12个单位。

5 结语

我们针对产品在订购和存贮过程中会产生碳排放且其销售价格随时间连续动态变化的情形，研究了有限计划期内易变质产品的库存策略问题。首先构建碳限额与交易政策下的库存优化模型，分析并求解了零售商在有限计划期内最优订购策略。然后将零售商在碳限额与交易政策下的最优订购策略分别与无碳约束和零售商释放最小碳排放量时对应的最优订购策略进行比较，得出零售商在碳政策下实现高利润和低排放的条件。最后结合数值试验对理论结果进行验证并分析了相关系数对零售商最优订购策略的影响。该文得到的相关结论如下：(1)在碳限额与交易政策下，存在唯一的最优订购时间和订购周期次数使得零售商在有限计划期内的总利润获得最大；(2)当碳政策约束下的最优订购周期次数等于释放最小碳排放所对应的订购周期次数时，零售商在碳限额与交易政策下能够实现高利润和低排放的双赢结果；(3)有限计划期长度取值越大越不利于零售商实现高利润和低排放而当碳排放量小于碳配额时，提高碳排放权交易的价格有利于零售商实现高利润和低排放。

我们得出的研究成果对于低碳供应链中的库存管理者具有一定的指导意义。比如在碳限额与交易政策下，零售商决策者应该通过改变订购次数实现高利润和低排放的双赢结果。我们的研究结论适合于单个企业的运作决策，而在当前市场环境下，企业的竞争逐渐转向供应链之间的竞争，因此有必要研究碳排放政策下供应链的运作决策，这也是今后的研究方向。

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Optimal Inventory Policy for Deteriorating Items Under Cap-and-trade Regulation

BAI Qing-guo1，XU Xian-hao2

(1. School of Management， Qufu Normal University，Rizhao, 276826；2. School of Management，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074，China)

Reducing the excessive emissions of greenhouse gases such as carbon dioxide is an effective way to achieve a low carbon economy. Many governments have carried out carbon cap-and-trade regulation. This regulation has brought more challenges to the firms’ operational management because the firm activities are the main source of carbon emissions. In this scenario, a new inventory optimization problem for deteriorating items is proposed from the perspective of a retailer. The retailer orders a type of deteriorating items from the upstream supplier during a finite time horizon and sells it to customers with a time-varying price. This type of product deteriorates with a constant deterioration rate during the storing process. Moreover, the carbon emissions are generated in the ordering and storing processes. Under the constraint of carbon cap-and-trade regulation, the retailer should determine the optimal number of replenishment cycles, replenishment time and order quantity to maximize his/her total profit. This paper formulates a mixed-integer optimization model for this problem. By analyzing several properties of this model, we solve the optimal solution by using convex optimization method. Further-more,it is compared with the other two replenishment policies of the model without carbon emission consideration and the model with minimizing the carbon emissions. By solving the above thee replenishment policies, the key conditions of attaining higher profit and lower carbon emissions theoretically are cleriued. Finally, numerical analysis is used to illustrate the theoretical results and the effects of some key parameters on the optimal replenishment policy are analyzed. The results show that, the optimal number of replenishment cycles can be uniquely determined to maximize the total profit of the retailer under carbon cap-and-trade regulation; the retailer may obtain higher profit and emit lower carbon emissions when the optimal number of replenishment cycles under cap-and-trade regulation is equals to that of the model with minimizing the carbon emissions; decreasing the length of time horizon or increasing the price of trading carbon emission permit may lead to higher profit and lower carbon emissions. These observations can help firm decision-makers to determine the optimal inventory policy for maximizing his/her profit and reducing carbon emissions. On the other hand, these results can help government policy-makers to determine several feasible carbon parameters in constructing specific carbon emission regulation.

cap-and-trade；time-varying price；inventory model；optimal policy

2016-05-10；

2016-12-13

国家自然科学基金资助项目(71620107002， 71371107);教育部人文社科青年基金资助项目(14YJCZH171)

柏庆国(1979-)，男(汉族)，山东临沂人，曲阜师范大学管理学院副教授，博士，研究方向：物流与供应链管理，E-mail: hustbaiqg@hust.edu.cn.

1003-207(2017)07-0028-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.07.004

F253；O227

A