三维半线性波动方程初值问题解的破裂*

韩 伟，赵洋洋，祝倩倩，路 飞

（中北大学理学院，太原 030051）

三维半线性波动方程初值问题解的破裂*

韩 伟，赵洋洋，祝倩倩，路 飞

（中北大学理学院，太原 030051）

研究了半线性波动方程初值问题在三维空间中解的生命跨度的上界估计，关于此初值问题的爆破解将被建立。无论多么小的初值，该问题都没有整体解，在前人研究的基础上给出该初值问题解的生命跨度的上界估计。

半线性波动方程，初值问题，生命跨度

1 引言及定理

考虑下述半线性波动方程的初值问题：

φ（x）和ψ（x）为充分光滑且具有紧支集的函数，假设

而ε〉0是一个小参数。

对于半线性波动方程的初值问题已有大量文献做了详细研究，可参见文献［1-12］.

定理 设初始函数 φ（x）及 ψ（x）满足式（3）～ 式（5），则对初值问题式（1）～ 式（2）的经典解 u=u（t，x）的生命跨度T（ε）有如下的上界估计：存在一个与ε无关的正常数C，使

2 预备引理

为了证明本文的结果，给出如下几个引理：

F（t）在有限时间内破裂，T〈∞，进一步得出 F（t）的生命跨度 T（ε）：

其中，C，δ，k都为正常数，而C只与k有关，与δ无关。

证明：破裂结果的证明可见文献［3］。为了方便读者，现给出求解的生命跨度估计方法。

当δ≤1时，计算得出

为研究新的半线性波动方程在三维空间中的初值问题，先对下面两类初值问题在三维空间中的结果进行分析：

(一)离合词“A了个B”的概念重组之后表示的是动词的量，表次数；而网络词“A了(嘞)个B”则是纯形式，概念重组之后仍继承的是指向决定体的意义，只是因为音节的增多而使得语气缓和，风格幽默。如“出了个丑”表示的是出丑的量，一次。又如：

其中初始函数 φ（x）及 ψ（x）满足式（3）～ 式（5），而ε〉0是一个小参数。

引理2 设初值问题①在0≤t〈T（ε）上有一个解 u=u（t，x），若在三维空间中，以下假设条件均成立：

则存在一个与ε无关的正常数A，使问题①的解的生命跨度有如下的上界估计：

证明：令

将问题①中的方程进行积分，可得：

由Ho··lder不等式，结合式（10）可得

又由式（14）得

当 1≤t〈T（ε）时有

结合式（14）得

对 t从 0开始积分式（16），利用式（11）可得当 1≤t〈T（ε）时，有

由式（15）及式（17），结合引理 1可得式（12），证毕。

引理 3 设初始函数 φ（x）及 ψ（x）满足式（3）～式（5），在三维空间中，对初值问题（2）的经典解u=u（t，x）的生命跨度 T（ε）有如下的上界估计，存在一个与ε无关的正常数B，使

证明：令

用垂直于ω1轴的平面截割单位球面S2，将上式积分化为在ω1方向上高度为dω1，而半径为的微元球面带域上积分的叠加，显然有

由式（46）即可得到引理3中的结论，证毕。

3 定理的证明

由叠加原理，结合两类初值问题①和②可得到初值问题式（1）～ 式（2）的解 u（t，x），其生命跨度 T（ε）有如下的上界估计：

证明过程中所涉及的 A，B，C，C1，C2，C3，C4均为正常数，证毕。

［1］谷超豪，李大潜.数学物理方程［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［2］ZHOU Y，HAN W.Life-span of solutions to critical semilinear wave equations［J］.Communications in Partial Differential Equations，2014，39（3）：439-451.

［3］SIDERIS T C.Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations in high dimensions［J］.Journal of differential equations，1984，52（3）：378-406.

［4］LAI N A，ZHOU Y.Finite time blow up to critical semilinear wave equation outside the ball in 3-D［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods&Applications，2015，125：550-560.

［5］ZHOU Y，HAN W.Sharpness on the lower bound of the lifespan of solutions to nonlinear wave equations［J］.Chinese Annals of Mathematics，Series B，2011，32（4）：521-526.

［6］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，374（2）：585-601.

［7］STRAUSS W A.Nonlinear scattering theory at low energy［J］.Journal of functional analysis，1981，41（1）：110-133.

［8］JOHN F.Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions ［J］.Manuscripta Mathematica，1979，28（1-3）：235-268.

［9］ZHOU Y.Cauchy problem for semilinear wave equations in four space dimensions with small initial data［J］.J.Differential Equations，1995，8：135-144.

［10］SIDERIS T C.Formation of singularities in solutions to nonlinear hyperbolic equations［J］.Archive for rational mechanics and analysis，1984，86（4）：369-381.

［11］SOGGE C D.Lectures on non-linear wave equations［M］.Boston：International Press，1995.

Blow up of Solutions for the Initial Value Problems of Semilinear Wave Equation in Three Dimension

HAN Wei，ZHAO Yang-yang，ZHU Qian-qian，LU Fei
（College of Science，North University of China，Taiyuan 030051，China）

This paper is devoted to studying the solution of the initial value problem of semilinear wave equation and estimating the upper bound of life span in three dimensions.Explosive solution about this initial value problem will beestablished.No matter how small the initial value，this problem without the global solution，the result has been proved by his predecessors，at this point，the upper bound estimate of life span of the initial value problem will be given.

semilinear wave equation，initial value problem，life span

O175.29

：A

10.3969/j.issn.1002-0640.2017.06.014

2016-05-05

：2016-06-07

国家自然科学基金（11301489；11571324）；山西青年科学基金项目（2015021001）；中北大学青年学术带头人支持计划资助项目

韩 伟（1981- ），男，山西盂县人，副教授，研究生导师。研究方向：应用数学。

1002-0640（2017）06-0063-04