哥德巴赫猜想的证明

摘 要：从奇数Jb序列中发现，除了2与5，其他所有素数只存在于尾数为1、3、7、9的奇数中，然后求出Jb序列中的合数方程式，当Jb数轴上消去这些合数后，即得到Jb数轴上的素数及素数分布情况。又将偶数PY分为两个相等的整数，采用和差共有数ΔK，将两个相等的整数变为两个素数，ΔK从尾数相等及Jb序列素数的分布中求出，（+ΔK）+（-ΔK）=0，则得到下式：PY=（[12P]Y+ΔK）+（[12P]Y-ΔK）=qi+qi+1，qi为素数，由此证明了哥德巴赫-欧拉猜想是成立的。

关键词：偶数；奇数；合数；素数；和差共有数

序言：德国数学家哥德巴赫（Goldbach，Christoan，1690—1764）于1742年6月7日在给欧拉（Enler，Lecnhard，1707—1783，瑞士数学家，天文学家）的信中，提出了下列猜想，即任何一个n≥9的奇数，可以用三个素数之和来表示。同年6月30日，欧拉在回信中表示，为了解决这个问题，需要充分证明：每一个偶数都是两个素数之和。哥德巴赫问题或哥德巴赫-欧拉问题可归结为以下论点：任意一个n≥4的偶数都可分为两个素数之和；任何一个n≥7的奇数都可分为三个素数之和（详见参考文献[1]和[2]）。

已经过去了270多年了，很多数学家都未能证明这两个相关的问题。许多数学爱好者也争相证明。这两个看似简单而又很难证明的相关猜想，让许多人耗去了一生的心血。

其实数与数之间的相互关系，不能用那些模糊的、复杂的数学推理去证明。我们只要根据数与数之间的变化规律，即可用准确而简单的公式来证明。

序幕：在未证明命题之前，首先要确定数名的代表符号及解释各词组的定义。这里令：Py代表偶数、Jb代表奇数、HR代表合数、qi代表素数（或质数）、ΔK代表和差共有数、[C]·代表尾数、m代表自然数或正整数，以1为进位单位，m=1，2，3，…∞，n代表公式中的序列数，以1为进位单位，n=1，2，3，…∞，b、y、i、R、k为脚注号，表示有许多不同的整数或连续或不连续的序列数；（+ΔK）+（-ΔK）恒等于零。

重要词组：偶数、奇数、合数、素数、尾数、序列数、和差共有数。

对于早已熟知的词组无须注解。这里只注解一个新词组-和差共有数：任何一个偶数，均可分成两个完全相等的整数，其中一个整数加一个整数可成为素数，另一个相等的整数减去同一个整数也可成为素数，这个共同的整数即为该两个相等整数的和差共有数。得公式：

PY=[12P]Y+[12P]Y=（[12P]Y+ΔK）+（[12P]Y-ΔK）=qi+qi+1

哥德巴赫-欧拉猜想的准证明：要证明命题，首先要了解素数（质数）在Jb数轴上的分布规律。在Jb数轴上消除了合数数组，则得到了Jb数轴上剩余的空格数组就是素数数组了。因为在Jb数轴上，Jb[5]·是以5为尾数，大于5的所有数均为合数数组，无须研究。除了2与5，其余全部素数只存在于Jb中的四个数轴中：Jb[3]·、Jb[7]·、Jb[9]·、Jb[11]·。为了有效消除Jb数轴上的合数数组，第一必须保证合数数组的尾数是一致的；第二要保证至计算点没有合数数组的遗漏。为保证这两个必要条件，建立以下合数方程式。

（2-2）式、（5-5）式、（8-8）式及（11-11）式中，每一个合数数组的n均从0开始，以1为进位单位，各个合数数组互不干扰。上述四个数轴，各自消除了由方程式所给出的合数数组后，数轴上剩余的合数空格数组即为素数。在数轴上出现了同一个Jb数组有多个重复的合数数组，只取其一个合数数组，因为Jb数轴上的数组都是唯一的。为了方便检验，我们以Jb[11]·数轴为例，取部分值进行运算，以观察实际效果。

我们利用上述合数方程式，可求得任意的奇数中素数的占有量。

二、素数数组的变化规律

1.单位数组中qi的部分实算占有量

为了便于比较，我们将m序列数组分成许多相等的数段，m最小数是1，而向大数方向的数是无限的。为了避开10以内的特殊点（后面做专项说明），令m=Jb+Py=500个数组+500个数组=1000个数组，Jb从11起始，Py從12起始，把m序列数组分成很多以1000个数组为单位的数组段。相应得到，Jb=Jb[C]·+ Jb[5]·=400个数组+100个数组=500个数组，Jb[C]·=Jb[3]·+ Jb[7]·+Jb[9]·+Jb[11]·=100个数组+100个数组+100个数组+100个数组=400个数组。由前面的方程式及介绍的方法，很容易求得尾数为：[3]·=3， [7]·=7， [9]·=9， [11]·=[1]·=1的qi在400个Jb[C]·数组中的占有量，相应得到qi在m及Jb中的占有量。由此即得以下的比例：qi/Jb[C]·，qi/Jb，qi/m。实测值列入E表实测项，q0从11-1009共400个Jb[C]·数组qi的占有量，q1从1011-2009共400个Jb[C]·数组qi的占有量，以此类推。由E表实测数据看出，随着Jb[C]·向大数方向推移，qi的占有量在不断的减少。

2.在系列数组段中qi的变化规律

作者取部分实测值的光滑曲线，发现是一条很规则的数学曲线。经研究推演，得到光滑曲线的方程式为：

qi0=[165×[1-n=1∞710n+12]] （A）

（A）式中：n=1，2，……∞，n所对应的数组段qi0与qi相同。计算时，小数点后四舍五入取整数。由于合数的增量及合数重复密度的差异，实测值qi沿着理论值qi0发生小幅度的波动。理论值qi0列入E表qi0项。

由实测值qi与理论值qi0得到两者的公差数为：

⊿S=±[qi-qi02n-1]=±[223681-1]=±5

公差较小。部分外延验证，理论曲线代表实测曲线的基本线。

由qi在Jb[C]·中占有量的曲线显示，随着数段向大数方向推移，开始数段qi的下降速度较快，然后再向更大的数组段方向推移时，qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降速度越来越缓慢，这和新的数组段中，新的合数起始点不断增多完全一致。在比较小的数组段中，新的合数起始点数量较多，由公式qi=Jb[C]·-HR[C]·已知，HR[C]·增大时，qi减少，Jb[C]·向更大的数段推移时，×qi的间距因qi减少而逐渐拉大，在较大数段中新的合数起始点的数量逐渐减少，致使qi在Jb[C]·中占有量的曲线下降的速度越来越缓慢；总之，单位素数的占有量随着数组段向大数方向推移在不断的减少。由（A）式得到，当n很大很大时，7/10（n+1）2→0， （A）式的后部分由变数逐渐趋近于常数，得到（A）式的极限值为：[limqi]>20。由此得到qi与Jb[C]·、Jb、m的最大比例、中等比例与最小比例分别为：qi0/Jb[C]·=165/400→80/400→>20/400，qi0/Jb=165/500→80/500→>20/500，qi0/m=165/1000→80/1000→>20/1000。

哥德巴赫-欧拉猜想的证明：

1.几个特殊点及小整数的直观判定

0不是正整数也不是负整数的整数。1是正整数或自然数最小整数但不是素数。2是小偶数也是最小素数。2与5只能在自然数基数或正整数基数中被定为素数。>5以5为尾数的所有奇数均为合数。2与5为不能进入运算系统的特殊点。小整数是否符合猜想很容易直接判定。如：4=2+2；6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=7+7=3+11；16=5+11=3+13；18=5+13=7+11；20=7+13=3+17。>20的任意偶数可分成两个素数之和的素数全部存在于尾数为：1、3、7、9的奇数中，已由前面的方程式给出。>5的小奇数分成三个素数之和可直观判定。如：7=2+2+3；9=3+3+3；11=3+3+5；13=3+5+5=3+3+7；15=5+5+5=3+5+7；17=3+7+7=3+3+11；19=3+5+11=5+7+7；21=3+5+13=3+7+11。>21的任意奇数可由方程式给出。

这里有个新提法：同一个偶数可分成多个不同的两个素数之和的素数对，依次被称为一个素数对，两个素数对及多个素数对。比如前面的小偶数也可分成一个素数对及两个素数对。

2.Δk的求解与（B）式的证明

从前面的方程式已详尽知道了qi在m序列中的分布规律，为解决证题打下了基础。我们又已知，任何大于或等于4的偶数均可分成两个完全相等的整数，如果我们能求出Δk，下式必然成立：

3.（B）式的进一步证明

（1）视素数对ΔK（f）与[12] PY的关系式

为了区分真假素数对，我们将ΔK分成两部分，令ΔK（f）为视素数对的数量，ΔK（g）为真素数对的数量。ΔK（f）视素数对的定义为：和的两个数组都是合数，也可以是一个数组是合数，另一个数组是素数，也可以是和的两个数组都是素数。ΔK（g）真素数对的定义为：和的两个数组都必须是素数。由（B）式的10个分式已知，[12] PY±ΔK的ΔK数为：ΔK=3个[C]·+3个10K，当K每进位1时，则在ΔK中进位10。视素数对ΔK（f）的多少取决于[12] PY的大小。由此得到：

由（C）式即可求得PY为任何大的偶数时，PY拥有的视素数对ΔK（f）的数量。比如PY=102，由（C）式求得：ΔK（f）=（51-1）×[310]=15个视素数对。此时ΔK=ΔK（f），由前面的公式查得：[PY]·=2及[[12] PY]·=1时，得ΔK=0+10K；2+10K；8+10K（K=0，1，2，……）。由此得到：PY=51+51=102=（51+0）+（51-0）=（51+10）+（51-10）=（51+20）+（51-20）=（51+30）+（51-30）=（51+40）+（51-40）=（51+2）+（51-2）=（51+12）+（51-12）=（51+22）+（51-22）=（51+32）+（51-32）=（51+42）+（51-42）=（51+8）+（51-8）=（51+18）+（51-18）=（51+28）+（51-28）=（51+38）+（51-38）=（51+48）+（51-48）。數组对上面打X为非素数对，数组对上面打△为真素数对。由具体式求得ΔK（f）=15个对，ΔK（g）=7个对，得到真素数对在视素数对中占有的百分比为：ΔK（g）/ ΔK（f）×100/100=46.7%。

（2）ΔK（g）的超低取值

参考文献：

[1]主编丹尼尔·拉佩兹（Dznie/N·1·apedecs），科学技术百科全书，第一卷，数学[M].科学出版社，1980：5.

[2]曾少潜主编，世界著名科学家简介，增订版[M].科学技术文献出版社，1983：11-15，21.

[3]作者黄诗炎，《应用尾数域证明费尔马大定理》，发表在《中国科教论文选》第一卷[M].红旗出版社出版，1997：653-659.

作者简介：

黄诗炎（1937—），男，湖北保康人，工程师，主要从事地震预测研究及数论研究。