数学解题中“构造法”的应用探讨

梅永健

构造法，即对于难以解决的数学题目，根据题的条件和结论所含有的特征，性质等，改变思考问题的方向，从全新的角度，新的观点来读懂题目，了解题目，联系知识点，进而对条件和结论之间，构造出一种以基本数学知识为支架的数学对象，让原本模糊的知识点清晰起来，从而联系到已知知识点，借助该构造好的数学模型，从而解决数学问题.

一、构造函数，结合方程

方程和函数之间是相互紧紧联系的，学生对于函数比较熟悉，对于构造法也比较好展开讨论.对于代数类型、几何类型的数学题中，几乎都贯彻了函数的解题思想，所以在进行这类题的解答中，利用构造法，将难懂难分解的几何、代数问题转化为简单易懂的函数问题，进而对此题进行求解，在一定程度上增加了学生的思维能力.

例1求证：|a+b+c|/（|a+b+c|+8）≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

分析把不等式中的|a+b+c|视为一个整体，可以构造出相應的函数y=xx+8.再利用它的单调性来证明.

解构造函数y=x/（x+8），x∈[0，+∞）.

而容易证明该函数在其定义域内是单调递增的.

又因为0≤|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|，

所以f（|a+b+c|）

从而得|a+b+c|/（|a+b+c|+8）

≤（|a|+|b|+|c|）/（8+|a|+|b|+|c|）.

二、构造向量，提高效率

用向量解数学题是高中数学中较为常见的知识点，构造法中运用向量可以在一定程度上节约时间，节约学生学习的精力，对于某些不等式的结构我们通常会觉得其跟向量的数量积很相似，所以我们可以将不等式进行变形，将已有的条件转化为数量积的形式，为解题提供更方便快速的方法，进而进行解题.

例2求函数f（x）=1-x+x+3的最大值.

分析本题的常规思路是用导数法求最值，但运算量太大.注意到（1-x）+（x+3）=4是常数，则想到向量的数量积不等式，故可构造向量来解题.

解设ON=（1，1），OM=（1-x，x+3），

所以|ON|=2，|OM|=2，

f（x）=1×1-x+1×x+3=ON·OM

≤|ON||OM|=22（x=-1时取等号）.

所以f（x）最大值为22.

三、构造数列，简单快速

数列在高中数学中占有重要地位，对于已知数列的首项及相邻两项的递推关系，常可以用构造数列法进行解答.

例3设a1=1，an+1=2an+3×（1/2）n+1，求an.

分析递推式像等比数列，但又多了一项，联想到等比数列，不妨构造出新的等比数列来求解.

解假设递推式可化成等比数列的形式

an+1+p（12）n+1=2[an+p（12）n].

整理得an+1=2an+（2p-p2）（12）n.

与题设递推式对照，可知2p-p2=32，得p=1.

故新数列{an+（12）n}是公比为2，首项为a1+12=32的等比数列.所以an+（12）n=32×2n+1，

从而an=3×3n-2-2-n.

了解过考试的同学们应该都知道，高考侧重于人才的挑选，并不是死记硬背可以考出好成绩的，它注重于对学生进行学习能力、思维能力、创造能力的考查，所以高考题大多都是源于课本，但对于原有的知识又有了进一步的拓展.所以对于解答数学题的过程中，学生不应该看到题感觉难而放弃对题进行解答，应该立足于知识点，拓展思路，充分地运用构造法，可以在一定程度上改变苦无思路的情况.难点，有方向地进行攻克以及学习.以高中数学知识中的对称函数进行分析，学生成立小组，教师不限定具体函数形式，让学生进行自我摸索，确定对称函数，通过几何画板，来具体地展示函数的对称操作，对对称轴进行限定以及进行确定，小组进行详细的讲解，包括小组制作这一几何画板的思路以及对于这一知识的理解等，能够实际地锻炼学生的合作意识以及学生的总结能力.

总之，几何画板在高中数学实验教学中的应用效果较为突出，应用价值较高，具体表现为能够具体化高中数学实验教学内容，以及提升学生对于知识的理解深度，以及学生对于高中数学知识的学习主动性，能够发展高中数学实验教学的质量以及效率，达到在预期时间内完成教学目标.