超静定结构支架的受力计算

苏瑞杰，闪修洋，李鑫

(华电郑州机械设计研究院有限公司，郑州 450046)

超静定结构支架的受力计算

苏瑞杰，闪修洋，李鑫

(华电郑州机械设计研究院有限公司，郑州 450046)

以超静定结构支架为研究对象，建立力学模型，以静力学平衡方程为基础，在分析支架受力及变形情况的前提下，利用变形协调条件和力与位移间的物理关系建立变形补充方程，求解微分方程组后得到支架的受力情况。该计算方法与仿真分析所得结果基本吻合，偏差在允许范围内。将该计算方法与传统估算方法进行对比，该方法适用范围更广、结果更准确。

超静定结构；支架；受力分析；计算

图1 三角形滚筒支架示意

0 引言

作为支撑滚筒并承受其动静载荷的三角形支架，结构简单且便于安装和维护。在工程设计过程中，需要对支架进行受力分析和计算，以确保结构安全可靠。以带式输送机系统设计为例，滚筒支架用于安装传动滚筒和改向滚筒并承受皮带的张力，底座与埋铁焊接或锚固。常见的支架底部为4点支撑，在已知皮带拉力及设备自重和尺寸的前提下，列出力和力矩平衡方程即可得出支架的受力情况，这种计算方法忽略了结构件的变形，视其为刚体，属于静力学的范畴[1]。

在实际工程中，当遇到载荷较大的情形时，通常采取增加底部支撑数量的措施，以减小集中力和剪力对支架强度的影响。采用力和力矩平衡的方法对上述情况的支架进行受力计算时，未知力的数目大于有效平衡方程的数目，即成为超静定结构。对于超静定结构，静力学方法已经不能满足求解的需求。

本文以具有超静定结构的支架为分析对象，以带式输送机滚筒支架为例建立力学模型，给出求解方法并与传统估算方法进行对比。

1 力学模型

典型三角形滚筒支架由立柱2，斜立柱3，底梁5及横梁6，7组成，如图1所示，其中A，B，C 3点为锚固支座。外部作用力通过立柱和斜立柱传递到底梁上。槽型钢板2，3，5，6，7通过焊接相连，可以认为其之间为刚性连接[2]；底梁上的支撑点A，B，C在设备重力及皮带拉力的作用下，既受水平方向的力又受竖直方向上的力，可将其等价为铰支座连接[3]，从而可使该支架等价为图2所示的力学模型。

图2 三角形滚筒支架力学模型

图2中：G1，G2，G3分别为传动滚筒、改向滚筒及滚筒支座的重力；W1，W2为输送带的拉力；未知力FAX，FAY，FBX，FBY，FCX，FCY分别为预埋件对滚筒支架A，B，C 3点的支反力，其中FAX，FBX，FCX为水平方向力，FAY，FBY，FCY为竖直方向力。

2 计算原理和方法

FAX，FBX共线且方向一致，都是由输送带拉力W1，W2的水平分力在轴A，B上的正应力引起的。根据受力平衡可得，水平方向上的合力为0，则

(1)

对于FAY，FBY，FCY，由系统平衡原理可知，其内部任一点的合力偶和合力的代数和均为0，列静力学平衡方程

(2)

(3)

方程(2)，(3)中，未知力的数目大于方程的数目，属于超静定问题。在超静定系统中，凡是多于维持平衡所必需的约束称为多余约束，从上式可以看出，此系统中有一个多余约束。选取C处的约束为多余约束，则相应的多余支反力为FCY。

为了揭示多余支反力FCY的作用，可假想将支座C解除，而以支反力FCY代替，这样就得到了原超静定支座的相当系统。忽略剪力引起的截面翘曲，相当于系统在外载荷与多余支反力FCY的作用下发生弯曲变形，为使其变形与原超静定支座相同，多余约束处C点的位移(又称挠度)必须符合原超静定支座在该处的约束条件，即满足变形协调条件

(4)

式中：yC为C点的挠度，一般情况下，在力的作用下不同截面的挠度不同，所以yC=y(x=C)。

以系统中A点为原点，AB方向为X轴，该断面内垂直于AB的方向为Y轴建立坐标系，则AB轴上x处的弯矩为

(5)

在变形较小且轴的内应力不超过比例极限的情况下，根据挠曲轴近似微分方程理论可知，当轴在弯矩M(x)0的作用下发生弯曲变形时，轴上x点处的挠度与弯矩的数学关系为[4]

(6)

式中：EI为刚度系数。

式(6)为线性微分方程，并且轴AB所受到的弯矩M(x)0与载荷成线性齐次关系，所以，当轴AB上有多个载荷同时作用时，挠曲轴近似微分方程的解必等于每个载荷单独作用时挠曲轴近似微分方程解的线性组合，即所求得挠度也与载荷成线性齐次关系[5]。因此，图2所示模型的挠曲轴近似微分方程为

(7)

(8)

式中：C1，C2为积分常数。

由于A，B处有约束，所以外载荷在A，B两处的挠度为0，即位移边界条件为

(9)

(10)

联立方程(2)，(3)，(4)，(5)，(8)，(9)，(10)即可求出FAY，FBY，FCY。

3 计算实例

以图1所示的三角形支架为例，进行受力计算，具体参数见表1。

通过上节所述计算方法求得：FAY=87.20 kN，FBY=119.40 kN，FCY=23.54 kN。其中：FBY，FCY为下压力；FAY为上拔力。

4 软件仿真分析

以实例计算所给的参数为依据进行三维建模，利用Ansys软件进行有限元分析。为了便于建模，把传动滚筒和改向滚筒上的力等效为相同重力的梁，设定A，B，C，A1，B1，C16点约束形式为铰接，如图3所示，这6点的集中力计算结果见表2。

表1 支架参数

图3 三维建模

把计算值等效到图2所示的力学模型截面上可得：FAY=(66.358+53.620)/2=60.00 kN(上拔力)，FBY=(127.820+110.360)/2=119.09 kN(下压力)，FCY=(19.998+15.725)/2=17.86 kN(下压力)。

与实例计算结果对比，FBY大小一致，FAY，FCY偏小，原因如下。

表2 集中力计算结果 N

(1)本文所述的力学建模是把支架等效为一个平面内的杆件结构，忽略了Z方向上的应力和应变对系统受力的影响。

(2)在Z方向，滚筒对横梁的弯矩作用会引起梁两端截面的翘曲，对底座有一定的反作用力，该力会抵消部分A，C上的上拔力，故而FAY，FCY偏小。

综合对比结果分析，该计算方法与仿真分析所得的值基本吻合，偏差在允许范围内。

5 该计算方法的优点

在以往的工程设计计算中，遇到类似超静定问题时，支架所受的水平分力FAX，FBX，FCX的计算方法与公式(3)相同，竖直分力FAY，FBY，FCY的计算法为：假设只有A，B两个支撑点，通过静力学理论，列出力和力矩平衡方程求出FAY，FBY，然后利用几何学方法估算出C支撑点的竖直力，方法如图4所示。

图4 几何法示意

图4中，AD，BE线段的长度表示FAY，FBY的值，连接D，E两点，以C点为起点作垂直于轴AB的垂线，交DE于点F，线段CF的值即为FCY的大小，C到F的指向即为FCY的方向。

和上述计算方法相比，本文所述计算方法有以下优点。

(1)把支架当作弹性体，考虑其变形和挠度，力学建模和力值分析方法更加贴近实际，所求得的结果更为精确，在满足受力要求的前提下节约了土建成本。

(2)以往计算方法是通过几何学原理求得FCY的方向，缺乏理论依据，不利于土建专业对基础埋件的工艺设计(受拉、受压对土建专业工艺设计的要求是不同的)。

(3)当所求出的FAY，FBY大小相等方向相反，且C点处于AB中点时，传统方法求得的FCY为 0，显然与实际不符。相比之下，超静定算法求得的结果更具有说服性。

(4)当支架的支撑点数量远大于3且支架的尺寸较大时，以往计算方法所得的FAY，FBY的值(即底梁两端支撑点的力)跟实际值相差很大，甚至出现失真，在应用范围上具有局限性，而超静定计算法则是普遍适用的。

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]贺克让.大倾角带式输送机三角形支架设计[J].起重运输机械，1993(2)：19-23.

[3]郑文纬，吴克坚，郑星河.机械原理[M].7版.北京：高等教育出版社，1997.

[4]单辉祖.材料力学教程[M].2版.北京：国防工业出版社，1997：218-220.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

(本文责编：刘芳)

2016-07-07；

2017-06-29

TB 12

A

1674-1951(2017)07-0001-03

苏瑞杰(1981—)，男，河南延津人，工程师，从事散料行业散料输送及处理方面的工作(E-mail:surj@chec.com.cn)。

闪修洋(1989—)，男，河南南阳人，工程师，从事散料行业散料输送及处理方面的工作(E-mail:shan-xy@chec.com.cn)。