追问之后的思考

颜波

案例：关于球内接正方体的图形探究

问题来源于一节新授课：球的表面积和体积。在学习了球的表面积和体积两个基本公式后，我给出了一道例题：若边长为1的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的体积是多少？

这只是一道很常见的例题，很多老师都讲过这道例题，显然这道题的难点在作图。给学生留了两三分钟探索，学生们第一次接触这类题目，图形画的五花八门。我的讲法是：只画正方体（不画球体），只要找到球心位置，并能够算出正方体的对角线长……。并投影出了如下的一幅图。

不料学生们说这幅图看起来只有两个顶点在球面上，怎么看都不像8个顶点都在球O的表面上，请求拿个模型看看，要不画个像点的图形。由于没有相关的模型，我就画了图：先画了背景大圆，再画了两个截面小圆，然后把正方体放进去，于是问题来了：当A1、C1在截面小圆上时，B1、C1就不在截面小圆上，B1、C1都在小圆上，则正方体又走形了（囧），最后只好在图1的先画正方体的基础上很牵强的补画两个截面椭圆，蒙混过关了。

课后，有两学生单独来问：“老师，截面小圆的半径是您随手画的么？有没有什么要注意的？我们也画了两个截面小圆（您看），但是正方体放进去怎么看都不对劲。”我很诧异也很开心：“不错，你能注意到这个细节，说明你是好好想了。这里的确有一些地方要注意：① 两个截面小圆要等大（半径均为r）且平行；② 两个截面小圆与球心O距离相等，均为d；③ 注意：；④ 回去再画画，把图画大些，用作图工具精准作图，应该能画成功。”

没想到我这居然只是填了一个表面的小坑，却又给自己挖了一个更大的坑。

第二天学生把画好的图形拿给我看，他的步骤如下：

（1）先以AB为直径画个大圆，再画两个截面小圆。

（2）依题意，若是正方体棱长为，则

即：：，学生用尺规作图，作出了长度比为的线段。

（3）如图2，MP：MQ：QN=。

（4）如图3：OE=MP，EC=MQ，OC=QN。

再用斜二测画法画出截面小椭圆，发现：椭圆总有一部分在大圆之外（如图4）.

后来改用正等测画法画椭圆，问题依然没有解决（如图5）！这是为什么呢？

首先肯定学生的数据运算无误，其次该学生当面用斜二测画法和正等测画法画椭圆，显然这两个椭圆也画的中规中矩，我没有想到会这样，一时也没能解决这个问题。

第二天周测监考时，无聊的我又想到了这个问题，就开始观察学生们放在桌子上的矿泉水瓶和水杯，发现水面的椭圆形（视觉效果）无论以哪个角度看，椭圆都是左右对称的，用斜二测画法似有不妥。从图中还可以看出：和斜二测画法相比，正等测画的椭圆在大圆之外的部分要少一点，可是仍然有一部分椭圆在大圆之外。此外，椭圆长轴CD的两个端点均在椭圆上是不合理的，原因如下：若是从斜上方向斜下方看球体，CD的两个点均在大圆的内部，d的视觉长度也应比实际长度小一些，只有R不会改变。

有了以上经验，如果用手工画图，作法调整如下：① 画背景大圆（点出圆心）；② 定两个截面小圆的圆心（d约为R的五分之三略少，大致准确就好）；③ 画两个截面小圆（等大，略小于外部轮廓大圆），以正等测画为宜；④ 在截面小圆中画两条过椭圆中心的弦，连出平行四边形，进而连出正方体。

当然，用几何画板画好后保存好，以后就可以一劳永逸了。值得一提的是：在画圆内接正方形的直观图时，原正方形的两条对角线在直观图中对应为椭圆的两条共轭直径（如图，此处请打开超链接），用正等测画法精准表现这个图形有一定难度，而用斜二测画法则相对简单（如图），拖动点C可观看动画。在此基础上我用斜二测画法作出了动态的球内接正方体的效果图（如图，此处请打开超链接），拖动点C，则正方体位置变化。

不足与疑惑：

1.用斜二测画法处理此图合理么？与实物图形有何不同？

2.截面椭圆应该有一半虚线一半实线，可是在几何画板的界面下，用构造椭圆法画椭圆要么全实线要么全虚线。据说有个版本的几何画板能够实现这个效果；

3.如果看几何体的视角变化呢？比如：观察线段AB时，AB的实际长度，AB的的视觉高度AC，在水平面上的投影长度AD都会不同。

显然斜二测画法仅仅只是某个特定视角下的画法规则，雖然这种画法已经广为流传，但是有几个老师想过它的理论背景呢？能不能在画图时改450角为某个定角θ呢？纵向长度折半改为呢？在这两个新规则下用几何画板尝试画直观图，同样是可行的。若将问题推广到一般视角下的直观图，画法规则该如何调整？能否给出一个严谨的理论支撑？看来这个问题还远未得到完全的解决呀！

反思总结：

1.以后在教学中碰到这类问题，不建议画出整个几何体的直观图，只需画出平直状态下的几何体，最多加一个圆形作为衬托平面。如：设正方体的棱长为a，球半径为R：①若球与正方体的每个面都相切，则 R=______；②若球与正方体的各棱相切，则 R=______；③若正方体的八个顶点都在球面上，则 R=______。（如图）

2.如果有一个实物模型，球面用透明塑料壳，内部正方体用皮筋勾连出各棱，在课堂上公开展示，或者让学生传看，效果肯定比老师投影平面图形表现空间图形好得多。不知这样的模型在哪里有卖？我也想自己做一个，小球用气球代替，但总是做的不满意。希望学校能够为数学老师多进一些数学模型。

3.活到老学到老，这是颠扑不破的道理，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！