高中数学中余弦定理的解析

2017-07-25肖茜文湖南省长沙市南雅中学

数码世界 2017年7期

肖茜文湖南省长沙市南雅中学

高中数学中余弦定理的解析

肖茜文湖南省长沙市南雅中学

余弦定理和正弦定理在运用的过程中，通常是和三角函数联系在一起，通过余弦和正弦的定义以及使用特点，求出关于三角形边角以及面积的函数关系式。本文主要对余弦定理的特点进行了分析，并通过相关例题的解答，加深学生对余弦定理的理解，以此使高中学生全面掌握余弦定理相关知识点的目的。

数学余弦定理运用

余弦定理主要是对三角形当中三条边的长度与一个边角的余弦值的关系进行分析的一种数学思维和解题方法。运用余弦定理就可以求出关于已知三角形的两边和夹角求出第三条边，或者是已知三个边求出夹角的大小的问题。余弦定理的公式为：cosA=（b2+c2-a2）/2bc。其中，cosA=邻边比斜边。

1 余弦定理的证明过程

在对余弦定理进行证明的过程中，一般会用到两种证明方法，第一种是平面向量证明法，第二就是平面几何证明法。

1.1 平面向量证明法

根据平行四边形的证明方法可以得出：两个邻边之间的对角线可以代表两个邻边的大小，所以，a+b=c，从而就可以得出 c*c=(a+b)*(a+b)，c2=a*a+2a*b+b*b，所以c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)。

又因为cos(π-θ)=-Cosθ，所以c2=a2+b2-2|a||b|cosθ，拆开再化简得：c2=a2+b2-2*a*b*CosC，即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b。根据这个证明过程，还可以得出三角形另外两边的关系式。

图1

1.2 平面几何证明法

假设一个任意的三角形ΔABC，做出AD⊥BC，∠A的对边为a，∠B的对边为b，∠C的对边为c，那么就可以得出：BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c，根据勾股定理可得：AC2=AD2+DC2；b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2。

2 余弦定理的作用分析

根据余弦的定理，可以得出以下的结论，一是根据三角形的三条边长，可求出三个内角；根据三角形的两边及夹角，可求出第三边；根据三角形两边及其一边对角，可求其它的角和第三条边。

判定定理一(两根判别法)：若m(c1，c2)为c的两值为正根的个数，c1为c的表达式中根号前取加号的值，c2为c的表达式中根号前取；减号的值如果m(c1，c2)=2，则有两解；如果m(c1，c2)=1，则有一解；如果m(c1，c2)=0，则有零解(即无解)。需要注意的是，如果c1等于c2且c1或c2大于0。

判定定理二(角边判别法)：当a＞bsinA时，当b＞a且cosA＞0(即A为锐角)时，则有两解；当b＞a且cosA＜=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)；当b=a且cosA＞0(即A为锐角)时，则有一解当b=a且cosA＜=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)；当b＜a时，则有一解。当a=bsinA时，当cosA＞0(即A为锐角)时，则有一解；当cosA＜=0(即A为直角或钝角)时，则有零解(即无解)。当a＜bsinA时，则有零解(即无解)

例如：（1）已知△ABC的三边之比为5：4：3，求最大的内角。

可以设三角形的三边为a，b，c且a：b：c=5：4：3．由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。由余弦定理cosA=0，所以∠A=90°

以上的小例子简单说明了余弦定理的作用。