论信息技术在优化数学教学环境中的独特作用与机制（下）

文︳黄秦安

论信息技术在优化数学教学环境中的独特作用与机制（下）

文︳黄秦安

三、信息技术融入数学教学的情境设计

关于数学教学的情境，有学者提出把数学知识作为一种媒介或交流的方式，强调了教与学的互动。这种研究视角特别关注到了数学教育理论与数学教学实践之间的复杂关系，并从教学情境理论中发展出一种互动理论，对数学交流的认识论进行了分析。[2]在信息技术领域，对信息技术与数学教学的整合研究是最富有成果的。有学者从信息技术与数学教学整合的视角对探究教学模式进行了研究。[3]XitaoFeng在“信息技术与初等数学教学的整合研究”一文中，对信息技术与数学教学的整合进行了综述。[4]比绍普等著名学者编著的《数学教育国际手册》第2卷第2章“数学教育对技术发展的回应”中，对技术与数学教育的多维度观点、技术对数学课程的影响等进行了深入的探讨。[5]但从整体来看，把技术看做是一种独特情境的研究则相对较少。这也是信息技术与数学教学整合过程中遭遇的一个瓶颈。我们提出信息技术与数学教学情境深度融合的视角，其目的就是想在这一研究方向上予以突破。

信息化的数学教学情境对数学教学的内外部环境、对数学学习和数学认知的发展都具有极其重要的意义。通过对数学情境的相关因素深入分析，特别是注意到当代信息技术对教学范式产生的持续且重要的影响，我们可以探索数学教学情境与信息技术境相互融合的建构。

1.信息化虚拟教学空间的创制。教育信息技术的不断更新与进步为更加有效地创制数学教学情境开辟了广阔的多媒体虚拟化教学空间。例如，在几何教学中，关于两个三角形的全等概念以及判定定理的比较好的教学情境设计可以通过几何画板等软件予以动态演示，使几何问题情境以更

再如，在指数函数y=ax的教学中，底数的变化以及相应的图像是教学的一个难点，可利用几何画板画出y=3x，y=2x，y=（）x，y=（）x的图像（如图1）。这样一来，底数a的取值与其函数图像的变化趋势就十分清晰地展现出来了。教师还可以把教学过程设计成动态展示，学生就可以更明显地看出随着a的变化，函数图像跟着联动的趋势。如此，指数函数的教学效果就会得到很大的提高。加形象和生动的方式呈现。通过动画探索，学生会发现哪些要素能够确定，哪些不能完全确定。比如，只有两个角及其夹边、两条边及其夹角的破损三角形是否可以完全配制出大小形状一样的三角形？亦即确定三角形的基本要素是什么？反例是只有三个角是不能确定三角形的。这就为三角形全等的判定设置了较佳的情境。

图1

2.提高探究性问题的直观感。有些探究性问题，借助几何画板，可以提升学生的几何感知力和想象力。如这样一个问题：现有圆O，求在沿直线AB滚动的过程中，圆上任意一定点D的轨迹。

如图2所示，先采用几何画板清晰地展现点D的运动轨迹，让学生对运动轨迹有一个生动的直观印象。进而采用建立平面直角坐标系的方法，可以根据题设条件求出D点的运动参数方程。

图2

3.充分利用现代技术，增强数学问题解决的方法和途径。

比普通计算器功能更强大的是图形计算器。图形计算器可以提供一种问题探究的微型信息场。运用图形计算器的各种功能，教师可以营造出适宜于开展问题解决的具有个性化和虚拟化的探究氛围。例如，采用牛顿迭代法求方程x3+2x2+10x-20=0的近似解（精确度为10-6）。牛顿迭代法的实质是以切线代替曲线求近似解，即切线逼近的方法。在这个过程中，设曲线方程为y=x3+2x2+10x-20，取方程根的初始近似值x0，过点（x0，f（x0））作方程的切线l，则切线l的方程为y=f′（x0）（x-x0）+（fx0），切线与x轴交点的横坐标x1=x0-称为曲线方程根的一次近似值，以x1代替x0作为方程根的近似值，重复上述过程直到相邻两个近似值的差小于0.00001为止。教师可以引导学生通过逐步探究掌握牛顿迭代思想，得出方程的近似解。

图3

图4

在图形计算器中输入y=x3+2x2+10x-20，所画出的图形如图3。从图3中可以看出，方程的解在1，2之间，取值2作为方程根的一个近似解。过点（2，16）作曲线的切线，与x轴交于一点，求出其横坐标为。以作为新的近似值，继续作曲线的切线。如图4所示，可见切线与x轴的交点逐渐趋于曲线的根。

然后，通过前两步的探究，再通过逐次迭代，可以得到曲线更为精确的近似解，为1.368808（见图5）。这样教学，学生可以充分感受牛顿迭代过程中切线逼近的思想，发展想象力。

图5

四、信息技术优化数学教学环境的机制

当代教育技术范式的构建是基于其与传统教学的深度融合。信息技术氛围对于充分展示、激发并调动个体的认知活力和思维创造力有独特的作用。教与学两个维度的主体性以及主体间性在信息技术环境中可以实现广泛的交互作用。高度信息化的认知与思维情境可以最大程度地调动主体的信息意象性和信息浸入度。构建良好的信息化的数学教学情境，对于数学知识的教学具有很好的导向性。

数学与信息技术的新纽带必然要求数学教学从内容到形式的改变。从数学课程的设置看，离散数学课程的重要性日益凸显，并要求数学教学的内容与之相适应。例如，数学计算的概念在计算机时代，其含义不断地被更新，彰显着计算在科学技术发展中的重要性，量子计算、云计算等概念都是传统的计算概念难以容纳和涵盖的。信息技术建立了数学与现实世界的新关联应该在数学教学中得以体现。数学的虚拟与仿真结构对数学教学环境而言，是一场深刻的变革。

在数学教学信息技术情境的构建中，师生的共识、交流和合作是十分重要的。建构主义的倡导者维果斯基虽然强调了学生自己活动的重要性，但他接着解释说，这并不意味着教师角色的消失。[6]数学教学的基本过程就是一个客观的、社会化的数学知识与个体知识结构、认知结构和心理结构的交互转换。而在这一过程中，信息技术（包括计算机网络、无线通讯、数据处理等）对于主体之间的有效联系和沟通所具有的价值已日益明显。由于信息技术的使用，主体间性的空间被放大了，主体间性的交流平台更加宽阔了，传统的教学话语模式得以改变。例如，在传统范式下，教师对信息和语言符码的控制近乎一种知识话语的绝对权威形式，而在信息化的时代，学生获取信息的速度和方式甚至经常会超越老师，这种反向偏态化使得教师的话语权威受到了挑战。但这并不意味着师生共同体结构的完全颠覆，而是预示着教师对自身角色的新的预期和造就。由于信息化的共享性，数学教学的主导方式会沿着主体双向互动的方向前行。

数学教学中，信息化会带来资源共享和信息交换的新途径。信息化可以促进个性化的学习。在信息技术快速发展的条件下，信息和学习资源日益丰富。以不同信息形式表征的知识，给学习者提供了多样的选择。学习者可以选择最适合自己学习心理和认知习惯的知识信息形式，以达到最佳的学习效果。

以个体心理认知的发展为例。为了发展个体的心理认知，必须保持心理认知结构的开放性、动态性和兼容性。其中概念的认知图式（更广义看是心理图式）需要不断地进行相关信息的重组、转换、接合、扩展、压缩和系统化。当知识图式扩展后，最初知识的某些信息界限就被突破了，而有些则保持下来，还有一些新的信息值被添加进来。由于信息域的开放度是随着知识的拓展而不断增加的，因此，心理容量和认知度应该与信息的负荷保持一种平衡。否则，当信息量过载时，个体认知没有得到很好的调整，障碍和冲突就较多，容易发生迁移与转换的困难。例如，小数不能减大数（小学知识的信息限阀）、负数不能开平方（初中知识的信息限阀）、狄利克雷函数不可积（黎曼积分的信息限阀）等固有知识观念形成的认知定势，都需要随着知识域的演变和推进，通过新信息的输入和组织以获得相应的转换。

从语言心理学的角度看，上述问题的本质就是信息的展现形式对于学习者数学语言的发展的机制。这里，如何帮助学生适时地、连续地完成以信息形式呈现的逻辑、语言、技术与心理意象的不断形成和转换，就成为数学教育心理学的重要课题。信息技术的适当使用可以促进个体数学心理意向的发育。良好的信息技术境可以为学习者提供一个阶梯型和网络式的认知心理发展平台。在这个过程中，信息技术的合理使用会极大地增加数学教学环境的空间容量和变换方式，使得学生在一种放大的、更为逼真、更多虚拟想象的数学教学空间中感知数学的对象、关系和结构。

作为数学学习活动的基础和重要组成部分，信息技术境所营造的数学教学情境场可以成为主体间性信息交流的一种主要存在方式。其中信息的载体和转换能够在广深的场域中展现数学教学与学习的立体维度。数学教学的全过程都可以看做是一种基于情境与信息技术境的场互动形式。以多元技术方式为依托，在信息的提取、加工和转换过程中，数学教学的多维目标可以更好、更快地得以实现。

（作者单位：陕西师范大学数学与信息科学学院）

[1]中国科学院数学物理学部.今日数学及其应用[J].数学通报，1994（7）：1-12.

[2]Steinbring H.Analyzing Mathematical Teaching -Learning Situations：The Interplay of Communicational and Epistemological Constraints[J].Educational Studies in Mathematics，2005，59（1）：313-324.

[3]徐梅芳等.信息技术与数学教学整合构建“探究”教学模式的研究[J].中国电化教育研究，2005（1）：52-55.

[4]Xitao Feng.Study about Integration of Information Technology and Primary Mathematics Teaching [J].Education and Educational Technology，2012（10）：407-412.

[5]AlanJ.Bishop.Second International Handbook of Mathematics Education[M].Kluwer Academic Publishers，2003.

[6]Bert Van Oers.Educational forms of initiation in mathematical culture[J].Educational Studies in Mathematics，2001，46：59-85.