纵谈数e

马春雨

【摘要】数e是数学中的重要常数之一.在基础教育和高等教育的教材中对e有不同角度的定义.本文主要从由来和定义两方面对e进行介绍.

【关键词】数e；由来；定義

历史上数e的出现离不开对数的研究.17世纪初，苏格兰数学家约翰·纳皮尔发明了对数.1618年，他在出版的著作中附录了一张自然对数表.自然对数的出现是历史上第一件与数e有关的事.但遗憾的是，当时人们并不知道自然对数的底就是常数e.

首次发现数e的是数学家雅各布·贝努力.他在1683年研究复利时，证明了当n趋近于无穷时数列1+1nn有极限，这个极限值其实就是数e.但贝努力当时并没有认识到这个极限与对数间的关系，也没有把两者联系在一起.

数e第一次被正式提出是在1690年数学家莱布尼兹写给惠更斯的信中，但他将这个常数记为b，而不是e.

最后，是由欧拉确定了用字母e表示这个常数，原因有多种说法：一说是因为e是“指数”（exponetial）的首字母；另一说法是a，b，c，d有其他常用表示，e就成了第一个可用的字母；还有一说是欧拉用自己名字Euler的首字母，不过这更可能是个巧合，因为欧拉是个谦虚的人.欧拉从1727年就开始对e进行研究.在1748年出版的《无穷小分析引论》中，他对自己的发现作了完整的叙述和总结：他同样把数e定义为极限 limn→∞1+1nn，并证明了e=1+11！+12！+13！+…；他取上述公式的前20项进行计算给出数e的前18位：e≈2.718281828459045235；他定义了以e为底的指数函数与对数函数（即自然对数）；此外他给出了数e和以e为底的指数函数的幂级数展开式，以及它们的连分数展开式；最突出的是他借助于e证明了著名公式eiπ+1=0，被称为欧拉公式.

自此，以e为底的指数函数与对数函数逐渐进入数学的各个领域，成为分析解决问题必不可少的工具.

在基础教育阶段，数e出现在高中数学必修一对数那一章节，教材中简略提到：“有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数.”在维基百科中，数e的定义为：“把自然对数的底称为数e.”这构成了一个定义的循环，我们不禁会想为什么将数值如此奇怪的e称为“自然”？

17世纪中叶，数学家们发现双曲线下的面积和自然对数之间有非常奇妙的关系∫x0dxx=ln|x|，并逐渐发现许多重要的函数、极限、微分和积分都与自然对数密切相关.利用微积分的知识就能解释出e的“自然性”.对于一般的对数函数y=logax（a是不等于1的正数）求导，得到y′=1xlna，而当a=e时，会有y′=1x，相比上式而言对自然对数y=lnx求导的结果要简约自然得多.

积分是微分的逆运算，由于∫x0dxx=ln|x|+c（c是常数），且对于一般的式子求积分∫f′（x）dxf（x）=ln|f（x）|+c（c是常数）.这说明，当对一个满足分子是分母微分的分式求积分时，得到的就是以e为底的分母绝对值的对数.如此看来，以e为底的对数确实自然.

高等教育的教材中是从极限的角度给出数e的定义，即e=limn→∞1+1nn.它遵循的是雅各布·贝努力研究复利的思路：利用二项式定理，证明数列1+1nn严格递增，且恒小于3，即数列1+1nn是有界的，再由单调有界定理可知 limn→∞1+1nn存在，即为e.其实，数e可以通俗地解释为“增长的极限”，贝努力研究的复利实际上是提供了一个关于数e的具体模型.除此之外，生活中细菌的增长等也满足极限e.

【参考文献】

[1]陈仁政.e的密码[M].北京：科学出版社，2011.

[2]朱启州.常数“e”漫谈[J].中学生数学，2007（03）：30.

[3]胡典顺.神奇的常数——e[J].数学通讯，2010（06）：63-64.

[4]梁洪亮.数e简介[D].商丘：商丘师范学院，2004.

[5]李忠.数e来龙去脉[J].数学通报，2008（05）：1-3.