例谈数学教学的误区

朱亮雅

在我从教的十几年中，在大量的听课过程中发现，很多教学“设计”，匠心独特，为听课教师所期冀；同时发现有些课，存在情境引入华而不实；一味迁就学生；合作交流，过度注重形式；与多媒体整合，却舍本逐末等误区.

一、过度铺垫，降低难度

教学中，为了追求“顺畅”，在学生回答问题或板演之前，教师总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的难题，教师也有自己的招数——能引导学生按自己所设计好的途径去解决.这样就掩盖了错误的暴露，学生缺少了纠错的重要思维过程.而本来知识的生成教学中，总是结合新的教学情境让学生主动尝试，大胆探索，利用已学知识概念解决新问题，这样在学习的开端学生总是会犯这样或那样的错误（这才是正常的一个认知过程），教师再带学生进行错误辨析，一部分学生马上会恍然大悟，即使没有，全体学生也会马上陷入积极思考，学生便学会了从问题的反面去思考，总结经验教训，很快从错误中走出来，师生再共同分析总结，增强学生的辨错能力，加深了对数学概念、法则的理解，提高了分析问题、解决问题的能力.要真正提高课堂教学质量，教学中就应该积极主动地对待错误和失败，备课时充分考虑学生可能会犯的错误，不是怎样想方设法去避免，而是有针对性地加强对典型错误思路的分析，使学生在纠错的过程中掌握正确的思维方法.

例如，在上海二期课改教材高一数学上册“其他不等式解法”第一课时“解分式不等式”中，教师首先呈现给学生几个问题：（1）解形如ax+bcx+d>0的分式不等式，怎么解？（2）能不能直接去分母？为什么？（3）如果去分母应该注意什么？（4）这样能否求解？（5）不以去分母为出发点，如何解这个不等式？（6）不等式分子、分母的符号应该有什么关系？（7）这些关系如何推导？

评析：应该说教师“用心良苦”，为防止学生将解方程中的去分母方法“迁移”到“解分式不等式”中来，教师在学生“出错”之前进行“预防”，给出了一系列的问题，本质上是一系列的“提醒”或“告诉”，殊不知“错误”本身也是一种教学资源.

二、重结果轻过程

过程性是对一系列数学思维活动过程的概括，是指数学概念、公式、定理、法则的提出和形成过程，数学问题解决的探索过程和数学知识、数学思想方法的应用过程.[1]数学过程性教学可以理解为重视过程性的教学，是一个重视暴露思维过程、重视从感性到理性认识的过程.

课改以来，既“重过程”也“重结果”已被广大教师所言说，然而，在实际教学过程中，尤其是生源薄弱的学校，很多教师除了在公开课上做做样子外，实际教学中，仍然不重过程，甚至没有知识的形成过程，只是教会学生“记住”公式、定理，怎么去用这个公式、定理.

例如，三角公式cos（α+β）的推导，费时较长，学生难以理解，教师如果一带而过，学生虽牢记公式，遇到问题“已知点A（2，1），求将OA逆时针旋转60度后A′的坐标”时，学生恐怕连意思都弄不清楚.

评析：正确的思维来源于对定理、公式的透彻理解，所以在定理、公式的教学中，要注重它的形成过程、充分暴露思维过程，引导学生深刻地领悟定理和公式的本质特征，并在定理、公式的发现过程中，师生一起总结提炼蕴含其中的思想方法.例如，上述问题，就可以令OA与x轴正半轴的夹角为α，OA与OA′的夹角为β，则本题的核心就是由α，β求cos（α+β）.

又如，在“圆锥曲线”这一章复习时，我给学生呈现了如下问题：已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P，Q，OP⊥OQ，|PQ|=102，求椭圆的方程.对教师而言，上述问题并不难，但对学生来说，却有很多障碍，例如，椭圆的方程如何设，有些教师直截了当告诉学生：设椭圆的方程为Ax2+By2=1（A>0，B>0，A≠B）.但学生的想法却是：因为题目没有明确椭圆焦点位置，所以需要分类讨论，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1.为什么能把两种情况合并在一起呢？如果不去解释，学生就囫囵吞枣.实际上，无论焦点在x抽上的椭圆还是焦点在y轴上的椭圆，它们本质上都是椭圆，它们的几何性质是完全一样的，我们知道，解析几何就是用代数方法研究几何问题，因此，它们的方程可以用同一种形式来表示也就不足为怪了.

著名教育家马明先生说过：“数学教学的本质是思维过程，更确切地说是展示和发展思维的过程.”这个过程实际上是“让学生易于参与并且主动参与知识形成的过程”.教学设计以及教学过程中，教师要积极提供现实的、有意义的、富有挑战性的学习材料，让学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流，经历数学知识的形成与发展过程.

三、“合作交流”流于形式

中学数学课程标准中提倡合作交流的学习方式，但对如何开展合作交流缺乏必要的指导和要求，因此，部分教师认为多组织合作学习，可避免直接把结果呈现给学生，以体现过程教学或体现学生主体性，从而出现了重合作学习形式、轻独立思考过程的误区.公开课上，常常是教师抛出一个问题，几名学生立刻围成一团，教室里讨论声顿时鹊起.待几分钟后，再听教师的一声击掌，于是讨论戛然而止.然后，就是小组中的学优生“代表”其他学生优先发言，至于其他人尤其是学习有困难的学生常常“陪公子读书”.至于小组的组合是否合理？问题是否有讨论的价值？小组成员是否经历了独立思考？是否真正发表了意见？这一切均被忽略.

例如，正余弦函数单调性的课例中，在[0，2π]内y=sinx的单增区间有两个，教师提出问题：能否把一个周期的区间换一个地方来看看，使得递增区间变为一个？学生还未来得及独立思考，任课教师马上让学生之间进行合作学习，同时又担心学生合作学习得不到预设的结论而延误教学进程，稍后教师直接给出思路，致使合作学习过程流于形式.

评析：真正意义上的合作，应该是学生可以自主选择合作伙伴，或者暂时选择不合作，先思考，再讨论，给学生留一个思考的空间.但由于有些评课标准把上课是否有讨论作为一个环节，因而，合作学习就理解成了讨论时的声音的大小、时间的长短、次数的多少、气氛的冷热.

四、追求解题技巧，忽视通法通解

数学中的“巧解”有时会掩盖了基本思想方法的渗透，现在在数学教学中，对于某一个问题的解决，思路越来越多，方法越来越巧，教师会特别注意引导学生进行巧妙构思，以期产生教学上的捷径，其实这是教学上的一大误区.“巧解”往往有局限性，实用的范围一般都比较特殊和窄小，换一条件或变一个简单的结论，也就会使之完全丧失解题能力，因此，巧解并不能根本解决问题.基本思想方法是一种解题的通法，具有普遍性、指导性，要想从根本解决问题，理应首先追求其通法——基本思想方法，而一味追求巧解，必然缺乏对基本思想方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡和掩盖了對基本方法的渗透.从学生的学习心理上看，当他们对于一道题目一旦了解或掌握了某一个巧解后，就对较为复杂的基本方法产生厌倦心理，也就从根本上阻碍了基本思想方法的渗透.因此，在教学中，必须摆正巧解与基本思想方法的关系，引导学生从基本思路出发，加强对基本思想方法的启迪和训练，在基本方法已熟练的基础上再向学生适当介绍巧解的特殊思路，这样才能避开这一误区.

思考2：若问题所给的数据发生变化，即∠CAD不是特殊角时，又该如何处理？较为一般的处理方法是在Rt△ACD中利用勾股定理计算出d，接下去的过程与（1）相同.

思考3：如果二次曲线发生变化，把圆变成椭圆或双曲线或抛物线，上述方法都不适用，于是进一步思考更为一般的解法，将圆C与l的方程联立消去y，得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式及韦达定理建立关于a的方程，求得a=2-1.这便是本题最为一般的解法，虽然解题过程不是最简单的，但因其解法的一般性，带来广泛的适用性，成为一种解题模式.

【参考文献】

[1]徐新明.数学课堂教学的核心：过程性、问题性、主体性[J].基础教育参考，2011（22）：33-37.