复积分的求法

邓琴++杨建芳

【摘要】本文主要研究复积分的求法，对复积分的求法做了较系统的归纳总结，给出了五种常用的方法和技巧.

【关键词】复积分；复变函数；留数

【基金项目】杭州电子科技大学2014年高等教育研究资助项目（YB1425）.

一、五种常用的方法

復积分的求法是复变函数中的重点和难点.复积分的求解方法灵活多样，而且目前的教科书对复积分的求法没有做较系统的归纳.本文主要研究积分曲线为封闭曲线的复积分的求法，对其求法做较系统的归纳总结，给出五种常用方法.

1.利用柯西-古萨基本定理求复积分.

2.利用复合闭路定理求复积分.

3.利用柯西积分公式求复积分.

4.利用解析函数的高阶导数公式求复积分.

5.利用留数定理求复积分.

当被积函数在积分曲线内没有奇点时用柯西-古萨基本定理求复积分.当被积函数在积分曲线内有一个奇点时用柯西积分公式或高阶导数公式求复积分.当被积函数在积分曲线内有2个或2个以上的有限个奇点时用复合闭路定理求复积分.

二、应用举例

三、小结

在计算沿封闭路线的积分时，我们常以柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、闭路变形原理为依据，以柯西积分公式、高阶导数公式为主要工具.由于被积函数往往形式多样，有时还比较复杂，所以常常不能直接套用某个公式就能奏效，而需将被积函数做适当的变形，例如，把它化为部分分式或公式中的形式，然后联合使用这些定理、公式和积分性质才能解决.

【参考文献】

[1]钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：高等教育出版社，1998.

[3]刘玉莲.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4]孙清华.复变函数内容、方法与技巧[M].武汉：华中科技出版社，2003.