微分中值定理在考研试题中的应用

李欣欣++李变++杨晓春

【摘要】微分中值定理的地位非常重要，本文针对大连海事大学近十年的考研试题，讨论了微分中值定理的题型及每种题型的求解方法和注意事项，分析得出大连海事大学考研试题在微分中值定理方面的出题规律.

【关键词】中值定理；应用；考研试题；大连海事

一、引言

人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之时就开始了，它经历了从特殊到一般、从直观到抽象、从分散到系统，随着不断的发展，它的应用也日趋重要.现在许多高校理工类的专业中微分中值定理一直都是学习的重点和难点，同时它也是考研中的必考知识点.由于微分中值定理自身的特点造成了其“难学难懂，更难应用”的事实，所以为了方便学弟学妹们复习，本文就大連海事大学近十年的研究生数学分析试题进行剖析.本文的主要工作是对真题进行归类分析，总结出一些做题规律和解题方法，并对大连海事大学考研的出题方向进行预测，使想报考大连海事大学研究生的同学可以有的放矢地进行复习，在更短的时间内更好地掌握这个知识点.

二、中值定理

微分中值定理建立了函数与导数之间的关系，它包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理，定理的具体内容如下：

上题使用压缩数列法去证{xn}收敛，需要在xn+1-xn与xn-xn-1之间建立一种联系，而通过计算得到了导数的范围，所以想到要用拉格朗日定理进行变形，使其得到想要的结果.

（五）研究函数性态

研究函数的一致连续性和单调性等函数性态，我们可以对函数用微分中值定理进行变形，使它能建立函数增量、自变量与导数之间的关系，进而求解.

例5（2005年第四题）设函数f（x）在[1，+∞）上可导，且 limx→∞f′（x）=+∞，证明f（x）在[1，+∞）上非一致连续.

分析本题用非一致连续的定义去证明.题中已知f′（x）的极限，由极限的定义可以得出f′（x）的范围，再利用拉格朗日定理，即可证明结论.

四、结论

研究了近十年的大连海事大学考研试题，了解到基本每年都会对微分中值定理进行考查，所以微分中值定理在试题中占有非常重要的地位.出题的类型从前几年的单纯的定理证明，逐渐转变到对定理应用的综合方面的考查，如，用微分中值定理的知识去求函数极限、证明等式、讨论敛散性、研究函数性态、讨论根的存在性、证明不等式等等.

由上面的五道历年真题可以看出，有四道是对拉格朗日定理的考查，只有一道考的是罗尔定理的知识.因此，我们不难推断出拉格朗日定理是微分中值定理考查的重点，所以考生在将来复习的时候一定要注重对拉格朗日定理的复习，要掌握其出题方式，多练习、多总结，才能得心应手，取得一个好成绩.

【参考文献】

[1]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究，2009，28（10）：61-63.

[2]钱吉林，等.数学分析题解精粹[M].武汉：湖北长江出版集团，2009.