普拉图和施泰纳问题的实验解法

潘伟云

【摘要】用含有给定的基本元素或公式明确地解出变分式的问题，通常是很困难的.此时，我们常常先证明在某种条件下解是存在的，然后再研究解的性质.当存在性变得困难时，人们就把数学问题看作是物理现象的解释.这时物理现象的存在性就表示数学问题解的存在性.

【关键词】普拉图问题；施泰纳问题；实验解法

一、预备知识

定义[1]变分法：是处理函数变量的数学领域和处理数的函数的普通微积分.变分法最终寻找的是极值函数，它们使得泛函取得极大值或极小值.

二、极小问题的肥皂膜实验

普拉图问题[2]：在空间中给定一闭围线，求以这条曲线为边界，具有最小面积的曲面.

在数学上，普拉图问题与偏微分方程组的解有关.欧拉指出，所有不是平面的极小曲面必是鞍形的，并且在每一点的平均曲率都是零.在20世纪，很多特殊情况证明了这类问题的解是存在的，到了20世纪末，才由道格拉斯（J.Douglas）和雷多（T.Rado）证明.

用普拉图的实验，对很一般的闭曲线可以立即得到物理解.如果人们把一个金属丝做成的任意闭曲线，浸入表面张力较小的液体内，然后再提出来，那么绷在围线上的膜就是具有最小面积的极小曲面.（假设我们可以忽略重力和其他干扰薄膜趋向具有最小面积的平衡位置的力，那么只需考虑表面张力所引起的最小位能值就可以了）这种液体的一种好配方如下：把10千克的纯油酸钠，溶于500克的蒸馏水中，再把15个立方单位的这种溶液和11个立方单位的甘油混合.用这种溶液在黄铜丝架上得到的膜比较稳定.这种框架的直径不超过15厘米.用这种方法很容易“解”普拉图问题，这只需将黄铜丝做成我们所需的形状就可以了.由一系列正多面体的棱所构成的多边形的黄铜丝框架上可以得到许多美丽的曲面.特别是把整个立方体框架浸在这种溶液中.更为有趣，最初的结果是，沿每条棱线，一系列不同的曲面彼此以120度的角相交（如果很小心地取出立方体框架，那么将有13个近乎平面的曲面，如图1所示）.然后我们可以捅破许多这种不同的曲面，最后只剩一个边界为一闭多边形的曲面.对于四面体也可做同样的实验.

三、施泰纳问题及其推广的实验

施泰纳问题[4]：将三个村庄用总和长为极小的道路连接.

从数学上来说，就是在平面内给定三个点A，B，C，找到平面内的第四个点P，使得P到A，B，C三点的距离之和最短.利用极值的有关结论，很容易得出问题的解.

由于表面张力的作用，液体的薄膜只有在它的面积为极小时才处于稳定平衡状态.这是具有数学意义的种种实验的取之不尽的源泉.如果膜的一部分边界可以在给定的曲面（或平面）上自由移动，那么在这些边界上，这个膜应垂直于给定的曲面.

利用这个事实，可以对上述问题及其推广做明显的演示.取两块平行玻璃板或透明塑料板，用三根或更多根短棒垂直地连接起来.如果我们把这个框架浸入肥皂水中，然后再提出来，那么，就可以得到一组垂直于两平行板且连接着固定棒的薄膜.它在玻璃板上出现的投影，就是上述问题的解.

如果平板不是平行的，棒也不垂直于它们，或者板是曲面的，那么在这些板上薄膜形成的是曲线，这将说明新的边分问题.

一个极小曲面中，三片曲面以120度的角相交于一線的现象，可以看作是有关施泰纳问题现象在更高维空间的推广.例如，如果我们用三条曲线连接空间中的两点A，B，而且研究对应的肥皂膜稳定系统.最简单的情形是取一条曲线为直线段AB，而其他两条曲线是同样的圆弧，其结果显示在图2中.如果两个弧所在平面的夹角小于120度，则所得的薄膜是三片曲面，两两夹角均为120度；如果我们转动两条弧线，增大内角，那么这个薄膜将连续地变化成两个平面圆弧片.

现在我们用三条较复杂的曲线来连接A和B.例如，可以取三条折线，其中每一条都由同一立方体中连接对角线上相对的两个顶点的三条棱组成：我们得到三片全等的曲面，它们在立方体的对角线上相交（从图1所示的薄膜中，刺破与选定的三条边界相邻的薄膜时，即可得到这个曲面系统）.如果我们让连接A和B的三条折线移动，就可以见到这条三重交线变成曲线，而120度的夹角仍保持不变（如图3所示）.

在n片极小曲面相交的定直线上的所有现象基本上都有这一类似的性质.它们是平面上n个点间的最短连线问题的推广.

四、肥皂泡实验的一些结论[3]

球形的肥皂泡表明，在包含一定体积的所有闭曲面中，球有最小体积.如果我们考虑体积一定，表面有收缩于极小倾向的肥皂泡，但对它加上某些限制条件，那么所得的曲面将不是球面，而是等平均曲率的曲面.例如，在事先用弄湿的两块平行玻璃板之间吹入一个肥皂泡.当这个肥皂泡碰到一个玻璃板时，马上变为半平面形.而当它碰到另一块板时，就跃变为圆柱形（如图4所示）.

利用一根尖细的小管子，来增加或减少泡内空气的总量，就可研究等圆问题解的性质.但是，利用吸出空气，不能获得彼此相切的圆弧.随着空气的减少，圆弧三角形的角，理论上不会小于120度，此时得到的形状如图5、图6所示，当面积趋近于0时，它也会变为相交于一点且夹角都是120度的三条直线段.关于不能形成互切的圆弧，数学上的理由是：当肥皂泡和顶点分离时，连线不能计算两次.对应的实验可由图7、图8解释.

在立体框架内吹进一个肥皂泡，如果泡膨胀到框架外，将得到一组以二次曲线为底的等平均曲率曲面.如果把泡内的空气吸走，就能得到一系列美丽的结构.不同平衡状态间的转换和稳定现象是使这些实验从数学上看很有启发性的原因.这些实验说明了稳定值理论，因为平衡状态的转换的发生导致曲面经过一个不稳定的平衡状态.例如，图1所示的立方结构，中心是一个铅直平面，连接着各棱上的12片平面，这是不对称的.因此，至少还有两个其他的平衡位置，一个中心是铅直的正方形，另一个中心是水平的正方形.事实上，用一个细管对着这个正方形的边吹气，可以迫使结构达到这样的位置：正方形退化为一点，这一点就是立方体的中心；这个不稳定的平衡位置，立刻会转变成另一个稳定位置，这个位置由原来的位置旋转90度得到.

五、启示

如果利用比前面所说的更黏的液体，更容易观察到整个现象的变化.当然，这只是一种大致的考察，而不是数学证明.严格地说，物理事物的这个数学解释是否适当，或者它是否仅给出物理现实的不充分的表象等问题依然存在.不可否认，一些实验对我们研究某些问题会有不少的启示.因此，如何有效开展数学实验是值得我们深思的一个问题.

【参考文献】

[1]老大中.变分发基础[M].北京：国防工业出版社，2007.

[2]胡作玄.数学是什么[M].北京：北京大学出版社，2007.

[3]盛中平，王晓辉.什么是数学实验[J].高等理科教育，2001（02）：25-28.

[4]李连昌.数学实验放大了的数学课堂[J].数学教学通讯，2014（16）：2-3.

[5]吴晓.大学数学中的数学实验教学[J].大学教育，2014（05）：116-117.

[6]孙小中.对数学实验的一点思考[J].基础教育研究，2016（02）：31.

[7]王猛.肥皂膜在中学物理实验中的应用[J].物理之友，2014（01）：31-32.

[8]张恩宾.偏微分方程课堂实践教学应用[J].现代经济信息，2016（11）：455，457.