遮谈数学教学中的概念引入*

●沈 良

(萧山区第五高级中学,浙江 杭州 311202)



遮谈数学教学中的概念引入*

●沈 良

(萧山区第五高级中学,浙江 杭州 311202)

在概念引入中，问题情境的科学性是前提，教学要关注情境严谨性；问题探究是主线，将学生置于问题情境中，引导学生主动探索与建构概念；融入数学思想是核心，数学知识的发生过程也是数学思想方法的发生过程；渗透数学文化是更高追求，融入数学文化有利于培养学生的高尚情操，有利于培养学生良好的数学素养.这4个方面也是贯穿于我们数学教学的4个重要方面.

概念引入;科学严谨;问题探究;数学思想;数学文化

数学概念引入，是开展概念学习的导入环节，是概念教学的前奏，是概念教学的一个重要环节.数学概念引入，旨在为学生创设概念学习的良好环境，激发学生的学习兴趣，引导学生探索问题情境，从而进一步引导学生分析、比较、综合、抽象出概念的本质属性.从这15节课的概念引入来看，有些教师的概念引入非常精彩，问题情境引人入胜，数学思想贯穿主线，数学文化融入其中，能有效抓住知识本质，但也有一些教师在概念引入中存在一些问题，如所给情境的科学性等.因此，为了更好地开展概念教学，笔者就概念教学的引入作一些探讨与交流.

1 科学为前提

对于概念引入，教师往往会采取情境引入的方式提出问题.当然，情境引入的首要前提是问题情境的科学性.数学是一门严谨的学科，严谨性是数学学科的基本特点.数学的严谨要求数学表达必须准确、简洁，要求对问题的推理论证必须严格、周密.教学中，我们需时时刻刻将数学的这种严谨传达给学生，而严谨的前提必然是科学.

在这15节课中，有些教师为提出问题积极创设情景，其出发点是好的，但科学性有时却存在问题.如在“等比数列的前n项和”一课中，有教师设计了这样一个情境:假如我们班级的一名同学，第一周记了1个公式，第二周记了2个公式，第3周记了4个公式，依此下去，每一周记的公式都是前一周的2倍，那么一直到第18周该同学总共记了多少公式？通过引入，学生不难得出要求的等比数列前18项和：S18=1+2+22+…+217，从而提出所要学习的课题.该引入的优点是背景简单明了，学生容易联想到要解决的问题，但仔细分析该问题的内涵时，即可发现该引入存在科学性问题：第一周记1个公式，第二周记2个公式，到第18周时记了217个，而217=131 072是一个非常庞大的数字，高中数学阶段不可能有那么多公式，学生也不可能记住那么多公式，而且数学学习的方式不是以记忆为准则而是以理解为基础.因此，该引入缺失科学性，与数学的严谨、理性及人文背道而驰.

再比如，在“一元二次不等式及其解法”一课的引入中，一位教师从一元一次不等式“2x-7>0”开始引入，从一元一次不等式发展为一元二次不等式，这是非常好的，符合学生的认知特点，但其中解决的方法还是引起了笔者思考.该教师抛出问题“2x-7>0”后，直接引导学生画出y=2x-7的图像，然后通过图像观察不等式的解，并利用数形结合的思想解一元二次不等式“x2-x-6>0”.这里是否真需要用数形结合的方法解不等式“2x-7>0”呢？笔者认为：一元一次不等式在学生的认知状态里是直接移项求的，是不需要也不会去借助图像解一元一次不等式的，这样的引入是没必要的，倒不如直接让学生探究不等式“x2-x-6>0”的解，因为学生对抛物线有良好的认知基础，利用二次函数图像解一元二次不等式也不是一个难题，同时直面问题更有利于激活学生思维，让学生能更好地理解数形结合思想，更好地理解函数、方程与不等式之间的转化.

因此，在概念引入中，教师要对问题情境多一点思考，思考其科学性、严谨性、自然性，思考其对数学概念学习的意义，思考其对学生思维发展的作用等，其中“科学严谨”是我们首先要考虑的.

2 问题为导向

数学课堂学习往往从问题开始，问题是数学课堂教学活动的逻辑起点.提出问题后，解决问题成为探索活动的主题，可以说提出问题和解决问题是数学课堂学习活动的主要形式.美国数学家哈尔莫斯指出：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏.问题是数学活动的心脏，问题解决是数学教学的核心，问题驱动思维，思维促进素养提升.

概念引入以问题为导向，通过创设一系列逻辑连贯的问题，激励学生主动探究，在质疑探索中习得概念.首先，需要把形式化的数学材料转化为教育形态的数学材料，转化为蕴含概念本质、适合学生探究、符合学生认知的问题，通过自主探究，把学生引向概念学习的本质；其次，把知识的发生发展过程转化为一系列的问题探究过程，真正使有关材料成为学生的思考对象，激发学生的学习热情，点燃学生思维.

如在“一元二次不等式及其解法”的教学引入中，一位教师就设计了一个汽车相撞问题：在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，甲、乙均及时刹车，但还是碰撞了.现场勘查测得甲车的刹车距离不超过12m,乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：S甲=0.01x2+0.1x,S乙=0.005x2+0.05x，问谁负主要责任？通过问题情境设计，积极引发学生思考，在学生认知基础上提出所要学习的课题.在学生学习一元二次不等式解法之后，又回到该问题，让学生解决该不等式，提出问题、探究问题、解决问题成为课堂学习的主线.

概念引入，将学生置于问题情境中，有利于充分调动学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣、好奇心和表现欲；有利于引导学生积极主动探索问题，培养探究和创新能力；有利于将数学学习过程成为学生对知识的再发现与再创造过程.特别是数学问题探究有利于推进学生数学思维活动的发展，并为思维指明方向，数学思维的过程就是不断提出、分析和解决问题的过程.

3 思想为核心

数学思想方法是基于数学知识与方法的一种隐性的数学知识，源于数学基础知识及常用的数学方法，是数学知识在更高层次的抽象和概括，是适用于数学学习的通法，它为分析、处理和解决数学问题提供了解题方向、解题方法与策略，是数学的核心与灵魂.日本数学教育家米山国藏认为：数学思想方法是数学创造与发展的源泉，是数学教育目的的集中表现，数学的知识可以记忆一时，但数学的精神、思想与方法却永远发挥作用，使人终身受益.在高中数学教材中，很多概念都是知识与思想方法的有机结合，数学知识的发生过程也就是数学思想方法的发生过程.

基本不等式蕴含于几何，我们可以通过几何观察，得到代数结论，具体可按以下6个教学过程推进：

图1

1)赏析赵爽“弦图”的对称美与和谐美(如图1所示)，同时引导学生分析赵爽“弦图”的构成：4个全等的直角三角形与小正方形构成了一个大正方形；

2)引导学生回顾利用赵爽“弦图”证明勾股定理，利用面积关系S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△AEB，得到

c2=(a-b)2+2ab，

而

(a-b)2+2ab=a2+b2，

故

c2=a2+b2；

3)由面积的相等关系证得勾股定理思路，引导学生通过面积不等关系猜想重要不等式，在教学中大多数学生能观察到大正方形面积大于等于4个直角三角形面积之和，从而得到a2+b2≥2ab；

4)对于a2+b2≥2ab中等号成立问题，可结合几何画板动态演示，加强直观认识，学生容易发现当且仅当“a=b”时等号成立；

5)探究不等式“a2+b2≥2ab”的代数证明，既可用作差法证明

a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，

也可用放缩法证明

a2+b2=(a-b)2+2ab≥2ab，

特别是放缩法建立了“相等”与“不等”的桥梁，代数运算蕴含几何意义；

6)由“a2+b2≥2ab”猜想“当a>0,b>0时，a+b≥______”，学生运用替代思想，得到

虽然基本不等式的建构走过了比较曲折的道路，但这个过程中融入了数学思想方法的学习，有利于培养学生的数学思维能力.教学中，我们要充分挖掘概念、定理、公式等形成过程中蕴含的思想方法，渗透数学思想方法，发展学生数学思维能力.

4 文化为目标

数学发展源远流长，可以说人类文明的发展离不开数学，而“数学是一种文化”的观念也早已深入人心.随着社会的不断发展，人们对数学教育的理解也在不断改变，数学文化在数学育人中的重要性也在不断得到提升，人们对数学文化的作用表现出了其前所未有的重视.《普通高中数学课程标准(实验)》指出：数学文化是人类文化的重要组成部分，是人类进步的产物，也是推动社会发展的动力，数学文化与数学教学是紧密联系的.

数学概念引入中，融入数学文化不仅包含融入数学故事和名人励志故事等，更包含通过数学文化启迪学生智慧，以古人之智慧启迪今人之智慧，实现思维的碰撞与迸发.融入数学文化，以数学史为素材巧妙构造利用，有利于揭示知识的来龙去脉与发展渊源，有利于引导学生正确体会古人思想，激发思维碰撞，有利于引导学生感悟古人精神，特别是对数学家的意志与创新精神的感悟.

图2

数学文化是学生认识数学、探究数学问题的重要辅助工具，它可以激发学生兴趣、开阔学生眼界.首先，通过数学文化学习，学生对数学思想、数学方法、数学概念有一个更宏观的了解，从而促进其数学整体意识的培养；其次，现代数学研究方向越来越精细、分支越来越多，学生在进行数学学习时，往往有“一叶障目”的感觉，通过数学文化学习，能够对数学进行再认识；最后，数学文化与其他学科存在着紧密联系，例如数学与其他科学技术的联系、数学与人类思想的革新的关系等，都有利于开拓学生的视野.

5 结束语

笔者通过15节课的观摩与思考，探讨了“数学概念引入”的4个方面.在概念引入中，问题情境的科学性是前提，在教学中要多思考问题情境的内涵，多考虑情境的科学性，多关注知识本质；问题探究是主线，问题是启发学生思维的良好载体，是教师对教材重新组织与加工的有力法宝；融入数学思想是核心，一定程度上，整个数学科学就是建立在这些思想基础上并按照这些思想发展起来的；渗透数学文化是更高追求，数学文化有利于培养学生的高尚情操，有利于培养学生良好的数学素养，从而为学生一生的可持续发展奠定坚实基础.当然，更深层次看“科学、问题、思想、文化”这4个维度，她们不仅是概念引入的4个重要方面，也是渗透于数学教学的4个重要方面，需要我们每位教师思考与践行.

�2017-04-25；

2017-05-27

沈 良(1982-)，男，浙江杭州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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1003-6407(2017)08-03-04