齿轮-箱体-基础耦合系统的振动分析*
2017-07-18任亚峰常山刘更吴立言赵晨晴常乐浩
任亚峰 常山,2 刘更† 吴立言 赵晨晴 常乐浩
(1．西北工业大学 机电传动与控制陕西省工程实验室, 陕西 西安 710072;2.中船重工第七〇三研究所, 黑龙江 哈尔滨 150078;3.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室, 陕西 西安 710064)
齿轮-箱体-基础耦合系统的振动分析*
任亚峰1常山1,2刘更1†吴立言1赵晨晴1常乐浩3
(1．西北工业大学 机电传动与控制陕西省工程实验室, 陕西 西安 710072;2.中船重工第七〇三研究所, 黑龙江 哈尔滨 150078;3.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室, 陕西 西安 710064)
建立了齿轮传动系统集中质量模型,采用子结构法通过箱体有限元模型提取其集中质量参数,采用间接物理参数识别法通过基础加速度导纳提取其模态参数并转换为集中质量参数,并根据界面协调条件建立了齿轮-箱体-基础耦合系统的动力学模型.以单级斜齿轮传动装置为例,计算了耦合系统在齿轮时变啮合刚度激励下的齿轮动态传递误差、轴承支反力及箱体振动.耦合箱体与基础前后的系统动力学分析对比表明:箱体及基础柔性对齿轮动态传递误差的影响较小,而对轴承支反力波动及箱体振动的影响较大;耦合模型能更准确地反映系统的动态特性.
齿轮动力学;子结构法;物理参数识别;耦合振动;振动分析
齿轮系统的振动噪声问题一直是业界关注的焦点.随着齿轮箱的高速及轻量化发展,人们对其振动噪声的要求在不断提高.应用最广泛的齿轮系统动力学模型为齿轮-转子-轴承耦合动力学模型[1- 2],通过该模型可以获得轴承支反力,将此激振力施加到箱体有限元/边界元模型即可得到箱体振动及辐射噪声[3].为获得更准确的系统响应,更好地预测系统的振动噪声,需要将箱体及基础的影响计入齿轮系统动力学.目前已有大量研究建立了齿轮传动系统与箱体的耦合模型.Takatsu等[4]采用有限元法分别获得箱体和齿轮传动轴系的传递函数,并耦合得到了齿面到箱体任意一点的传递函数.Abbes等[5]采用子结构模态综合法,通过各个子结构的固有频率及振型得到了整个系统的固有频率及振型.Choy等[6]研究了齿轮箱振动对齿轮传动系统动态特性的影响,结果表明箱体振动对刚性转子系统的影响更大.梁明轩等[7]基于显式有限元法建立了箱体-轴承-齿轮副三维动态接触非线性模型.文献[8- 9]在全耦合有限元模型中将齿轮在分度圆处简化为圆柱体,分析了耦合系统的固有特性,并将外部计算激励施加到有限元模型中,采用模态叠加法对系统的响应进行了分析.林腾蛟等[10]建立了齿轮减速器的刚柔混合模型.文献[11- 13]采用子结构法提取了箱体的集中质量参数,并建立了齿轮传动系统与箱体的耦合集中质量模型.蒋立冬等[14]将商用软件MASTA与ANSYS相结合,采用子结构法建立了全耦合集中质量模型.高维金等[15]采用Craig-Bampton动力缩减法将箱体缩聚到轴承孔中心并作为柔性体子结构,建立了传动系统-箱体刚柔混合模型.
虽然上述研究考虑了箱体对传动系统的影响,但很少考虑到基础柔性对齿轮系统的影响.由于基础模型通常规模十分庞大或结构十分复杂,难以直接建立三维实体模型及有限元模型,而只能通过试验测得其导纳数据,上述方法也很难适用.为此,文中通过子结构法提取箱体的集中质量参数,采用间接物理参数识别法由基础的导纳参数提取其集中质量参数,并实现齿轮-箱体-基础耦合系统的振动分析.
1 模型描述
文中所研究的减速器模型包含齿轮传动系统、箱体及基础三部分,如图1所示.传动系统为单级斜齿圆柱齿轮传动,齿轮基本参数为齿数24/79、法向模数3 mm、压力角20°、螺旋角15.09°、齿宽45 mm,输入转速为1 000 r/min,负载扭矩为300 N·m.箱体的轮廓尺寸为410 mm×330 mm×215 mm.基础通常具有庞大规模或复杂结构且难以建立三维实体模型及有限元模型,但可以通过试验测量导纳数据,文中通过对导纳进行识别获取其物理参数.传动系统与箱体通过4个滚动轴承连接,箱体与基础通过6个螺栓连接.
图1 齿轮-箱体-基础耦合系统模型
2 动力学模型的构建
2.1 齿轮传动系统的动力学模型
图2为齿轮传动系统示意图,该传动系统包括齿轮啮合副单元、轴单元及轴承单元.
针对齿轮动力学建模已有大量的研究,文中采用线性时变啮合刚度模型[2].齿轮啮合副动力学模型如图3所示.
图2 齿轮传动系统示意图
图3 齿轮动力学模型
根据牛顿第二定律可以列出啮合副单元的动力学方程:
(1)
对于轴单元,采用轴段有限元法进行建模.针对每一轴段,建立2节点12自由度的Timoshenko梁单元.轴段单元的动力学方程可表示为
(2)
式中,Msh、Csh、Ksh分别为轴段单元的质量矩阵、阻尼矩阵及刚度矩阵,Fsh为轴段外载荷,xsh为轴单元节点的振动位移.
轴承采用弹簧阻尼单元描述,包含两个节点,其动力学方程可表示为
(3)
式中,Cbr、Kbr、Fbr分别为轴承的阻尼矩阵、刚度矩阵、载荷列向量.
轴承刚度矩阵可表示为
(4)
式中,Kbr11=Kbr22=-Kbr12=-Kbr21=diag{kxx,kyy,kzz,kθxθx,kθyθy,0}，kxx、kyy、kzz、kθxθx、kθyθy分别为轴承在x、y、z、θx、θy方向的刚度.
轴承阻尼采用Rayleigh阻尼,即
Cbr=α1Kbr
(5)
式中,α1为刚度系数.
2.2 箱体的动力学模型
图4为箱体有限元模型,材料为钢,包含75 906个节点、315 412个四节点四面体单元.文中采用子结构法提取其集中质量参数,该方法可以大大减小箱体模型的自由度[11- 13].
图4 箱体有限元模型
对于无阻尼的子结构系统,可得出其动力学方程如下:
(6)
式中,M为质量矩阵,K为刚度矩阵,xm、xs、Fm、Fs、Mmm、Mss、Kmm、Kss分别为主、从节点的位移向量、载荷向量、质量矩阵、刚度矩阵，Mms、Msm、Kms、Ksm分别为主、从节点的耦合质量矩阵、耦合刚度矩阵.
将箱体看作一个子结构,通过式(6)可以获得箱体转换到边界节点以后重新表示的质量矩阵MH和刚度矩阵KH[11].缩聚后的质量矩阵和刚度矩阵分别综合了原始质量矩阵和刚度矩阵中各分块矩阵的影响,是整体质量及结构刚度在外部节点自由度处的综合体现.
阻尼采用Rayleigh阻尼,即
CH=α0MH+α1KH
(7)
式中，α0为质量系数.
缩聚后箱体自由度大为减小,其动力学方程可表示为
(8)
2.3 基础的动力学模型
螺栓采用弹簧阻尼单元描述,仅考虑竖直方向的自由度，其动力学方程可表示为
(9)
式中,Cbolt为阻尼矩阵,Kbolt为刚度矩阵,Fbolt为载荷向量.
刚度矩阵可表示为
(10)
式中，kbolt为螺栓刚度.
阻尼采用Rayleigh阻尼,即
Cbolt=α1Kbolt
(11)
基础通常规模庞大且结构复杂,难以建立其三维实体模型及有限元模型,仅能通过试验获得其导纳(频响函数)数据.加速度导纳可由式(12)确定:
(12)
式中,Fp为节点p的激振力,Xl为节点l的位移响应.
文中采用简支板对基础进行模拟,仅考虑其竖直方向的自由度.在ANSYS软件中采用Shell单元建立板的有限元模型,网格大小为5mm,材料为铝,采用四边简支方式进行约束,通过有限元谐响应分析,分别在基础各外部节点p处施加单位幅值的载荷,读取外部节点l的响应,并根据式(12)获得其导纳参数,螺栓孔1处原点导纳如图5所示.由于文中采用导纳数据进行物理参数识别,而基础的导纳通常可以通过试验测得,因此这种简化不会丧失方法的通用性.
图5 基础加速度导纳
通常采用导纳矩阵的一列(或一行取转置)即可完整地描述系统的动态特性,故可以通过导纳矩阵的任意一列识别出基础的模态参数[16].
加速度导纳矩阵中的第l行、第p列元素可写为如下有理分式多项式的形式:
(13)
式中,n=2N,m=2N-2,ai与bi可根据文献[16]进行计算.求得分母幂基多项式后,可通过求解如下一元多次方程来计算分母多项式的零点:
(14)
固有频率和阻尼比分别为
(15)
(16)
求出一系列导纳函数的留数Alp，r[16],对这些留数进行处理可得到振型向量.对于一个有N个响应测点的结构,首先从这N个导纳函数对应于同一阶模态的留数中找出绝对值最大的留数,假设该点为测点m,对应于第r阶模态的归一化实振型向量的计算公式为
{φr}=(ImA1p,r，ImA2p,r，…，ImANp,r)T/ImAmp,r
(17)
模态质量及模态刚度可由下式确定:
(18)
(19)
Cr=2Mrξrωr
(20)
式中,ρr=φl,rφp,r/Alp,r，φl,r、φp,r分别为第r阶模态节点l及p的振型.
识别出基础的模态参数后即可由模态参数得到其物理参数.如果基础螺栓孔测点个数nF等于所需拟合的模态阶次r,则系统是完备的,此时振型矩阵是满秩的,可以直接通过模态参数得到物理参数;如果nF
(21)
基础的质量矩阵、刚度矩阵及阻尼矩阵可表示为
M=Φ-Tdiag(Mr)Φ-1
(22)
K=Φ-Tdiag(Kr)Φ-1
(23)
C=Φ-Tdiag(Cr)Φ-1
(24)
式中,Φ=(φ1,φ2,…,φr).
基础的动力学方程可表示为
(25)
式中,MF为质量矩阵,CF为阻尼矩阵,KF为刚度矩阵,FF为载荷向量.
2.4 耦合动力学模型
分别建立了齿轮副、轴、轴承、箱体、螺栓及基础的动力学模型之后,联立方程(1)-(3)、(8)、(9)及(25),根据界面位移协调条件及力平衡条件,可获得整个耦合系统的动力学方程:
K(t)[x(t)-e(t)]=P0+FGs(t)
(26)
式中,M、C、K分别为耦合系统的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵,可以直接通过各个子系统的质量、阻尼及刚度矩阵按节点组装生成.
式(26)可整理为
(27)
由于静载荷(均值)及静位移对系统振动没有影响,因此去掉均值部分;方程(27)右端项中位移为未知量,使用静态传递误差的波动近似代替位移波动,则式(27)可表示为
ΔK[x0+Δxs-e(t)]+FGs(t)=
FGs(t)=Fe(t)+Fk(t)+FGs(t)=F(t)
(28)
采用傅里叶级数法进行求解[2],即可获得响应Δx以及最终动态位移x(t).
文中齿轮副啮合刚度由承载接触模型计算,详见文献[2],暂忽略误差激励及啮合冲击激励.
3 系统动态响应
3.1 齿轮动态传递误差
求得系统各自由度的动态位移后,沿啮合线方向的动态传递误差为
δ=Vpqm
(29)
式中,qm为啮合单元节点的位移列向量,qm=(xp,yp,zp,θxp,θyp,θzp,xg,yg,zg,θxg,θyg,θzg)T.
分别求得非耦合模型(仅考虑齿轮传动系统)与耦合模型(齿轮传动系统-箱体-基础耦合模型)的动态传递误差,如图6所示.由图可知,非耦合模型与耦合模型的动态传递误差波动量均为0.28 μm,均方根均为0.11 μm,几乎没有差异,说明箱体及基础柔性对齿轮动态传递误差的影响很小.
图6 非耦合模型和耦合模型的动态传递误差
Fig.6 Dynamic transmission errors of uncoupled model and coupled model
3.2 轴承支反力
轴承支反力可由式(3)进行计算.分别计算非耦合模型与耦合模型的轴承支反力,其中轴承1的x方向及y方向的支反力波动如图7所示.
由图7(a)可知,耦合箱体及基础之后,轴承1在x方向的振动加剧了,非耦合模型中轴承支反力波动量为1.83 N,均方根为0.46 N,耦合模型中轴承支反力波动量为3.00 N(增加了64%),均方根为0.81 N(增加了76%).由图7(b)可知,耦合箱体及基础之后,轴承1在y方向的振动减小了,非耦合模型中轴承支反力波动量为5.92 N,均方根为1.73 N,耦合模型中轴承支反力波动量为4.34 N(减小了27%),均方根为1.08 N(减小了53%).这说明箱体及基础柔性对轴承振动有较大的影响,可能使轴承振动减小,也可能加剧,需要根据具体情况确定.
图7 轴承支反力波动
3.3 箱体振动
箱体轴承孔及机脚螺栓孔处的振动可以直接通过耦合模型求解得到,而箱体表面任意一点的振动需要采用有限元模型求解.由于箱体的边界可以通过耦合模型确定,因此进行箱体振动分析时仅需建立箱体单独的有限元模型,并将轴承激振力及机脚螺栓激振力施加到箱体.
对于耦合模型中箱体振动的求解,约束箱体机脚螺栓孔x、z、θx、θy及θz的自由度,仅保留y方向的自由度,将耦合模型轴承激振力及机脚螺栓激振力施加在箱体有限元模型中;对于非耦合模型中箱体振动的求解,采用文献[18]中方法,将非耦合模型中轴承激振力施加在箱体有限元模型中,将基础简化为弹簧单元.
测点1的位置如图4所示.在ANSYS软件中计算箱体模态,并在Virtual Lab软件中去除刚体位移后采用模态叠加法进行稳态求解,得到测点1在y方向的振动加速度,如图8所示.从图可知,耦合模型与非耦合模型相比,测点1齿频处的加速度减小了29.4%(3.0 dB),2倍频处的加速度减小了41.4%(4.6 dB).针对文中所采用的模型,耦合模型与非耦合模型的箱体振动加速度有较大的差异,这主要是由两者激振力的差异造成的.
图8 箱体振动加速度
4 结论
文中采用子结构法提取了箱体的集中质量参数,采用间接物理参数识别法从基础导纳参数中提取了基础的集中质量参数,并建立了齿轮-箱体-基础耦合集中质量模型,在齿轮传动系统动力学方程中计入了箱体及基础的影响.通过对比耦合模型与非耦合模型,得到以下结论:
(1)计入箱体与基础柔性后,齿轮动态传递误差变化较小,本算例中耦合模型与非耦合模型的齿轮动态传递误差的差异可忽略;
(2)计入箱体与基础柔性后,轴承振动变化较大,可能加剧也可能减小,本算例中x方向的轴承支反力波动增加了64%,均方根增加了76%,而y方向的轴承支反力波动减小了27%,均方根减小了53%;
(3)计入箱体与基础柔性后,箱体振动变化较大,本算例中测点1在竖直方向上的振动加速度在齿频及2倍频处分别减小了3.0 dB和4.6 dB.这主要是由于计入箱体与基础柔性后轴承激振力发生了改变.
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Vibration Analysis of Gear-Housing-Foundation Coupled System
RENYa-feng1CHANGShan1,2LIUGeng1WULi-yan1ZHAOChen-qing1CHANGLe-hao3
(1.Shaanxi Engineering Laboratory for Transmissions and Controls, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, Shaanxi, China;2.Harbin No.703 Research Institute of CSIC,Harbin 150078,Heilongjiang,China;3.Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipment of the Ministry of Education,Chang’an University,Xi’an 710064,Shaanxi,China)
Proposed is a lumped parameter model of gear transmission systems. In this model,firstly,lumped parameters of the housing are extracted from housing’s finite element model via a sub-structure method. Secondly,the modal parameters of the foundation are extracted from foundation’s acceleration by means of indirect physical parameter identification. Then,the extracted modal parameters are transformed into lumped parameters,and a dynamic model of the gear-housing-foundation coupled system is established according to interface coordination conditions. Finally,by taking a single-stage helical gear system for example,the gear’s dynamic transmission error,the bearing’s reaction force and the housing’s vibration of the coupled system are simulated under the excitation of time-varying mesh stiffness. The system dynamic analyses before and after the coupling of housing and foundation show that both housing and foundation only have limited influence on gear’s dynamic transmission error,but significantly affect the bearing’s reaction force fluctuation and the housing’s vibration;and that the proposed coupling model can predict the system’s dynamic characteristics than the uncoupled one more precisely.
gear dynamics;sub-structure method;physical parameter identification;coupled vibration;vibration analysis
2016- 11- 02
国家自然科学基金重点项目(51535009);高等学校学科创新引智计划项目(B13044);国家自然科学基金资助项目(51605040) Foundation items: Supported by the State Key Program of National Natural Science Foundation of China(51535009) and the National Natural Science Foundation of China(51605040)
任亚峰(1990-),男,博士生,主要从事齿轮系统动力学研究.E-mail:renyafeng_ych@163.com
†通信作者: 刘更(1961-),男,教授,博士生导师,主要从事机械系统动力学研究.E-mail:liug@nwpu.edu.cn
1000- 565X(2017)05- 0038- 07
TH 113.1
10.3969/j.issn.1000-565X.2017.05.006
