功能梯度椭圆柱壳的热力耦合屈曲分析*

黄怀纬 饶东海

(华南理工大学 土木与交通学院, 广东 广州 510640)

功能梯度椭圆柱壳的热力耦合屈曲分析*

黄怀纬 饶东海

(华南理工大学 土木与交通学院, 广东 广州 510640)

假设功能梯度材料中陶瓷组分体积分率服从幂率分布,材料属性沿厚度方向连续变化且与温度相关,采用经典的Donnell壳体理论和伽辽金原理研究了功能梯度材料椭圆柱壳的热力耦合屈曲问题.推导了功能梯度椭圆柱壳的屈曲控制方程及屈曲临界温度的解析表达式,分析了均匀分布、线性分布及非线性分布(考虑热传导效应)的温升环境对材料物性的温度相关性的影响,以及屈曲临界温度随截面离心率、材料组分参数的变化规律.结果表明:材料物性温度相关性对屈曲临界温度的影响较大,若将其忽略,可能导致屈曲临界温度被高估15 %;在考虑物性温度相关性的情况下，均匀温升作为温度公式的简化，可能导致对真实结构屈曲临界温度的低估；屈曲临界温度随着椭圆截面离心率、径厚比及组分参数的增大而减小.

功能梯度材料;椭圆柱壳;热力耦合；屈曲;物性温度相关性;离心率

功能梯度材料(FGM)是一种新型两相混合的复合材料,通常采用陶瓷和金属两种组分材料混合而成,材料属性沿着厚度方向连续变化[1].这一特征使其能有效地避免因材料属性间断引发的材料界面上的应力集中现象,最初FGM作为隔热材料应用于航空和核聚变等工程领域[2- 3].

人们已经对FGM板壳结构的热屈曲进行了大量的研究工作[4- 8].文献[9- 10]根据Donnell壳体理论对FGM圆柱壳进行了热弹性屈曲研究,考虑了温度环境的影响;Shen[11]对FGM圆柱壳热后屈曲行为进行了研究,但仅考虑了均匀温升的情况;Bahtui等[12]研究了在热冲击荷载下FGM圆柱壳的响应;Mirzavand等[13]运用经典的壳体理论分析了含有缺陷的FGM圆柱壳的屈曲问题,但仅考虑了均匀变化的温升环境;Sofiyev[14- 15]运用一阶剪切变形理论研究了FGM圆锥壳的热屈曲问题.但以上研究均未考虑材料物性温度相关性的影响.

非圆截面构件特别是椭圆柱壳的工程应用十分广泛.为研究结构椭圆度、材料组分参数对FGM柱壳结构热/力耦合屈曲性能的影响,文中基于Donnell壳体理论,研究了FGM椭圆柱壳的热屈曲行为,讨论了多种热环境以及材料物性的温度相关性对结构热屈曲性能的作用效应.

1 材料属性

考虑厚h、长L的FGM椭圆柱壳,截面长轴半径为a,短轴半径为b,相应坐标系置于柱壳左端,x、θ、z分别表示轴向、周向和内法线方向的坐标轴,如图1所示.椭圆截面的曲率半径为R(θ).

FGM是由陶瓷和金属两种材料组分混合而成,陶瓷的体积分率遵循幂律分布,可表示为[10- 11]

图1 FGM椭圆柱壳模型

(1)

式中,Vc和Vm分别为陶瓷材料和金属材料的体积分率,k为幂指数或材料组分参数(k≥0).

FGM的材料属性P=PcVc+PmVm,结合式(1)可表达为

P(z)=(Pc-Pm)(z/h+0.5)k+Pm

(2)

式中,Pc和Pm分别为陶瓷和金属的物性参数,为温度T的函数[4],即

Pi=a0(a-1T-1+1+a1T+a2T2+a3T3)

(3)

式中:i(i=c,m)表示陶瓷或金属成分;a-1、a0、a1、a2、a3为组分材料的温度系数.

2 屈曲控制方程

壳体内各点的应变表示为

ε=ε0+zK

(4)

根据Von-Kárman非线性几何关系,中面应变与位移的关系为

(5)

式中:u(x,θ)、v(x,θ)、w(x,θ)分别为沿着x、θ和z轴的位移;下标中的逗号表示偏导,如

由胡克定律得

(6)

式中,H=E(1-v2)-1,G=E(1+v)-1/2,E为材料的弹性模量.

内力Nij和内力矩Mij近似表示为

(7)

式(7)写成矩阵的形式,为

(8)

由Donnell壳体理论,基本平衡方程为

(9)

式中,q为法向压力.

由式(5)得到壳体的应变协调方程为

(10)

引入应力函数φ(x,θ),使其满足

(11)

把式(8)、(11)代入式(9)和(10)中,得到:

(12)

结构屈曲时,存在一个微小的增量w1(x,θ)和φ1(x,θ),满足:

(13)

式中,w0和φ0分别对应于前屈曲状态下的位移和应力函数.将式(13)代入式(12),去除前屈曲状态量并线性化后得到:

(14)

式(14)即为结构的屈曲控制方程.

3 问题求解

若椭圆柱壳轴向受到位移约束,热荷载将引发结构的前屈曲内力:

(15)

式中,φ1为热致内力.

采用文献[16]方法对变曲率椭圆截面进行处理:

R-1=[1+e0cos (2θ)]/Rc

(16)

(17)

式中,m为轴向半波数,n为周向波数,ξmn、ζmn为无量纲幅值参数.

将式(15)-(17)代入式(14)中,并令方程的左半部分为ψi(i=1,2),运用伽辽金原理

(18)

得到关于ξmn和ζmn的线性方程组:

(19)

为了使ξmn和ζmn具有非零解,则

Λ11Λ22-Λ12Λ21=0

(20)

由此给出结构屈曲临界轴向内力的表达式:

(21)

式中，ti(i=1,2)为由几何尺寸和屈曲模态(m，n)表达的参数.

4 热环境

考虑3种不同的温升环境,温度场T(z)=T0+ΔT(z),其中T0和ΔT分别为初始温度和温升.

(1)均匀分布的温升

沿着壳体厚度方向,温度均匀变化,即ΔT为常数,则有

(22)

将式(21)代入式(22),得到均匀分布温升环境下的屈曲临界温度:

(23)

(2)线性分布的温升

若温度沿厚度方向线性变化,则温升函数可表示为

ΔT(z)=ΔTcm(z/h+0.5)+ΔTm

(24)

式中,ΔTcm=ΔTc-ΔTm,ΔTc和ΔTm分别为陶瓷面和金属面变化的温度,则有

φ1=P0ΔTm+P1ΔTcm

(25)

于是线性分布温升环境下的屈曲临界温度为

(26)

(3)非线性分布的温升

若温度沿厚度方向的分布由热传导方程给定,则有

(27)

式中,κ(z)为材料的热传导系数.与材料的其他属性定义一样,热传导系数可表达为

κ(z)=κcm(z/h+0.5)k+κm

(28)

式中,κcm=κc-κm,κc和κm分别为陶瓷和金属的热传导系数,k为材料组分参数.结合热边界条件求解热传导方程(27),对方程的解采用级数展开法来表示[9]:

ΔT(z)=ΔTcmϑ(z)+ΔTm

(29)

式中,

取展开式的前6项来表达非线性分布的温度场,则有

φ1=P0ΔTm+P2ΔTcm

(30)

(31)

5 计算程序

Fig.2 Flowchart of the iterative algorithm for buckling critical temperature

6 结果与分析

选取Si3N4/SUS304 FGM,材料属性同文献[4].对于FGM椭圆柱壳,内表面为陶瓷面(z=h/2),外表面为金属面(z=-h/2),假定初始温度T0=300 K.为简单起见,对于线性分布和非线性分布两种温升环境,设定FGM纯金属面保持温度不变,即ΔTm=0 K.为了解材料物性温度相关性对屈曲临界温度的影响,文中讨论了不考虑材料物性温度相关性(TIMP)和考虑材料物性温度相关性(TDMP)两种情况.

表1 均匀分布温升环境下屈曲临界温度对比

Table 1 Comparison of buckling critical temperature under environment of the uniform distributed temperature rise

hRcT00cr/Kk=0文献[9]本文k=1文献[9]本文0．021651．381635．77858．19828．430．043261．473276．991651．281656．570．064912．844922．102475．292484．850．086564．226543．073299．153319．310．108174．318210．274123．084141．27

当k=1、Rc/h=100、L/Rc=1时,椭圆截面离心率对屈曲临界温度的影响如图3所示.从图中可知:屈曲临界温度随着离心率的增加而减小;TIMP情况下的屈曲临界温度普遍比TDMP情况下大,最高达15%左右,在离心率越小的情况下这种差别越明显.因此考虑材料物性温度相关性是十分必要的.

图3 离心率对屈曲临界温度的影响

Fig.3 Effects of eccentricity on the buckling critical temperature

当k=1、e0=0.2时,TDMP情况下尺寸参数对非线性分布温升环境下椭圆柱壳屈曲临界温度的影响如表2所示.从表中可知:Rc/h对屈曲临界温度和模态的影响较大,轴向屈曲半波数m随Rc/h的增大而增大;L/Rc对屈曲临界温度几乎没有影响,m随L/Rc的增大而增加.TDMP和不同热环境下径厚比与屈曲临界温度的关系如图4所示,从图中可知,屈曲临界温度随Rc/h的增加而急剧减小,当Rc/h取值较大时趋于平缓.

表2 尺寸参数对的影响

图4 TDMP情况下径厚比对屈曲临界温度的影响

Fig.4 Effects of the radius-to-thickness ratios on the buckling critical temperature under TDMP

当L/Rc=1、Rc/h=100、e0=0.4时，材料组分参数对屈曲临界温度的影响如图5所示.从图中可知,屈曲临界温度随k的增加而减小,相对于TDMP情况,TIMP情况的屈曲临界温度下降幅度要大得多,再次说明了FGM椭圆柱壳热屈曲问题中,考虑物性温度相关性是十分必要的.当k在0～5范围内时,屈曲临界温度急剧下降,在其他取值范围内,屈曲临界温度下降得比较缓慢.可以看出,非线性分布温升环境下的屈曲临界温度最高,其次是线性分布的温长环境,均匀分布温升环境下的屈曲临界温度最小，即若以均匀温升作为温度公式的简化，则可能低估真实结构屈曲临介温度,与孙家斌[17]的圆柱壳热屈曲结论基本一致.

图5 组分参数对屈曲临界温度的影响

Fig.5 Effects of the power law exponent on the critical buckling temperature

7 结论

文中采用Donnell壳体理论研究了FGM椭圆柱壳的热力耦合屈曲问题,分析中考虑了多种温升分布的热环境,讨论了物性温度相关性、截面离心率、几何参数及材料组分参数对屈曲临界温度的影响.结果表明:对于FGM椭圆柱壳的热屈曲问题,考虑材料物性温度相关性是十分必要的,否则可能高估屈曲临界温度达15%;在考虑物性温度相关性的情况下，将均匀温升作为温度公式的简化，可能导致对真实结构屈曲临界温度的低估；椭圆截面离心率和壳体的几何参数径厚比对壳体结构屈曲有较大的影响,随着离心率和径厚比的增大,屈曲临界温度下降明显;结构屈曲临界温度随组分参数的增加而减小.

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Coupled Thermo-Mechanical Buckling Analysis of Functionally Graded Elliptical Cylindrical Shells

HUANGHuai-weiRAODong-hai

(School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong, China)

In the assumption that the volume fraction of ceramic constituents in functionally graded material sobeys the power law distribution and that the material properties are temperature-dependent and graded in thickness direction, the coupled thermo-mechanical buckling of functionally graded elliptical cylindrical shells is investigated in light of the classical Donnell shell theory and Galerkin’s principle. Firstly, the buckling governing equations of functionally graded elliptical cylindrical shells and the critical buckling temperature are analytically derived. Then, the temperature-dependent physical properties of the materials are analyzed respectively under uniform, linear and nonlinear (considering heat conduction effect) temperature rise. Finally, the variation of critical buckling temperature with the eccentricity of section and with the parameters of material components is explored. The results show that, as the temperature-dependent physical properties affect the critical buckling temperature greatly, it should be taken into consideration in the thermal buckling analysis of functionally graded elliptical cylindrical shells, otherwise the critical buckling temperature will be overestimated by 15%;when considering the temperature-dependentmaterial properties, the uniform temperature rise as a simplified form of temperature may lead to an underestimation of the critical buckling temperature of the real structure；and that the critical buckling temperature decreases with the increase of ellipse section’s eccentricity, radius-to-thickness ratio and parameters of material components.

functionally graded materials; elliptical cylindrical shell; thermo-mechanical coupling; buckling; temperature-dependent physical property; eccentricity

2016- 11- 10

国家自然科学基金资助项目(11402093);机械结构强度与振动国家重点实验室开放课题(SV2016- KF- 08);华南理工大学中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2015ZZ130) Foundation item: Supported by the National Natural Science Foundation of China(11402093)

黄怀纬(1979-),男,博士,副教授,主要从事复合材料力学研究.E-mail:cthwhuang@scut.edu.cn

1000- 565X(2017)05- 0129- 06

Q 343.9

10.3969/j.issn.1000-565X.2017.05.018