一种可重复使用再入飞行器的覆盖区求解方法

曾夕娟，钟范俊，丁学良，李惠峰∗，程晓明

（1.北京航空航天大学宇航学院，北京100191；2.成都飞机设计研究所，成都610041）

一种可重复使用再入飞行器的覆盖区求解方法

曾夕娟1，钟范俊2，丁学良2，李惠峰1∗，程晓明1

（1.北京航空航天大学宇航学院，北京100191；2.成都飞机设计研究所，成都610041）

针对覆盖区的三个子问题——最大纵程问题、固定纵程下最大横程问题和内边界问题，设计了求解方法。在“r⁃V”空间内引入约束的对数表达形式简化了再入走廊的表达，提出了将再入轨迹分为“初始下降段、边界跟踪段和终端调整段”三段设计的轨迹规划方法，通过终端调整段的设计满足了再入终点的高度要求。为了跟踪所规划轨迹，引入了准平衡滑翔条件获取解析制导律。沿走廊上边界飞行获得最大纵程点；通过平移“边界跟踪段”轨迹使其布满再入走廊，解决固定纵程下的最大横程问题，获得外边界；而沿走廊下边界飞行获得覆盖区内边界。仿真结果表明方法快速、可行，在再入飞行器性能评估、再入任务设计和再入制导律评估等环节中具有工程应用价值。

可重复使用再入飞行器；覆盖区；准平衡滑翔；“r⁃V”空间；轨迹规划

1 引言

升阻比大于0.7的可重复使用飞行器（Reus⁃ able Launch Vehicle，RLV）可以通过主动控制攻角和倾侧角调节升力和阻力，获得横向数百公里，纵向数千公里机动的能力，在未来空天系统的计划中将扮演重要的角色［1］。再入飞行器覆盖区指的是飞行器终点高度、速度满足要求时所抵达的全部坐标集合。研究覆盖区的生成方法，有助于衡量飞行器的机动能力，确定轨道再入制动点和评估不同制导律的性能表现［2］。

近年来，国内外很多学者对再入覆盖区的研究做了有效的工作。文献［3］最早通过坐标系旋转将覆盖区求解问题转化为在固定纵程下的参数搜索问题；SarafA等人［4］将最大纵程问题转换为轨迹优化问题，并且用直接法进行求解；Hale等人［5］提出用最大和最小阻力包线近似判定覆盖区的外边界和内边界；Shen Z和Lu P［6］巧妙应用准平衡滑翔条件，提出一种在线生成可飞三维轨迹的方法，为后续覆盖区的研究提供了启发；雍恩米［7］在文献［6］基础上引入哥氏加速度项并引入航向误差走廊控制，改进了再入轨迹生成方法；Lu P和Xue S［8］将覆盖区问题转化为单一参数搜索问题；李惠峰等人［8］提出一种混合优化算法，有效解决了覆盖区转化而成的参数优化问题，在文献［10］中，又推导了再入过程约束的统一形式，并且成功将简化的轨迹规划方法应用于覆盖区的内边界问题。但是，上述研究中几乎没有考虑对于再入终端的高度和速度精度要求，并且大多没有完整地考虑覆盖区的内边界和外边界问题。

本文将再入轨迹分成初始下降段、边界跟踪段和末端调整段，设计了一种考虑终点高度要求的完整再入覆盖区近似、快速的求解方法。

2 问题建模

2.1 无动力再入模型

2.1.1 再入动力学

对于可重复使用再入飞行器，考虑旋转球形地球模型，在极坐标下归一化质点运动方程为式（1）～（6）［11］：

其中，r、θ、ϕ、V、γ、ψ分别表示飞行器的地心距、经度、纬度、对地速度、速度倾角和速度方位角，r和V分别采用地球半径R0和为归一化系数，其中g0是地表重力加速度模值。Ω为地球自转角速度，归一化系数为。时间t采用进行归一化。气动升力L＝ CLρV2S／2和阻力D＝CDρV2S／2，归一化系数为mg0，其中S为飞行器的参考面积，m为飞行器质量。CL(α，M)和CD(α，M)分别为升力系数和阻力系数，是攻角α和马赫数M的函数。ρ为大气密度，表示为式（7）所示指数关系：

其中，ρ0为海平面大气密度，H为高度常数。

2.1.2 再入约束

再入过程需要在保证飞行器结构完整、人员安全以及机载设备正常工作的前提下将飞行器导引至规定的终端状态，因此除了满足再入起始点和再入终点的状态约束条件外，还要求再入轨迹满足热流率、动压以及过载的过程约束如式（8）～（11）［1］：

端点约束：

过程约束：

另外，引入平衡滑翔条件的概念。本文所研究的具有高升阻比的再入飞行器，由于其所受法向加速度较小，从而导致航迹倾角以及航迹倾角变化率很小。令γ＝γ·＝0，当σ为常值时代入式（5），并且忽略地球自转加速度，可得平衡滑翔条件如式（12）：

在实际飞行中，σ不是常值，称公式（12）为准平衡滑翔条件（QEGC）。由式（12）可知，对于轨迹上的一点（r，V），可以对应一个倾侧角取值，所以准平衡滑翔条件可以用于为“r⁃V”空间的轨迹生成制导律［11］。而由倾侧角的下界σmin可以确定“r⁃V”空间轨迹剖面的上界，称之为准平衡滑翔约束［6］。

为满足最大热流率约束，由（9）和式（7）可得式（13）：

为满足最大动压约束，由式（10）和式（7）可得（14）：

类似地，由式（11）和式（7）联立，可得过载约束对应在“r⁃V”空间的范围为式（15）：

如果RLV的再入轨迹所对应的热流率、动压和总过载为常值，那么在“r⁃V”空间中，公式（13）～（15）可以统一表示为式（16）所示形式［10］：

式中，k为常数，热流率、动压、总过载分别为6.3H／R0、2H／R0和2H／R0。C为积分常数，由不同的过程约束上限值计算得到。下面给出热流率约束的系数推导过程，而动压和过载约束的系数推导方法类似。

式（9）两端同时对速度V求导数得式（17）：

而由式（7）对V求导可得式（18）：

当热流率为给定常值时存在式（19）：

将式（18）和（19）代入式（17），得式（20）：

对方程（20）积分，可得式（21）：

由于动压和过载的拟合系数k相等，所以由式（16）可知，动压约束和过载约束不会同时起到约束作用。而准平衡滑翔约束作为软约束，在“r⁃V”空间并无解析式，可通过式（12）的迭代求解而得。

热流率约束、动压约束和过载约束，共同组成再入走廊的下边界，而平衡滑翔约束作为走廊的上边界。至此，在“r⁃V”空间，各个约束对应一个可飞集合，所有可飞集合的交集则构成再入走廊。

2.2 覆盖区求解模型

覆盖区有不同的表述形式，在本文中，如图1所示，EI为再入点，无动力再入飞行器的覆盖区近似一个封闭多边形ACD：D点为飞行器最大纵程点，边AD与边CD是由不同纵程点（B1，B2，…，BN）所对应的最大横程点组成的，边AC是由最小轨迹长度所对应的终点组成的覆盖区内边界。

覆盖区求解分为两大部分：边AD与边CD组成的覆盖区外边界求解；覆盖区内边界AC的求解。为求解覆盖区，建立以下三个最优控制问题：

1）为求得最大纵程点D，设SD为停机时的纵程，则性能泛函为式（22）：

2）为求得边AD和CD，遍历（B1，B2，…，BN），求各点固定纵程下的最大横程。对任意一点Bn（θBn，ϕBn），已固定纵程SBn，求所能飞到的最大横程SF（对应点F（θF，ϕF）），性能泛函为式（23）：

式中，0≤Sf≤π。

3）再入最小轨迹长度终点组成的覆盖区内边界边AC的性能泛函为式（24）：

式中，S为再入轨迹长度。

3 分段轨迹规划

快速规划可飞的再入轨迹是覆盖区求解的子问题，因为在求解覆盖区时，需要根据纵程要求规划简单、可行的轨迹并进行跟踪。根据文献［5］，再入轨迹规划问题定义为：给定再入条件和再入终点条件，即末端能量管理（Terminal Area Energy Management，TAEM）段的起始条件，设计控制量（攻角、侧滑角），使得再入过程中各点状态满足条件，包括式（1）～（6）的运动方程约束、式（8）的端点约束，以及过程约束（包括式（9）～（11）的硬约束和准平衡滑翔约束的软约束）。

在求取覆盖区时，以不同的攻角剖面再入导致飞行器的飞行范围不同。本文暂不做攻角剖面的研究，而以一固定的攻角剖面飞行。在此基础上，设计倾侧角的大小和方向来满足过程约束。在这里，采用标称的攻角剖面飞行，然后通过确定“r⁃V”平面内的飞行剖面来获取倾侧角大小，再通过倾侧角的翻转序列来分配纵程和横程。

以往的研究［6⁃7，12］一般将弹道分为初始下降段和准平衡滑翔段。这里，为了通过跟踪走廊内不同“r⁃V”曲线获得不同纵程，并且更好地满足再入终点的高度要求，设计了分“初始下降段、边界跟踪段和终端调整段”三段的轨迹规划方法。

结合第一章中对再入走廊的说明，可画出图2。图中E点为初始再入点，A为初始下降段与热流约束段交接点，B点为热流率约束曲线和平移后准平衡滑翔曲线的交点，C点为平移后准平衡滑翔曲线和另一过程约束（动压或过载）曲线的交点，D点为边界跟踪段与终端调整段交点（本文设定速度VD为分界依据），F点为再入终点。

3.1 初始下降段EA

初始下降段的高度约在80～100 km范围。由于空气密度非常小，可以不用考虑过程约束；同时，因为动压比较小、升力小，飞行器质心将迅速下落。随着高度的降低，根据式（7）大气密度将以指数增加，动压也随着快速建立，飞行器将获得足够的升力改出快速下落的状态。也就是初始下降段结束时，飞行器进入“r⁃V”的走廊内，为改出进入边界跟踪段做准备，在达到热流率约束曲线时，记为A点。

需补充的是，对于初始再入高度比较高、而初始速度较小时的情况，飞行器在还未建立足够的动压获取大升力时就超过了再入走廊的下边界，会出现飞行器无法从初始下降段进入边界跟踪段的问题。因此，在“r⁃V”空间中对初始速度和高度存在要求，这里假设所给的初始再入条件经过初始下降段总能找到一个A点进入边界跟踪段。

3.2 边界跟踪段AD

边界跟踪段的设计是为了方便调整轨迹在“r⁃V”空间的高度从而获得不同纵程的轨迹。这里采用“跟踪＋平移走廊下边界”的方法。

首先，为简化轨迹规划问题，将准平衡滑翔约束需用段拟合成式（16）的形式。并且将其下移，与热流率约束交于点B，与另一个有效约束（动压／过载）交于点C。以“热流率段AB，准平衡滑翔段BC和动压／过载段CD”作为约束走廊新的下边界。设计轨迹跟踪走廊下边界可以得到一条轨迹，然后每次通过在约束走廊内向上平移走廊下边界来遍历整个走廊可以得到不同纵程的轨迹。直到到达D点的切换速度时，进入终端调节段。从而边界跟踪段被设计为三段形状为式（16）的轨迹，其中各段的系数由约束常值确定。

需补充的是将准平衡滑翔约束往下平移与下边界相交，形成新的下边界，有三点好处：各段轨迹平滑过渡；统一采用式（16）形式使问题简化；可以通过向上平移走廊下边界获得不同纵程轨迹。

为了跟踪边界跟踪段的轨迹，基于准平衡滑翔条件（12），引用文献［10］的结论，跟踪式（16）轨迹的倾侧角控制律为式（25）～（27）：

其中，

式中k即为按照式（16）规划的轨迹的参数。

3.3 末端调整段DF

轨迹以速度达到末端要求作为再入终止条件，即式（8）。为了满足再入末端的高度条件，设定一个合适的速度VD作为边界跟踪段和末端调整段的分界，在“r⁃V”空间设计一个线性段，连接分界点和末端要求点，即所谓末端调整段。

末端调整段在“r⁃V”空间的关系表示为式（28）：

与文献［10］中的制导律推导类似，式（28）对V求导可得式（29）：

由方程（1）比除以方程（4），并且忽略掉旋转角速度项，可得式（30）：

由式（29）和式（30）可得沿设定在“r⁃V”空间的直线调整段的速度倾角为式（31）：

式（31）两边关于无量纲时间τ微分得式（32）：

其中涉及的变量定义如式（33）～（35）：

忽略哥氏加速度和向心力，并且假设r≈1（由于再入飞行过程中的飞行高度与地球半径相比小得多）。方程（5）可以简化为式（36）：

需要说明的是，由于末端的调整段速度较低，而且所占时间并不长，所以对于航程的影响不明显，可以采用这种简单的“r⁃V”线性设计，这是在覆盖区求解的允许范围内的。

4 覆盖区求解流程

覆盖区问题分为外边界和内边界两个问题，其中外边界包括最大纵程问题和固定纵程下的最大横程问题。为了求取完整的覆盖区，下面应用提出的轨迹规划方法，分别对三个最优控制子问题（22）、（23）和（24）进行近似求解。覆盖区求解流程如图3。

在终端和过程约束设定之后，进入覆盖区求解程序。本文中所有问题的求解基于飞行器的经验标称攻角，并没有对攻角进行优化。初始下降段由于飞行器气动力不足，采用预先设定的常值倾角飞行。

边界跟踪段是三个子问题中轨迹的主要区分之处：

1）内边界求解沿着走廊下边界飞行，在速度VA、VD之间依次选择不同速度点Vset作为倾侧角翻转点。初始倾侧角σ分为正（向右）和负（向左）两种情况，得到两条由轨迹终点组成的边，两条边的组成公共内边界即为覆盖区内边界AC。

2）固定纵程下的最大横程问题，以给定的热流率、动压和过载约束的值为约束最大值，分别设定一个约束最小值，这三个过程约束的最大值和最小值分别对应再入走廊的最低和最高下边界。在最高和最低边界之间以纵程的平均分布来插入中间轨迹，让飞行器沿着中间轨迹飞行获得覆盖区外边界不同纵程点；通过控制倾侧角的正负来确定最大横程的方向是向右还是向左，规定倾侧角σ的符号为正（向右），得到一系列轨迹终点组成的边CD；规定倾侧角σ的符号为负（向左），得到一系列轨迹终点组成的边DA。

3）最大纵程问题采用零度倾侧角控制律对轨迹进行积分。

在终端和过程约束设定之后，进入覆盖区求解程序。本文中所有问题的求解基于飞行器的经验标称攻角，并没有对攻角进行优化。初始下降段由于飞行器气动力不足，采用预先设定的常值倾角飞行。

达到设定的分界速度VD之后，进入末端调整段DF。各条轨迹分别在“r⁃V”空间设计一个线性段，连接边界跟踪段改出点和末端要求点，并按照上一小节推导制导律跟踪，直到再入结束。至此，设计了完整覆盖区问题的求解方法。

5 仿真验证

5.1 仿真条件

为了验证所提出的覆盖区求解方法，针对某飞行任务进行仿真。

飞行器基本参数包括：质量2000 kg，参考面积9 m2，鼻头半径0.5 m。作为运动方程中的六个状态量，给出初始状态为：高度为120 km，经度、纬度分别为13.3°和8.5°，速度为7500 m／s，速度倾角和速度偏角分别为－1.2°和48°。再入过程中，考虑热流率、动压和过载的过程约束，并在再入末端考虑速度和高度的约束，以方便作为TEAM段的起始点，如表1所列。

表1 过程约束及轨迹终端停机条件Table 1 Values of constraint parameters and final con⁃ditions

仿真中采用式（37）所示类似于航天飞机早期试飞时的分段标称攻角剖面［13］：

5.2 仿真结果和分析

5.2.1 外边界

首先，沿着再入走廊上边界飞行得到最大纵程点，同样为了满足末端要求，在VD＝2000 m／s点进入末端调整段。

然后按照图3所述，通过沿着平移的走廊下边界飞行，得到固定纵程下最大横程点。

图4和图5中的长虚线代表过程约束，短虚线代表平衡滑翔约束，而实线代表实际飞行轨迹。通过初始下降段快速到达飞行走廊内，进入边界跟踪段。图4中通过跟踪走廊上边界获得最大纵程点，图5中在初始下降段结束后，轨迹接上平移过后的走廊下边界，切入到沿着热流率曲线飞行；到了热流率曲线和QEGC曲线交点时，沿着QEGC曲线飞行；到了QEGC和过载的曲线飞行，此算例中动压曲线并没有起到约束作用。另外，可以清晰地看到各条轨迹在走廊内移动，基本遍历了整个走廊，并且都在速度达到2000 m／s时切换到终端调整段，在再入末端满足了速度和高度的要求，可见末端调整段发挥了很好的作用。

在计算机上仿真时，求最大纵程用时13 s；取10个纵程点遍历共21条轨迹，求固定纵程下的最大横程，共用时212 s。在实际应用中，可以通过减少遍历点数有效地减少所需时间。

5.2.2 内边界

内边界表示受到飞行器机动能力限制而形成的边界，是沿着走廊的下边界飞行得到的，即各条轨迹所跟踪的“r⁃V”曲线相同，所以控制量倾侧角的大小相同，轨迹长度相同。然后，根据分配倾侧角的方向来获取内边界上的点，达到分配纵程和横程的效果。

仿真中，每条轨迹有一次倾侧角翻转。为了遍历所有翻转情况得到完整内边界，分为初始倾侧角为正和为负两种情况进行求解，两种情况分别获得一条内边界曲线，两条曲线取靠近再入点的部分则可得到内边界，如图6中的虚线部分。每一种情况在速度（900～7000）m／s区间内，以每500 m／s为一个间隔，选取一个倾侧角翻转速度得到一条轨迹。两种情况共生成28条轨迹，计算机仿真共用时35.7 s。

为了表示飞行器机动能力的真正极限，并没有像求外边界一样加入末端调整段来保证末端高度要求。

由于外边界和内边界的仿真条件一致，将内边界和外边界的图形组合、连接起来，则可得到完整的覆盖区。如图7所示，虚线为求覆盖区外边界时的各条轨迹，将轨迹终点相连得到外边界，和图6中的内边界端点共同组成闭合覆盖区，即图7中实线内部。外边界和内边界端点之间的距离是由于外边界求解中引入了末端调整段。因为外边界求解问题中，固定纵程求解最大横程的轨迹并没有覆盖到最小纵程（即内边界）的情况。

6 结论

算例仿真结果表明所提出的轨迹规划方法简单、可靠，很适合应用到覆盖区求解问题，可用于再入飞行器性能评估、再入任务设计和再入制导律评估等工作，具有较高的工程应用价值。

需要补充的是，标称攻角剖面决定了倾侧角控制量的可用空间，对覆盖区影响很大，下一步工作可以研究攻角对覆盖区的影响并进行优化设计。

（References）

［1］ 薛松柏.升力再入飞行器轨迹规划与制导技术研究［D］.北京：北京航空航天大学，2011. Xue Songbai.Study on Lifting Entry VehicleTrajectory Planing and Guidance Algorithm［D］.Beijing：Beihang University，2011.（in Chinese）

［2］ Rea JR，Putnam ZR.A Comparison of two Orion skip entry guidance algorithms［C］／／AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit，Hilton Head，South Caro⁃lina，20⁃23 August2007.

［3］ Vinh N.Optimal Trajectories in Atmospheric Flight［M］. New York：Elsevier Scientific Publishing Company，1981.

［4］ Saraf A，Leavitt J A，Mease K D，et al.Landing footprint computation for entry vehicles［C］／／AIAA Guidance，Naviga⁃tion and Control Conference and Exhibit，Province，Rhode Is⁃land，2004.

［5］ Hale NW，Lamotte NO，Garner TW.Operationalexperience with hypesonic flight of space shuttle［C］／／Proceedings of 2002 AIAA Guidance，Navigation and Control（GN＆C）Con⁃ference，AIAA，Orlando，FL，2002.

［6］ Shen Z，Lu P.Onbooard generation of three⁃dimensional con⁃strained entry trajectories［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2003，26（1）：110⁃121.

［7］ 雍恩米，唐国金，陈磊.高超声速无动力远程滑翔飞行器多约束条件下的轨迹快速生成［J］.宇航学报，2008，29（1）：46⁃52. Yong Enmi，Tang Guojin，Chen Lei.A rapidgeneration method of trajectory under multiple constraints for hypersonic unpow⁃ered remote gliding flight vehicle［J］.Journal of Astronautics，2008，29（1）：46⁃52.（in Chinese）

［8］ Lu P，Xue S.Rapid generation of accurate entry landing foot⁃prints［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33（3）：756⁃767.

［9］ 李惠峰，孙国庆，何睿智.基于混合优化算法的RLV覆盖区求解［J］.中国空间科学技术，2012，32（6）：39⁃46. Li Huifeng.Sun Guoqing，He Ruizhi.An algorithm for land⁃ing footprint based on hybrid optimization algorithm［J］.Chi⁃nese Space Science and Technology，2012，32（6）：39⁃46.（in Chinese）

［10］ Li Huifeng，Zhang Ran，Li Zhaoying，et al.New method to enforce inequality constraints of entry trajectory［J］.Journalof Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（5）：1662⁃1667.

［11］ Vinh N X，Busemann A，Culp R D.Hypersonic and Planeta⁃ry Entry Flight Mechanics［M］.Ann Arbor，MI：Univ.of Michigan Press，1980：26⁃27.

［12］ Wang Junbo，Qu Xin，Ren Zhang，etal.Hybrid reentry guid⁃ance based on the online trajectory planning［J］.宇航学报，2012，33（9）：1217⁃1224.

［13］ 任洋，曹林平，肖红，等.高超飞行器平滑再入倾侧角优化设计［J］.空军工程大学学报：自然科学版，2014，15（5）：6⁃10. Ren Yang，Cao Linping，Xiao Hong，et al.A smooth bank angle optimization design for reentry phase of hypersonic air⁃craft［J］.Journal of Air Force Engineering University（Natural Science Edition），2014，15（5）：6⁃10.（in Chinese）

［14］ Harpold JC，Graves Jr C A.Shuttle entry guidance［C］／／A⁃merican Astronautical Society，Anniversary Conference，25th，Houston，Tex.，Oct.30⁃Nov.2，1978，35 p.1978，1.

Method for Landing Footprint Generation in Reusable Vehicles

ZENG Xijuan1，ZHONG Fanjun2，DING Xueliang2，LIHuifeng1∗，CHENG Xiaoming1
（1.School of Astronautics，Beihang University，Beijing 100191，China；2.Chengdu Aircraft Design and Research Institute，Chengdu 610041，China）

Detailed processing procedure was developed to solve three footprint problems including themaximum downrange，themaximum cross－rangewith respect to a certain downrange and the in⁃ner footprint.Logarithmic form of constraints in“r－V”profile were introduced to simplify the ex⁃pression of the entry corridor.The reentry trajectory was divided into three phases：the initial de⁃scent phase，the boundary tracking phase and the final adjusting phase，in which the design of the final adjusting phase could satisfy the final altitude constraint.The known quasi－equilibrium glide condition（QEGC）was introduced to obtain the analytic guidance law.The maximum downrange was given by tracking the upper boundary of the entry corridor.The maximum cross－range with a certain downrangewas solved by translating the boundary tracking phase trajectory to cover the space of the entry corridor.The inner footprintwas generated by following the lower boundary.The simula⁃tion results suggested that the proposed method could generate the closed landing footprint efficient⁃ly，and itwas possible to apply themethod to engineering practice，such as performance evaluation of the reentry vehicle，the objective point selection，and the evaluation of reentry guidancemethods.

reusable reentryvehicle；landing footprint；quasi⁃equilibrium glide；r⁃V plane；trajecto⁃ry planner

V448.235

A

1674⁃5825（2017）01⁃0014⁃07

2015⁃12⁃04；

2016⁃12⁃26

国家自然科学基金（61174221，11272062）

曾夕娟，女，硕士研究生，研究方向为再入制导。E⁃mail：zengxijuan＠buaa.edu.cn

∗通讯作者：李惠峰，女，博士，教授，研究方向为高速飞行器制导与控制。E⁃mail：lihuifeng＠buaa.edu.cn