浅谈导数在不等式证明中的相关应用

彭江敏+徐立新

摘 要：不等式的证明，中学往往只能用基本不等式，一些不等式的证明比较难，有时要用到一些技巧。但若利用高等数学中的导数，问题就变得简单了。

关键词：不等式；导数；应用

一、高等数学中的拉格朗日中值定理

定理1：若函数f（x）满足：①在闭区间上[a，b]上连续；②在开区间上（a，b）内可导则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f?（ξ）（b-a）.

利用上述定理，我们不难证明如下结论：

定理2：若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则有

（1）当对任意的x∈（a，b），恒有f（x）>0，则f（x）在区间[a，b]上是增函数.

（2）当对任意的x∈（a，b），恒有f?（x）<0，则f（x）在区间[a，b]上是减函数.

证明：，不妨设x1

f（x2）-f（x1）=f?（ξ）（x2-x1），因此，若在（a，b）內恒有f?（x）>0，则上式中f?（ξ）>0且（x2-x1）>0，从而，f（x2）>f（x1）即f（x）在区间[a，b]上是增函数。

反之，若在（a，b）内恒有f?（x）<0，则上式中f?（ξ）<0且（x2-x1）>0，从而，f（x2）

上述定理告诉我们，函数单调增加的区间必有导数为正，而函数单调减少的区间必有导数为负。

利用上述定理2，我们容易证明一些不等式。

二、应用举例

例1：证明：当x>1时，

证明：令，

则

由于f（x）在[1，+∞）上连续，在（1，+∞）内f?（x）>0，因此，在[1，+∞）上f（x）单调增加，故当x>1时，f（x）>f（1）=0。

即所以（x>1）

例2：证明：（x>0）

证明：令

因为f??（x）=x-sinx，f???（x）=1-cosx，于是当x>0时，f???（x）=1-cosx≥0，因此，在（0，+∞）内，f??（x）是增函数。

所以，当x>0时，f??（x）>f??（0）=0。

此即在（0，+∞）内f??（x）≥0，所以f?（x）在（0，+∞）内是增函数，所以，当x>0时，f?（x）>f?（0）=0。

此即在（0，+∞）内f?（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）内是增函数。

所以，当x>0时，f（x）>f（0）=0，从而有，当x>0时，即（x>0）。

三、总结

从上面两个例子，我们看到，利用导数来证明不等式有较好的作用，若用中学的原始方法，像这一类不等式的证明，有时是较难的，有时甚至是不可能的.所以，利用导数证明不等式，是一种好的方法.

参考文献：

[1]高等数学（上册）.汤四平、赵雨清、陈国华主编[M]北京：北京理工大学出版社，2009.

[2]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.