数列随想

弓月

数列对于我们来说其实一点也不陌生。小时候刚学说话，便会扳着手指数1，2，3，4，5，…，这是我们最早接触的数列。至于后来的高斯计算前100个正整数的和、让印度国王在国际象棋棋盘上放麦粒的故事，更是耳熟能详，同时也领略到数列中展现出的人类智慧。

数列在生活中可谓无处不在。我们思考问题时，为追求简便，常按一定的次序来处理事情，用次数、天数、月数、年数等顺次进行记录，这样便不知不觉生成了数列。

数列不仅是我们必备的数学知识，是形成数学素养的基本材料，也是拓展视野、认识世界的有力工具。

“圆周率到底是多少？”历史上这曾是一件让世人大伤脑筋的事。我国魏晋期间伟大的数学家刘徽，独创了一种叫“割圆术”的方法求圆周率：设圆的直径为1，依次计算圆的内接正三角形、正六边形、正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六边形…的周长。用今天的话来讲，就是把这些周长依次排成一个数列。刘徽发现这个数列的项无限趋近于一个常数，这个常数就是圆周率。为什么呢？刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”在数的逼近中，圆周率无所遁形。

1766年，德国中学数学教师提丢斯，把人们熟悉的等比数列3，6，12，24，48，96，192…作简单变换后得到数列0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…令他驚奇的是，这个数列的每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定为1个单位）有着一定的联系。以该数列为线索，1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上（即数列中的第八项）发现了天王星；1801年，德国天文爱好者奥伯斯在数列的第五项，即2.8的位置上又发现了一颗对应的行星——谷神星。数列还可能是自然界事物内在数量关系的某种体现。

深入研究数列时会发现，它与函数有着密切的联系。函数可以用列表法、图象法、解析法表示。数列也可以用列表、图象、通项公式表示。从本质上讲，数列就是函数。只不过此时函数的定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}。这样，在学习数列时，可以从函数的视角来看待它，用函数的方法来研究它。相应地，我们也可以借助数列来认识不同角度的函数。其实，在我们刚学习函数的时候，就已经这么做了。大家还记得描点法作函数图象吗？为了画出函数图象，先在自变量中选取一些特殊值，再列表、描点。这实际上就是从函数中抽取出一个数列，让我们通过数列来认识函数。

掌握了数列知识，相信你的数学眼光一定会更有穿透力。endprint