关于某些P-叶解析函数类的系数估计

敖恩, 李书海, 斯琴其木格

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000;2.赤峰学院计算机与信息工程学院,内蒙古 赤峰 024000)

关于某些P-叶解析函数类的系数估计

敖恩1, 李书海1, 斯琴其木格2

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000;2.赤峰学院计算机与信息工程学院,内蒙古 赤峰 024000)

利用拟从属关系引进了一些新的P-叶解析函数的子类,应用解析函数的基本不等式和分析技巧,讨论了相应函数类的系数估计,得到了准确结果,推广了一些相关结果,并给出了 Hadamard卷积在 Fekete-Szeg¨o问题上的应用.

解析函数;P-叶函数;拟从属;系数估计;Fekete-Szeg¨o问题;Hadamard卷积

1 引言

单叶函数和多叶函数的系数估计问题一直受到各国数学家高度重视.Fekete-Szeg¨o问题是解析函数系数方面研究的一个重要分支,这类问题实质上是对单叶函数的第二项系数和第三项系数之间关系的一个估计.具体的来说是估计单叶函数类上的系数泛函的上界.在1933年,文献[1]首先提出了单叶函数类上的系数泛函的精确估计问题,并得到结果.

且对任意的µ∈[0,1)等号均成立.由此,许多研究者利用从属关系引进单叶函数的各种子类,对函数类的 Fekete-Szeg¨o问题进行了研究 (如文献 [2-6]).在对单叶解析函数的 Fekete-Szeg¨o问题研究基础上,许多学者对多叶解析函数的Fekete-Szeg¨o问题也进行了研究.最近,在文献[7-11]中,一些研究者利用比从属关系具有更广泛意义的拟从属关系引进了一些单叶和双向单叶解析函数子类,并研究了函数类的系数估计和Fekete-Szeg¨o问题.受到上面文献的启发,本文利用拟从属关系引进三类P-叶解析函数,讨论了相应函数类的系数估计和Fekete-Szeg¨o问题,得到了准确结果,从而推广了文献[7,12]中一些相关结果,并给出了Hadamard卷积在Fekete-Szeg问题上的应用.

2 预备知识

设Ap表示在单位圆盘D={z:|z|<1}内解析,且具有如下形式:

3 系数估计

为了得到本文的主要结果,需要引进下面的引理.

引理 3.1[14]设φ(z)=c0+c1z+c2z2+···在单叶圆盘 D 内解析且

则

引理 3.2[14]设 ω(z)=ω1z+ω2z2+···在单叶圆盘 D 内解析且|ω(z)|<1,则对任意复数t,有

当函数ω(z)=z2或ω(z)=z时上式等号成立.

引理 3.3[15]设 ω(z)=ω1z+ω2z2+···在单叶圆盘 D 内解析且|ω(z)|<1,则对任意实数t,有

又将函数φ(z),ϕ(z)和ω(z)的幂级数展开式代人(5)式右侧,整理可得

于是将(6)式和(7)式代入到(5)式,比较两边同次幂的系数可得

在定理1中,令ω(z)=z,得到如下结论.

推论 3.1如果f(z)∈Ap满足:

且对任何复数µ,有

当µ≤σ1或者µ≥σ2时,分别有t≤−1和t≥1.于是应用引理3.3,可得(10)式中第一个和最后一个不等式;又当σ1≤µ≤σ2时,有|t|≤1.由引理3.3,可知(10)式中第二个不等式也成立.

当µ<σ1或者µ>σ2时,对应的极值函数f(z)满足:

当σ1<µ<σ2时,对应的极值函数f(z)满足:

当µ=σ1或者µ=σ2时,对应的极值函数f(z)分别满足:

和

另外,根据引理3.3也可以得到(11)式和(12)式成立.综上所述,定理3.2证毕.

注 3.1(1)在定理3.1和定理3.2中,令φ(z)≡1,得到文献[7]中定理8的结论;

(2)在定理 3.1中,令p=1,α=0,得到文献[12]中定理2.1的结论;

(3)在定理3.1和推论3.1中,令p=1,α=1,得到文献 [12]中定理2.4和定理2.5的结论;

(4)在定理3.1和推论3.1中,令p=1,得到文献[12]中定理2.10和定理2.12的结论.

定理 3.3如果 f(z)∈Lq,p(α,ϕ),那么

且对任何复数µ,有

证明设 f(z)∈ Lq,p(α,ϕ),则存在解析函数 φ(z)和 ω(z)满足 |φ(z)|≤ 1,ω(0)=0和 |ω(z)|<1,使得

令β=1−α.将(1)式代入(13)式左侧,通过计算分别可得

将上式和(6)式代入(13)式,比较两边同次幂的系数,得

类似于定理3.1的证明,利用引理3.1和引理3.2,可知结论成立.因此,定理3.3证毕.

在定理3.3中,令ω(z)=z,得到如下结论.

推论 3.2如果f(z)∈Ap满足

则

且对任何复数µ,有

定理 3.4如果 f(z)∈Lq,p(α,ϕ),那么对任何实数 µ,有

另外,当 σ1≤ µ ≤ σ3时,有

当 σ3≤ µ ≤ σ2时,有

其中B2∈R,c0∈R,c0>0,

注 3.2(1)在定理3.3和定理3.4中,令φ(z)≡1,得到文献[7]中定理7的结论;

(2)在定理3.3中和推论3.2中,令p=1,得到文献[12]中定理2.13和定理2.15的结论.

定理 3.5如果 f(z)∈Rq,p(b,ϕ),那么

且对任何复数µ,有

证明设 f(z)∈ Rq,p(b,ϕ),则存在解析函数 φ(z)和 ω(z)满足 |φ(z)|≤ 1,ω(0)=0和 |ω(z)|<1,使得

将(1)式代入(14)式左侧,计算得

于是将上式和(6)式代入到(14)式,比较两边同次幂的系数,可得

类似于定理3.1的证明,利用引理3.1和引理3.2,可知结论成立.因此,定理3.5证毕.

在定理3.5中,令ω(z)=z,得到如下结论.

推论 3.3如果f(z)∈Ap满足:

注 3.3(1)在定理3.5和定理3.6中,令φ(z)≡1,b≡1,得到文献[7]中定理1的结论;

(2)在定理3.5中,令φ(z)≡1,得到文献[7]中定理3和定理4的结论;

(3)在定理3.5和推论3.3中,令p=1,b=1,得到文献[12]中定理2.6和定理2.7的结论;

(4)在定理3.5中,令p=1,得到文献[12]中推论2.8的结论.

4 Hadamard卷积在 Fekete-Szeg问题上的应用

最后,给出 Hadamard 卷积在函数类 Mq,p(α,ϕ),Lq,p(α,ϕ)和 Rq,p(b,ϕ)的 Fekete-Szeg¨o 问题上的应用.

定理4.1设

其中B2∈R,c0∈R,c0>0,

于是类似于定理3.1和3.3的证明,可得定理4.1的结论.因此,定理4.1证毕.

利用相同方法可以证明下面的定理4.2和定理4.3.

定理4.2设

[1]Fekete M,SzegG.Eine bermerkung uberungerade schlichte function[J].Journal of the London Mathematical Society,1933,8(2):85-89.

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[6]周从会.关于α-凸函数的Fekete-Szeg¨o不等式[J].纯粹数学与应用数学,2010,26(1):51-55.

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[9]Srutha B,Lokesh P.Fekete-Szeg¨o problem for certain subclass of analytic univalent function using quasisubordination[J].Mathematica Aeterna.,2013,3(3):193-199.

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[13]Robertson M S.Quasi-subordination and coefficient conjectures[J].Bulletin of the American Mathematical Society,1970,76:1-9.

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[15]Ma W C,Minda D.A uni fi ed treatment of some special classes of univalent functions[J].In Proceedings of the Conference on Complex Analysis,1994,1:157-169.

On coefficient estimates for some subclasses of P-valent functions

Aoen1,Li Shuhai1,Siqinqimuge2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.School of Computer and Information Engineering,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

We introduce some new subclasses of p-valent analytic functions de fi ned by quasi-subordination.The coefficient estimates of the classes is discussed by using the fundamental inequalities of analytic functions and analytical techniques.The accurate results are obtained,which generalize some related results.And the applications of Fekete-Szeg¨o problem of the functions with Hadamard convolution are proved.

analytic functions,p-valent functions,quasi-subordination,coefficient estimate,Fekete-Szegproblem,Hadamard convolution

O174.51

A

1008-5513(2017)03-0260-14

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.006

2017-03-22.

国家自然科学基金(11560001);内蒙古自然科学基金(2014MS0101);内蒙古高校科学研究项目(2015NJZY240).

敖恩(1980-),硕士,副教授,研究方向：复分析及其应用.

2010 MSC:41A35