一种新的双正交小波的构造方法研究

吐尔洪江·阿布都克力木,阿丽亚·玉山,黄允浒

(新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830017)

一种新的双正交小波的构造方法研究

吐尔洪江·阿布都克力木,阿丽亚·玉山,黄允浒

(新疆师范大学数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830017)

在二进提升方案相关理论的基础上,结合双正交性、消失矩性和对称性条件,提出一种构造提升双正交小波的新方法.此方法从二进小波出发,考虑小波所具有的特性,通过选取适当的提升参数,具体构造了具有紧支撑、对称性、高阶消失矩和速降性的提升双正交小波.

二进提升方案;双正交小波;有限长度;消失矩;对称性

1 引言

小波变换是继Fourier变换之后又一有效地信号和图像处理工具,小波的构造也随之成为一个重要的研究领域[1].为了达到较好的信号处理效果,选取的滤波器往往要考虑以下几个特征:正交性、对称性、紧支撑、高阶消失矩.文献[2]已经提出了一个紧支撑正交小波的构造性方法.遗憾的是这样的小波是不对称的.进一步分析可以得到Haar小波是唯一同时具有正交性、紧支撑和对称性的小波.对应于对称小波的最重要的线性相位约束也许可以通过放松正交性限制并且使用双正交小波保持.M.Unser和A.Aldroubi[3]已给出了是双正交小波并且已利用B-样条函数构造出来的多项式样条小波.尽管这些小波是光滑对称的,但是它们的小波不具有有限长度.

双正交提升方案(Lifting scheme)是由一个较简单的初始双正交小波出发,逐步的利用提升,得到所需性质的多分辨分析的一种新的双正交小波构造方法.基于提升方案的双正交小波简称为提升双正交小波.寻找提升双正交小波的基本思路是弥补传统双正交小波的不足,且具备其优点.为了弥补传统双正交小波的不足,推广传统双正交小波的优点,W.Sweldens详细地分析了提升和对偶提升对尺度函数、小波及其对偶的影响.在1996年W.Sweldens放弃Fourier变换这个构建双正交小波的工具,利用提升方案研究了在时间域内构造双正交小波的问题[4],并得到基于提升双正交小波的信号分解与重构的计算方案和称之为第二代小波变换的理论[5].以此方案为基础,人们对双正交小波的构造进行了研究并构造了性质较好的双正交小波,但是,Sweldens提升方案仅局限于由双正交小波出发构造双正交小波,进一步放宽双正交的条件,在2000年T.Abdukirim克服了Sweldens提升方案的缺陷,并将其推广提出了二进提升方案[6].此方案由二进小波出发不仅可以构造新的二进小波,还可以构造双正交小波.同时,通过调整二进提升方案中提升参数的形式,可以使构造的小波具备各种好的特性[7-12].

本文从信号处理与分析的实际需要出发,在二进小波及二进提升方案的基础上,通过对参数的限定,提出一种构造提升双正交小波的新方法,应用此方法构造的小波具有更高阶消失矩、紧支撑、对称性和速降性.而这些滤波器却不能由Sweldens的提升方案所得到;它能仅从一个双正交小波滤波器去构造一个新的双正交小波滤波器.这些结果丰富了小波的理论.

2 二进提升方案的基本概念

本节简要给出二进提升方案的概念,这些概念是由文献[6]第一次引入的.还将分析信号处理对小波的要求及现有Sweldens提升方案的缺点.

定义2.1若滤波器组的无限级联计算产生两个二进尺度函数和二进小波,它们的Fourier变换满足:

其中

则方程(2.1)和(2.2)称为二尺度关系（二尺度差分方程）.

定义2.2若滤波器组的Fourier变换满足二进重构条件:

定义2.3若滤波器组的Fourier变换满足双正交重构条件:

定义2.4设初始滤波器组是二进小波滤波器组,若它们的Fourier变换满足

则方程组(2.5)称为一种二进提升方案(Dyadic Lifting Scheme).其中滤波器为提升滤波器,s为提升参数.

其中

“l”是“lifting”的缩写.

命题2.1[8]设滤波器组是二进小波滤波器组,则由二进提升方案(2.5)定义的提升滤波器也二进小波滤波器.

推论2.1设初始滤波器组是双正交小波滤波器组,则二进提升方案(2.5)中 s2n+1=0得到Sweldens提升方案[4]：

定义2.5设初始滤波器组是二进小波滤波器组,若它们的Fourier变换满足

则方程组(2.7)称为一种二进对偶提升方案(Dyadic Dual Lifting Scheme).其中r为提升参数.

命题2.2[8]设初始滤波器组是二进小波滤波器组,则由二进对偶提升方案(2.7)定义的提升滤波器也二进小波滤波器.

二进对偶提升方案是一个利用已知的二进小波滤波器作为模块构造一个新的二进小波滤波器的系统的方法.

推论2.2设初始滤波器组是双正交小波滤波器组,则二进对偶提升方案(2.7)中r2n+1=0得到Sweldens对偶提升方案[4]:

值得注意是Sweldens提升方案仅局限于从双正交小波出发构造双正交小波,二进提升方案不仅可以构造二进小波,还可以构造双正交小波,同时,通过调整二进提升方案中提升参数的形式,可以使构造的小波具备各种好的特性.推论2.1和推论2.2说明Sweldens提升方案是二进提升方案的特例,双正交小波空间是二进小波空间的子空间.这种变换不仅能克服“Mallat小波变换”的不足,而且还隐含着潜在的优越性,这是对小波变换本身的探讨,如同研究的操作系统一样,牵一而动全局,无疑具有重要的理论意义和广泛的应用前景.

3 双正交小波的构造理论

现在我们描述如何用二进对偶提升方案 (2.7)设计双正交小波滤波器.由命题2.2可知(2.7)已经满足条件(2.3).我们寻找一个使得(2.7)满足剩下的双正交重构条件(2.4)的条件.

定理3.1设初始滤波器组是二进小波滤波器组，如果二进对偶提升方案中提升参数rn满足下面的条件:

则(2.7)式得到的提升滤波器是双正交小波滤波器,其中z=e−iω,偶提升参数r2n不受限制.

定义3.1若

成立,则称ψ(t)为p阶消失矩小波.

命题 3.1下述论断互相等价：

显然,提升过程并不会改变对偶小波的消失矩,但是通过选择合适的提升参数使得新构造的提升滤波器的消失矩增加,从而提高对应小波的消失矩.

定理 3.21)若命题 3.1中的初始双正交小波分解高通滤波器 g的 Fourier变换满足(0)≠0,那么(ω)=0的充分条件是

2)若初始双正交小波分解高通滤波器g具有p阶消失矩,那么运用命题3.1提升后的双正交小波分解高通滤波器(ω)具有至少p+1阶消失矩的充分条件是提升参数(2ω)满足:

根据定理3.1和定理3.2,通过选择合适的提升和对偶提升参数{s,r},就可以提升小波及其对偶的消失矩,从而改善小波的性能.值得注意是由于对偶提升和提升过程是相互对称的,因此提升参数的构造方法完全可以对称的应用到对偶提升参数的构造中.

4 基于 B-样条的双正交小波构造

本文中,描述了如何通过使用在文献[7]中提出的提升二进小波理论来构造双正交小波.定理3.1、定理3.2提供了一种构造高阶消失矩的提升双正交小波的新方法.下面应用此方法构造具有更高阶消失矩的提升双正交小波滤波器.此方法用于构造基于B-样条的具有有限长度和消失矩的对称双正交小波.构造的小波不同于在文献[3]中给出的小波.选取一个m次B-样条函数作为尺度函数φ(t),因为这种函数满足双尺度关系(2.1)和(2.2).我们将Mallat构造的B-样条二进小波滤波器推广得到新的B-样条二进小波滤波器.其中,γ=1时对应的滤波器正是Mallat在文献[1]中构造的B-样条二进小波滤波器.

m次B-样条是I[0,1]与其自身的m+1次卷积的平移,其Fourier变换为:

由二进完全重构条件(2.3),有

因此,由二尺度关系(2.1),有

表1 具有二阶消失矩的初始一次样条二进小波滤波器系数

图1 尺度函数和小波(φ,,,)的图形

应用定理3.1设计双正交小波滤波器.因为初始一次样条二进小波滤波器h,g,和满足:

所以提升参数rn必须满足的条件是,

表2 提升双正交小波滤波器系数

所以由命题3.1的结果可以看出滤波器g具有二阶消失矩.因此,得到表2中所示的具有二阶消失矩的提升双正交小波滤波器组由二尺度关系式(2.1)和(2.2)得到对应的两个尺度函数和两个小波的图形如图2所示,依次为:

图2 两个尺度函数和小波(,ψ,,)的图形

例 4.2应用推论2.1和定理3.2(2)的结果设计一个具有三阶或更高阶消失矩的分解高通双正交小波滤波器.(ω)必须满足条件:

图3 尺度函数和小波(,,,)的图形

表3 具有四阶消失矩的交替提升双正交小波滤波器系数

此提升过程也适用于γ=2,m=1,2,···与γ=1,m=1,2,···的 B-样条二进小波滤波器.所以从二进小波滤波器出发应用定理3.1、定理3.2,选取适当的提升参数可以构造满足实际需要的各种特性的双正交小波滤波器.在二进提升方案相关理论的基础上,结合双正交性、消失矩性和对称性条件,提出了一种构造提升双正交小波的新方法.此方法由二进小波滤波器出发,构造了具有更高阶消失矩的提升双正交小波滤波器.而这些滤波器却不能由Sweldens的提升方案所得到,它能仅从一个双正交小波滤波器去构造一个新的双正交小波滤波器.

5 结论

本文研究了提升双正交小波滤波器的构造.通过分析和研究二进提升方案,结合双正交性、消失矩性和对称性条件,提出了两个定理,应用这两个定理,选取适合的提升参数,构造了同时具有紧支撑、高阶消失矩、对称性和速降性的提升双正交小波和交替提升双正交小波,这些好的特性正是双正交小波所期望具备的.鉴于双正交小波本身所具有的紧支撑、高阶消失矩、对称性和速降性这些较好的特性,对于信号和图像去噪、增强、特征提取等可能取得更好的处理效果[12-13].

[1]Mallat S.A Wavelet Tour of Signal Processing[M].New York:Academic Press,1998.

[2]Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets[M].New York:SIAM Press,1992.

[3]Unser M,Aldroubi A.Polynomial Splines and Wavelets-A Signal Processing Perspective[M].New York:Academic Press,1992:91-122.

[4]Sweldens W.The lifting scheme:A ustom-design construction of bi-orthogonal wavelets[J].Appl.Comput.Harmon.Anal.,1996,3(2):186-200.

[5]Sweldens W.The lifting scheme:A construction of second generation wavelets[J].SIAM J.of Math.Anal.,1997,29(2):511-546.

[6]Abdukirim Turki T,Niijima K,Takano S．Lifting Dyadic Wavelets[R].Japan:Kyushu University,2000．

[7]Abdukirim Turki T,Takano S,Niijima K.Construction of spline dyadic wavelet fi lters[J].Information Science and Electrical Engineering Journal of Kyushu University,2002,7(1):1-6.

[8]Abdukirim Turki T,Niijima K,Takano S.Design of biorthogonal wavelet fi lters using dyadic lifting scheme[J].Bulletin of Informatics and Cybernetics,2005,37(1):123-136.

[9]Abdukirim Turki T,Hussain M,Niijima K,et al.The dyadic lifting schemes and the de-noising of digital image[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution and Information Processing,2008,6(3):331-351.

[10]吐尔洪江·阿布都克力木,阿布都许库热·阿布都克力木,张海英.二进小波的构造方法研究[J].纯粹数学与应用数学,2012,28(2):149-154.

[11]吐尔洪江·阿布都克力木.小波信号处理基础[M].北京:北京邮电大学出版社,2014.

[12]Abdukirim Turki T.Lifting dyadic wavelet theory and design of fi lters for image processing[D].Japan:Kyushu University,2005.

[13]吐尔洪江·阿布都克力木.Dyadic Wavelet Theory and its Application[M].北京:北京邮电大学出版社,2015.

Study on new construction methods of the biorthogonal wavelets

Turghunjan Abdukirim Turki,Aliya Yushan,Huang Yunhu
(School of Mathematical Sciences,Xinjiang Normal University,Urumqi830017,China)

A new method for designing biorthogonal wavelet fi lters by dyadic lifting scheme is proposed.On the basis of the theory of the dyadic lifting scheme,a new method is proposed to construct the biorthogonal wavelet,which is based on the condition of biorthogonality,vanishing moment and symmetry.This method from the dyadic wavelet,considering the characteristics of wavelet has,by choosing appropriate parameters of lifting,concrete structure with compact support,symmetry,and high vanishing moments and downhill for the improvement of the biorthogonal wavelet.

dyadic lifting scheme,biorthogonal wavelets, fi nite length,vanishing moment,symmetry

O235

A

1008-5513(2017)03-0221-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.001

2016-09-21.

国家自然科学基金(61362039;11261061;10661010);新疆维吾尔自治区自然科学基金(200721104);新疆师范大学应用数学重点学科基金.

吐尔洪江·阿布都克力木(1962-),博士,教授,研究方向:小波理论在图像处理与计算机视觉中的研究及应用.

2010 MSC:94A15