数列中的数形结合 问题

辽宁省实验中学　成建卓

一　综述

在很多图形中，蕴含着数列的函数关系.比如用火柴拼并排摆放的正方形：用4根火柴可以拼出一个正方形，用7根火柴可以拼出两个正方形，用10根火柴可以拼出三个正方形……用an根火柴可以拼出 n 个正方形，易知 a1=4，a2=7，a3=10，…，火柴的根数与摆出的正方形的个数的关系就是数列.等差数列前n项和公式的证明，相当于求等腰梯形的面积，即把两个等腰梯形拼成一个平行四边形，应该说数与形的关系广泛存在于数列问题中.

二　经典例题解析

例 1如图， 直角 ΔABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，作ΔABC的内接正方形BEFB1，再做ΔB1FC的内接正方形B1E1F1B2，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成递减数列｛an｝，其前n项和为_____.

【解析】解决面积问题要先从边长入手.利用图形的性质，通过直角三角形中的边角关系可以确定相邻两个正方形的边长关系.

故数列｛bn｝是以为首项，以为公比的等比数列，所以

例2设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知｛rn｝为递增数列.

（1）证明：｛rn｝为等比数列；

（2）设r1=1，求数列｝的前n项和.

【解析】（1）通过求直线倾斜角的正弦入手.设Cn的圆心为（姿n，0），得 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得出两圆半径之间的关系，即｛rn｝中rn+1与rn的关系，证明｛rn｝为等比数列；（2）利用（1）的结论求｛rn｝的通项公式，代入数列，然后用错位相减法求和.

设 Cn的圆心为（姿n，0），则 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，两式相减得

故2rn+1-2rn=rn+1+rn，解得rn+1=3rn，所以数列｝为等比数列.

（2）由于 r1=1，q=3，故

即 Sn=1+2·3-1+3·3-2+…+n·31-n，

例3在平面上画一个圆将平面分为两个部分；画两个圆，最多将平面分成4个部分；画三个圆最多将平面分成8个部分……这样一直画下去，问画n个圆最多将平面分成多少个部分.

【解析】要分成最多的部分，平面上这n个圆，要满足每两个圆相交于两点，每三个圆都不共点；设画n个圆最多将平面分成an个部分，要找到画下一个圆时，多出多少个部分，即寻找an和an-1的关系.

【答案】由题意知 a1=2，a2=4，a3=8，再画下去如何分析呢？

我们知道，第n个圆与前n-1个圆中的每一个圆都要有两个交点，且与原交点不重合，故第n个圆与前n-1个圆有2n-2个交点，也就是新增了2n-2个交点.这新增的2n-2个交点将第n个圆分成了2n-2段弧，每一段弧将其所在的区域分为两个区域，即新增加了2n-2个区域，故有an-an-1=2（n-1）.

所以画n个圆最多可将平面分成n2-n+2个部分.

注：类似的问题很多，如人教版教材必修5第二章《数列》的前言部分提到了类似的问题：

在平面上画1条直线，将平面分成2个部分；画2条直线，最多可以将平面分成4个部分；画3条直线，最多可以将平面分成7个部分……这样一直画下去，问画n条直线，最多可以将平面分成多少个部分.这个问题的解法与例3基本一样，我们来分析一下：

设画n条直线最多将平面分成an个部分，下面寻找an和an-1的关系.平面上n-1条直线将平面最多分成an-1个部分，第n条直线与前n-1条直线都相交，多出了n-1个交点，即第n条直线被这些交点依次分成n段，这n段中的每一条射线或线段都将其所在的原来完整的区域一分为二，这说明画出第n条直线后，平面上多出了n个部分，故有anan-1=n.

例 4过 P（1，0）做曲线 C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k≥2）的切线，切点为 Q1，设 Q1在 x 轴上的投影为P1，又过P1做曲线的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，依次下去得到一系列点，Q1，Q2，…，Qn.设 Qn的横坐标为 an.求证：

【解析】寻找an和an-1的关系是解决问题的关键.在一般情况下，是由点Pn-1（an-1，0）向曲线引切线，切点为 Qn（an，0），通过求导，写出切线方程，再带入点 Pn-1的坐标（an-1，0），即可找到递推关系.

【答案】（1）y=xk，故 y′=kxk-1，故曲线在的切线斜率为

由点 Pn-1（an-1，0）向曲线引切线，切点为 Qn（an，0），

切线方程为：y-akn=kakn-1（x-an），过点 Pn-1（an-1，0），有

故数列｛an｝是以为首项，以为公比的等比数列.所以

（2）运用二项式定理证明：

例5给出下面的数表序列：

其中表（n=1，2，3…）有 n行，第 1 行的 n个数是1，3，5，…，2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，将结论推广到表n（n≥3），并证明.

（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为｛bn｝，

【解析】根据题设，分析“数图”中数字排列的规律，找出数量关系.对于（2）要充分运用等差数列的性质及裂项法求和解决问题.

【答案】（1）表 4 为

它的第 1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为 4，公比为 2 的等比数列.

将这一结论推广到表 n（n≥3），即表 n（n≥3）各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.证明如下：

首先：表 n（n≥3）的第 1 行 1，3，5，…，2n-1 是等差数列，其平均数是；其次，若表 n（n≥3）的第 k（1≤k≤n-1）行，a1，a2，…，an-k+1是等差数列，则第 k+1 行 a1+a2，a2+a3，…，an-k+an-k+1也是等差数列.

由等差数列的性质知，表n（n≥3）的第k行的平均数与第k+1行的平均数分别为，

由此可知，表n（n≥3）各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.

数形结合思想在数列问题中的运用，关键是挖掘图形的性质，通过由特殊到一般的归纳、猜想、证明等方法解决问题.