二次样条插值的MATLAB实现

于振廷

摘 要：二次样条插值在工程设计上被广泛应用，且具有计算简单、稳定性好、收敛快等特点。凭借定义讨论给定一阶导数值时的二次样条插值，并根据数据用MATLAB实现。

关键词：二次样条；插值；MATLAB

工程上的许多问题，为了显示其内在规律的数量关系，我们都可用数学函数的思想y=f（x）来表示。有些问题其计算量大且较为复杂，难以还原准确的f（x）。[ 1 ]因此我们引入差值概念，用分段多项式P（x）近似f（x）。

一、二次样条插值的特点

二次样条插值是一种低阶次的插值，与高阶次插值相比较，它具有计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现等特点，同时能保证在连接处的连续性及一阶导数的连续性。[ 2 ]

二、二次样条差值的定义

给定区间[a，b]，取n+1个点分别x0，x1，x2，…xn，另a=x0，b=xn，二次样条函数S（x）满足以下条件：

1）S（x）在每个区间间隔[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）上是一个二阶多项式；

2）S（x）在每一个内接点xi（i=1，2，…，n-1）上具有一阶的连续导数；

3）S（x）在所有节点满足S（xi）=yi（i=0，1，2，…，n）。

这样就可以确定3n-1个方程，并在[a，b]的两个端点处增加一个条件，这样就能确定一个特定的二次樣条插值函数。这个条件即边界条件，本文仅讨论给定初始端点的一阶导数值： （x0）= 0的情况。[ 3 ]

三、二次样条插值的计算

给定初始端点一阶导数值： （x0）= 0：[ 4 ]

在区间[x0，x1]内，已知S（x0）=y0，S（x1）=y1和 （x0）= 0，由Hermite插值公式可知：

S（x）= （x-x0）2+ 0（x-x0）+y0 （1）

其中hi=xi+1-xi（i=1，2，…，n-1），此时， 1= （x1）= - 0，同样加上S（x1）=y1，S（x2）=y2，两个条件可推导出区间[x1，x2]内的二次插值函数，以此类推得到区间内[xi，xi+1]（i=1，2，…，n-1）二次样条插值函数为：

S（x）= （x-xi）2+ i（x-xi）+yi（2）

而 i+1可由公式3递推得到：

i+1= （xi+1）= - i （3）

四、二次样条插值函数的MATLAB实现

我们以y=2sin（x）+1为例，在区间[0，π]上分为5段并计算x，y的数值，如表1，并计算得出其端点的一阶导数值 =2。

我们仅根据数据x，y， ，用MATLAB的方法计算二次样条插值，并画出其仿真图，如图1。

表1

clear all

syms z；

x=0：（1/5）*pi：pi；y=[1.0000 2.1756 2.9021 2.9021 2.1756 1.0000]；

y1（1，1）=2；n1=length（x）-1；

for i=1：1：n1；

A1=（y（1，i+1）-y（1，i）-（x（1，i+1）-x（1，i））*y1（1，i））/（x（1，i+1）-x（1，i））^2；A2=y1（1，i）；A3=y（1，i）；

y11（1，i）=A1；y12（1，i）=A2-2*A1*x（1，i）；y13（1，i）=A1*x（1，i）^2-A2*x（1，i）+A3；

y1（1，i+1）=2*（y（1，i+1）-y（1，i））/（x（1，i+1）-x（1，i））-y1（1，i）

end

for i=1：1：n1

ai=y11（1，i）；bi=y12（1，i）；ci=y13（1，i）；fi=ai*z.^2+bi*z+ci；ezplot（z，fi，[x（1，i），x（1，i+1）]）；

hold on；end

由图1可知二次样条插值可以很好的还原原函数。

五、结语

本文对二次样条插值进行介绍，并引用数据用MATLAB方法计算二次样条插值，并给出相应的程序以及仿真图。从结果上看二次样条插值计算简单，并可以很好的还原原函数。

参考文献：

[1] 李庆杨，王能超.数值分析[M].第五版.北京：清华大学出版社，2008.12：22.

[2] 许小勇，钟太勇.三次样条插值函数的构造与Matlab实现[J].自动测量与控制，2006，第25卷第11期：76-78.

[3] 李岳生.多点边值问题与样条插值[J].中国科学，1983，第二期：147-156.

[4] 刘为，高毅.二次样条插值研究[J].计算机与数学工程，2011，第3期：21-24.