旋转液滴法测界面张力的模型分析与应用

周泽宇　张宇

摘 要：在进行旋转液滴法测界面张力的实验过程中，在液滴体积小或者界面张力值大的情况下，提高转速不能达到仪器测试的条件要求。对旋转液滴法测界面张力的模型进行分析，首先给出了旋转液滴椭圆形态计算界面张力的求解模型，对参数的敏感性进行了分析的同时刻画了椭圆边界的形态特征；其次根据建立的模型求解过程形成的数据库，建立了求解旋转液滴椭圆形态计算界面张力值的图版方法和迭代算法；再次列举出了一个新的求解方法，最后对以上各种计算方法进行了实例应用。研究认为各种方法下，推荐对液滴长度和直径都进行测量。

关 键 词：旋转液滴；界面张力；椭圆形态；图版方法；迭代算法

中图分类号：TQ 021 文献标识码： A 文章編号： 1671-0460（2017）07-1412-04

Model Analysis and Application of Interfacial Tension

Measured by Rotating Droplet Method

ZHOU Ze-yu1， ZHANG Yu2

（1. Northeast Petroleum University， Heilongjiang Daqing 163316，China；

2. Daqing Oilfield Company Downhole Operation Branch， Heilongjiang Daqing 163000，China）

Abstract： In the process of measuring interfacial tension experiment with rotating liquid drop method， the improvement of speed cannot meet the requirements of the instrument test in the case of small drops or large interfacial tension. In this paper， the model of interfacial tension measurement by rotating droplet method was analyzed. Firstly， the solution model for computing interfacial tension of elliptic rotating liquid droplet was presented， the sensitivity of parameters was analyzed and the morphological characteristics of elliptic boundary were also described； secondly， the graphic method and iterative algorithm for computing interfacial tension of the rotational liquid drop with elliptic shape was established based on the database formed by the solving process of established model； finally， the above calculation methods were applied， a new solving method was presented. The research suggests that the measurements for the length and diameter of the droplets are recommended.

Key words： Rotating droplet； Interfacial tension； Oval shape； Graphic method； Iterative algorithms

液-液相间界面张力[1]是一种重要的化工基础数据，是油田三次采油提高采收率评价中一个重要的参数指标。测量界面张力[2-4]的方法滴体积法（滴重法）、挂环法、吊片法（Wilhemy平板法）、悬滴法、静滴法（躺滴法）、旋转液滴法及等密度法等七种，国内在测量表面活性剂的低或者超低界面张力时，通常采用美国产Texas-500型旋转滴界面张力仪[5，6]。

Texas-500型旋转滴界面张力仪，是在样品管C中充满高密度液体B，再加入少量低密度液体A，密闭后，装于旋滴仪上，开动机器，转轴携带液体以角速度自旋，在离心力、重力及界面张力作用下，低密度液体在高密度液体中形成一长球形或圆柱形液滴，液滴的形状由转速和界面张力决定，如图1。把液滴图像视作椭圆（本文称作拟椭圆），长轴（离心管轴向）直径记作L，短轴（离心管径向）直径记作D，那么：当L/D≥4时，只需读取D值。因此，在实验时，应该选取合适的转速，使得L/D≥4。此时，用下述方法测量界面张力。基本公式[7，8]：

（1）

式中： — 界面张力，N·m-1；

△ — 两相密度差，kg·m-3；

— 角速度，rad·s-1；

D — 液滴短轴直径，m。

然而，实际操作中由于注入液体体积的不确定性，以及旋转转速的高值限制，往往会出现小体积液滴在极高的转速情况下依然不能到达理论的求解要求[9]。此外，当界面张力很高时，旋转转速即使到达峰值也不能使测试情况达到理论测试要求[10-12]。基于以上两种情况，当确定旋转液滴在长度和直径的比值小于4时，虽然目前可以通过查表获取修正参数[13，14]，但是却存在数据空隙的情况，因此如何实现拟椭圆液体界面张力的精确求解[15]十分重要。本文基于PRINCEN提出的椭圆积分求解模型[16]，从而实现了以上情况下的界面张力的数值求解，进而总结了不同情况下求解界面张力的具体算法[17-19]。

1 符号说明（表1）

2 基于PRINCEN压力平衡方程的求解模型

2.1 模型的建立

1976年，PRINCEN建立了液滴压力平衡方程，对平衡方程进行变量替换，通过普通积分和不完全椭圆积分等方法，给出了液滴旋转界面最高点的坐标值的求解过程。

（1）控制方程

根据旋转液滴液-液接触面处的压力平衡，建立了液滴内部压力和外部压力之差等于拉普拉斯界面张力方程，得到了旋转液滴压力平衡方程，如下：

（2）

（2）边界条件

当Y=Y0时，即选点取在拟椭圆y方向接触面的最高点，即sinθ=1；當X=Y=0时，即选点取在拟椭圆最左侧坐标系中的原点，即q=1。

（3）初始条件

液滴的最左侧点取坐标系原点（0，0）处，如图1所示。

（4）模型的解

通过对的赋值，通过下面的公式求出Y0：

（3）

已知Y0的情况下求出X0：

（4）

2.2 模型的求解

模型的求解首先应假设一个值，然后需要计算若干主要参数值，这些参数值如下：

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

F（?1，k），E（?1，k）这两个参数需要利用MATLAB实现数据的计算。

3 模型的计算分析

这里假设注入某体积的液滴，通过MATLAB软件编程实现，用M文件进行程序的存储，执行文件，得到以下的分析结果。

（1）最高点坐标随的变化规律

以0.2为步长，研究的变化对最高点的位置的影响，如图2所示。

图2是最高点坐标的x0和y0值分别随着等步长的增加的变化趋势曲线。

由图2可知，随着的增加，最高点的坐标值变化幅度增加。根据的定义公式可知，受到转速ω和原点处的曲率半径的影响，均为正相关性，并且转速ω对其的影响更显著。

随着的增加，稳定情况下的原点处的曲率半径变小，因此上述的情况说明，转速的提高更有利于液滴的变形，在实际操作中，提高转速是实现界面张力测试的有效方式。

由图2可以看出，随着的增加，液滴x方向的拉伸幅度要大于y方向的压缩幅度，值从0增加到0.592 59时，拟椭圆最高点的x值增加了约0.2 cm值，而y值缩小了约0.1cm值。在高转速情况下，x和y的变化幅度大幅增加，如果转速继续上升，就演变成Vonnegut理论[20]的假设情况，并对界面张力进行近似求解。

（2）拟椭圆形态随的变化规律

为了实现对给定情况下，拟椭圆其它点的坐标的计算，需要对公式进行重新的整理和赋值。

由公式：

（11）

（12）

（13）

再利用公式（7）、（8）、（9）、（10）计算出新的q2、q3、?1、k、F（?1，k），E（?1，k）得到：

（14）

以的步长值为0.08，作不同情况下的液滴形状图，为了使图形清晰，只作（0，0）到（x0，y0）范围内的拟椭圆边界线。同时增加一条标准椭圆线，以某值为0.56，作以x0为长轴半长和y0为短轴半长的规则椭圆，如图3。

图3可以得出，随着（或者转速）的提高，越靠近椭圆中心的区域，拟椭圆受压缩的程度越大，而靠近坐标原点的区域内，拟椭圆的变形程度很小。而值为0.56时，液滴旋转稳定后的形态，与规则椭圆形状的对比可以得出，液滴的形状不是规则的椭圆，液体的边界线要向外突起，这主要是界面张力存在所产生的结果。

4 旋转液滴法测界面张力的应用

4.1 值的精确计算

为了实现长度和直径的比值小于4时界面张力的计算，对测量比值在给定的情况下，如何精确的确定的数值至关重要，因此本文对模型计算得到的数据库进行曲线作图，得到和x0/y0的关系曲线，也就是求的图版，如图4。

4.2 测试计算方法

（1）长度和直径的比值大于等于4

此情况下直接利用公式（1），测量液滴的直径，即可以算出界面张力值。

（2）长度和直径的比值小于4

依据本文提出的解法思路，首先测量液滴长度和直径，得到两者的比值，通过图版（图4）查到值的大致范围，再次计算3.2节中各中间参数变量值，最后带入到公式（4）得到X0，进而得到X0与Y0的比值，也就是x0和y0的比值，和测量结果进行对比，形成如下迭代算法流程，如图5。

5 结束语

本文提出了旋转液滴长度和直径的比值小于4时计算界面张力的算法流程，避免了实验操作中因体积的不确定性和转速的限制带来的计算障碍，完善了旋转液滴法测量和计算界面张力的方法。

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