圆周运动高考命题热点及相关问题的复习建议

2017-07-10沈阳市第二中学刘艳伦

辽宁招生考试 2017年5期

沈阳市第二中学　刘艳伦

圆周运动是高考关于曲线运动的一个典型模型，以圆周运动为载体可以很好地考查曲线运动、天体运动、静电场、磁场以及能量等问题。由于题目形式灵活多变，同学们尽管做了很多练习题但处理起来还是不太顺利。究其原因，多数同学的想法主要停留在题目的分类形式上，对内在的关联理解不够深入。接下来我们就一起来看看这些问题的本质，从而得出考题的重点及命题者的意图，实现更加高效地复习。

第一条线索：圆周运动公式结合牛顿运动定律。

圆周运动是曲线运动→曲线运动的速度矢量一定是变化的→曲线运动必然有加速度→加速度产生的原因是有合外力→合外力和加速度的关系是牛顿第二定律所阐述的内容，即F合=ma。

在匀速圆周运动中F合提供向心力，在变速圆周运动中F合沿半径方向的分力提供向心力。向心力有时是主动力提供，有时是被动力提供。

第二条线索：能量。通常单体使用动能定理，系统使用机械能守恒或能量守恒定律。

第三条线索：动量。动量守恒和动量定理。尤其是新的《考试大纲》把选修3-5列为必考内容后更要重视动量守恒和动量定理的应用。

很多情况都是三条线索相互结合，综合解决问题的。

我们先从一道教材的题目——碰钉子问题说起。

如图，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度摆下。经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请你利用向心力的知识解释这一现象。

为什么钉子越靠近小球，绳就越容易断？

设小球的质量为m，钉子A与小球的距离为r，小球从一定高度下落的过程中，重力势能转化为动能，此过程机械能守恒，通过最低点的速度设为v。小球通过最低点碰到钉子后做半径为r的圆周运动，绳子的拉力T和小球的重力mg的合力提供了向心力，即

由于碰钉子前后瞬间线速度不变，在m、v一定的情况下，r越小，T越大，绳子越容易断。

问题1.基本概念辨析——向心力、合力、拉力是一回事吗？

上述问题碰钉子前后线速度大小不变，半径r变小，所需向心力变大，绳子拉力变大，更易绷断。

但是这个情境中向心力并不是拉力。

例1如图所示，质量相等的小球A、B用两根相同的轻杆连接，在光滑水平面上绕O匀速转动时，OA杆对A球和AB杆对B球的拉力之比是多少？

【解析】设 OA、AB 段拉力分别为 T1、T2，每段杆长度均为r，

【点评】区分向心力和拉力。

例2小球下摆到达最低点之前的过程中，合力充当向心力吗?

【解析】在匀速圆周运动中F合提供向心力，在变速圆周运动中F合沿半径方向的分力提供向心力。

【点评】区分合力和向心力；区分匀速圆周运动和变速圆周运动。

高考链接：

（2016年新课标II卷16）小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点，

A.P球的速度一定大于Q球的速度

B.P球的动能一定小于Q球的动能

C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力

D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度

【答案】C

【点评】以圆周运动为载体结合机械能的知识，很好地考查了基本概念和基本方法。

问题2.碰钉子瞬间为什么是线速度不变而不是角速度不变？

力是改变物体运动状态的原因。碰撞瞬间绳子拉力及重力方向和小球线速度方向垂直，所以对线速度大小没有影响。根据v=ωr，由于r变小，所以角速度变大。

问题3.绳子绷紧时拉力和速度不垂直时怎么解释？

如下图所示，小球从与水平方向夹角30°位置由静止释放，①将先做自由落体运动，②到达对称点后绳子突然绷紧，使得沿绳子向外的速度分量损失，沿切线方向的速度分量保留下来，③然后继续向下摆动。

【点评】其中①③两个过程机械能守恒，比较简单。短暂过程②机械能不守恒，最容易出错。

例题如图所示，一个质量为m=2kg的小球在细绳牵引下在光滑水平的平板上以速率v=1.0m/s做匀速圆周运动，其半径r=30cm，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动。求：

（1）实现这一过渡所经历的时间；

（2）在新轨道上做匀速圆周运动时，小球旋转的角速度。

【解析】（1）放长绳子后，小球先做匀速直线运动，如图所示，设小球的位移为x，有：

（2）设：小球在新轨道上做匀速圆周运动的线速度为v1，新轨道的半径为R。

绳子伸长被拉直后只保留垂直于绳子方向的分速度：

v1=v·cos53°=0.6m/s

R=r+0.2=0.5m

ω=v1/R=1.2rad/s

【点评】绳子突然绷紧的瞬间是一个难点，沿绳子方向类似于完全非弹性碰撞，是机械能损失的瞬间。

高考链接：

（2016年海南卷17（2））如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动；碰撞前B的速度的大小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92×10-3s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400kg和mB=0.100kg，重力加速度大小g=9.80m/s2。

（i）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求h-v2直线斜率的理论值k0；

【解析】（i）设物块A和B碰撞后共同运动的速度为v′，由动量守恒定律有

在碰后A和B共同上升的过程中，由机械能守恒定律有

联立①②式得

由题意得

代入题给数据得

（ii）按照定义

由⑤⑥式和题给条件得

【点评】本题就是经典的冲击摆模型，把碰撞时的完全非弹性碰撞和碰撞完成后的机械能守恒以及竖直面内的圆周运动进行了有机的结合。只要弄清楚每一个阶段的处理方法，化整为零，即可迅速解决。

问题4.竖直面单轨道内侧小球为什么不能在最高点以速度零脱轨后自由落体？

当然实验演示是一个最为直观的方法，但是如果理论解释和实验结果完全吻合更能彰显物理的魅力，提高学生对物理的兴趣。

如图，在光滑的竖直圆形轨道内侧最低点给小球一个初速度，由于初速度的大小不同，可能会出现小球脱轨的现象。首先，脱轨不可能发生在水平线以下的下半个圆周，又根据对称性，只要能过最高点就能做完整的圆周运动。所以脱轨的位置只可能位于上升期的上四分之一圆周。取一点A，有

当T恰好为0时，就是脱轨的临界状态。

显然v是大于零的，也就是说脱轨时还有速度，脱轨后小球做斜上抛运动。

理解了这一点对于处理下面这类问题会有极大的帮助。

【点评】脱轨的临界条件是：弹力为零，仅由重力沿半径方向的分量提供向心力。

例题如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径等于h，如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球能再次到达h高度的是

【答案】AC

【点评】BD选项中的小球脱轨后都是做斜上抛运动，到达空中最高点时还有水平速度，即动能还不为零，由机械能守恒定律可知，重力势能必然小于初始位置，所以最大高度也小于h。

高考链接：

（2016年新课标Ⅱ卷25）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。

（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；

（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。

【解析】（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为

设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得

联立①②式，取M=m并代入题给数据得

若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足

设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得

联立③⑤式得

vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得

P落回到AB上的位置与B点之间的距离为

联立⑥⑦⑧式得

（2）为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知

要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有

联立①②[10][11]式得

【点评】该题很好地考查了通过最高点的条件和原路返回的条件。

问题5.绳子拉着小球碰到钉子后绳子拉力会突然变大，为什么会恰好变成需要的大小呢?

这应该从主动力和被动力来解释。

主动力的大小与方向由其本身的性质决定，与物体是否受其他的力的作用无关；与物体作何种性质的运动无关，如重力、电场力等。被动力则由主动力与物体的运动性质共同决定，如弹力、摩擦力等。它们通常要借助物理规律，根据物体的运动性质建立与主动力的关系才能确定其大小与方向。在进行分析时必须要考虑主动力和被动力的关系才能得到合乎真实物理规律的结论。简单地说主动力就是不管你需要多少我就给你这么多，而被动力就是在我能力范围内你要多少我给多少。

例题如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对两物块的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO′轴的距离为物块A到OO′轴的距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是

A.A、B物块受到的静摩擦力都是一直增大

B.A受到的静摩擦力是先增大后减小，B受到的静摩擦力一直增大

C.A受到的静摩擦力是先指向圆心后背离圆心，B受到的静摩擦力一直增大后保持不变

D.A受到的静摩擦力是先增大后减小又增大，B受到的静摩擦力一直增大后保持不变

【答案】CD

【解析】根据fm=mω2r可知当角速度逐渐增大时，B物体先达到最大静摩擦力，角速度继续增大，B物体靠绳子的拉力和最大静摩擦力提供向心力，角速度增大，拉力增大，则A物体的摩擦力减小，当拉力增大到一定程度，A物体所受的摩擦力减小到零后反向，角速度增大，A物体的摩擦力反向增大。所以A所受的摩擦力先增大后减小，又反向增大，方向先指向圆心，然后背离圆心，B物体的静摩擦力一直增大达到最大静摩擦力后不变。故A、B错误，C、D正确。

【点评】该题中的静摩擦力和绳子拉力都是被动力，随着运动状态的改变而被动地改变。

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（2014年新课标Ⅰ卷20）如图，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是

A.b一定比a先开始滑动

B.a、b所受的摩擦力始终相等

【答案】AC

【解析】小木块都随水平转盘做匀速圆周运动时，在发生相对滑动之前，角速度相等，静摩擦力提供向心力，即f静=mω2R，由于木块b的半径大，所以发生相对滑动前木块b的静摩擦力大，选项B错误。随着角速度的增大，当静摩擦力等于滑动摩擦力时木块开始滑动，则有f静=mω2R=kmg，代入两个木块的半径，小木块a开始滑动时的角速度，木块b开始滑动时的角速度，选项C正确。根据ωa＞ωb，所以木块b先开始滑动，选项A正确。当角速度，木块b已经滑动，但是，所以木块a达到临界状态，摩擦力还没有达到最大静摩擦力，选项D错误。

【点评】该题中的静摩擦力就是被动力的典型例子，在自己能力范围内按需提供。

我们可以用主动力和被动力的对比来理解绳球模型和杆球模型

绳球模型的特点：

①轻绳的质量和重力不计；

②可以任意弯曲，伸长形变不计，只能产生和承受沿绳方向的拉力，在可承受限度内按需提供；

③轻绳拉力的变化不需要时间，具有突变性。

绳球模型在圆周运动中的应用：

小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题

①临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：

杆球模型的特点：

①轻杆的质量和重力忽略不计；

②任意方向的形变不计，但能产生和承受各方向的拉力和压力，在可承受限度内按需提供；

③轻杆拉力和压力的变化不需要时间，也具有突变性。

杆球模型在圆周运动中的应用：

轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况

①小球能通过最高点的临界条件：v=0，N=mg（N为支持力）

在天体运动中，分析方法也是类似的。

高考链接：

（2016年天津卷3）我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是

A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

【答案】C

【解析】若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，由于向心力变大，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，由于向心力变小，故空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间实验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，从而不能实现对接，选项D错误。

【点评】该题中的万有引力就是主动力，卫星若要想做圆周运动，就需要调节成合适的速度以适应该位置的万有引力。

问题6.圆周运动的对称性和不对称性

虽然仅从轨迹形状上来看圆周运动绝对是对称的运动，但是如果有附加条件的话，可能就会出现力、速度、做功、时间等一些不对称的现象。

高考链接：

（2015年新课标Ⅰ卷17）如图，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则

【答案】C

【解析】根据动能定理可得P点的动能Ek=mgR，经过N点时，半径方向的合力提供向心力，可得，所以N点动能为，从P点到N点根据动能定理可得mgR，即摩擦力做功，质点运动过程，半径方向的合力提供向心力，即，根据轨迹左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功导致右半部分的速度小，轨道弹力变小，滑动摩擦力f=μFN变小，所以摩擦力做功变小，那么从N到Q，根据动能定理，Q点动能′，由于，所以Q点的速度仍没有减小到0，还会继续向上运动一段距离，故选项C正确。

【点评】不对称的原因就是摩擦力做负功导致速度不对称进而导致被动力即弹力的不对称，影响了摩擦力做功。

高考链接：

（2015年福建卷17）如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则