数学概念和定理的教学札记

曲秀英

[摘 要] 数学概念和定理的教学是高等数学教学的第一步，也是最重要的一步。因此数学概念和定理如何教学，是值得深入研究的一个课题。

[关 键 词] 抓关键词；实例引入；分解剖析；比较厘清

[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）25-0176-01

数学概念和定理是数学知识结构的基础，是数学教师完成知识传授的第一步，是学生数学知识系统的基石。如果这一关把握不好，则其他教学内容就成了无源之水，无本之木。对于这一点，每一个数学教师都有充分的认识。因此，如何讲解才能使学生正确迅速地掌握，就成为教师课堂教学的一个课题。本文依据自己的教学经验，将概念和定理的教学划分为四大类，并举例说明：

一、抓关键词

某些概念和定理叙述简单，比较容易理解，学生自己看完就能明白。教师要做的是提醒学生抓住关键词，理解寓意，将其记住或举例说明即可。这样的概念和定理有很多，在此就不一一列举了。

二、实例引入

数学概念的产生和建立是数学发展的基础和前提，数学研究中概念的建立要涉及其合理性和有用性，而教学过程中概念的建立则不涉及这一问题。教师只需将前人建立的概念讲授给学生即可，但有些概念还必须要讲清楚其建立过程。

通常这些概念的建立过程来源于具体实例，因此我们要将概念的引入过程讲好，从而激发学生的兴趣，并使之成为教学过程中生动有趣的部分。一般可以这样进行：提出具体问题，启发学生研究该问题和以前知识的联系和不同，不同点应该如何解决？最后加以总结。

例，定积分的概念：求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程。

分析：要求曲边梯形的面积问题，梯形的一边是弯曲的，如何解决？考虑到旧知识——矩形面积公式，若是曲边梯形的曲边变成直边，则问题迎刃而解。因此引导学生思考这个问题：当曲线段非常短时，将其近似地看作直线段。从这一点出发，我们采用分割、近似、求和、取极限来解决这一实际问题。再同样分析变速直线的路程的解决方法，我们将共性的问题总结出来，撇掉实际意义，将其升华为一般概念。这样，一个新的概念——定积分就被引入了。

三、分解剖析

有些概念，非常抽象，教师若是泛泛地讲解，学生很难理解，从而导致理解和应用上的困难，这时，可采用分解剖析法来讲解。

例1：数列极限的“ε-N”定义

定义：给定数列{xn}，a是一个常数。？坌ε>0，？埚正整数N，当n>N时，有xn-a<ε恒成立，则称当n→∞时，数列{xn}的极限为a。

分解剖析：（1）“？坌ε>0，”ε具有任意性和固定性。它是刻画数列{xn}与常数a接近程度的，ε可以任意小。但xn接近于a是逐步实现的，即对于极限的某个时刻来说，ε又具有相对的固定性。ε一经给出，就暂时固定下来，用于求出N。

（2）“？埚正整数N”表明N的存在性和不唯一性。N是用于标志数列{xn}接近常数a的阶段的。N一定存在。

（3）“当n>N时，有xn-a<ε恒成立”是指数列中第N项以后的所有项与常数a之间的距离都小于前述的ε。

（4）由（3）找到了求N的方法。即解不等式，求出n，取n后面的任意正整数作为N。[1]

（5）从反面分析，可以举反例说明。例如定义中缺少“任意”一词，定义不成立；去掉中绝对值符号也不成立。

四、比较厘清

对于易混淆的概念和定理，這时首先要比较，指出相同点和不同点，抓住其本质。其次要厘清，主要是举一些相似的例子，让学生互相讨论。这样既调动了学生的学习积极性，还对概念和定理的理解和掌握起到重要作用。

例1：定理：有界函数和无穷小的乘积仍然是无穷小和第一个重要极限公式。

比较：相同点——两者皆含有三角函数；

不同点——第一个重要公式必须是0/0型未定式。

例2：牛顿莱布尼兹公式和无界函数广义积分

比较：相同点——外形相同；

不同点——一个被积函数在闭区间上连续，另一个被积函数在闭区间上有无穷间断点。

教师讲解概念和定理的目的，是要让学生知其然更知其所以然，会灵活掌握，举一反三、融会贯通，具有创造性，所以根据不同情况选择相应的讲授方法，使得学生能够更好地学会、记住这些概念和定理，为能一步学习打下坚实的基础。

参考文献：

彭辉.高等数学同步辅导（配同济五版·上、下册合订）[M].新华出版社，2012-07.