基于分布函数法求解连续型随机变量函数的分布教学设计与探索

卜维春　焦成文　周瑞芳

[摘 要] 概率论与数理统计课程中，连续型随机变量函数的分布是教学中的重点和难点，其主要的求解方法是分布函数法，探讨了基于此方法求解连续型随机变量函数分布的教学设计与探索。

[关 键 词] 随机变量函数；分布函数法；教学设计

[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）32-0050-01

等线概率论与数理统计课程中连续型随机变量函数的分布是教学中的重点和难点，而此知识点频繁出现在实际问题和理论研究中[1]。结合多年的教学实践，学生普遍反映，概念难以理解，方法难以掌握，教学效果并不理想[2]，为了提高教学质量，对该知识点的教学设计和方法作如下的思考和探索。教学过程设计分为三个模块：单臂车和电压视频问题导入、阐述相关定义及理论、给出分布函数法的具体求解步骤的理论讲解。

一、提出问题

（一）单臂车视频问题描述：单臂车从A地到B地，A地到B地距离为180公里，速度V服从[30，60]的均匀分布。试求：所用时间T=180/V的概率密度函数？

（二）电压视频问题描述：已知t=t0时刻噪声电压U的分布，求：功率W=U2/R的分布？

实例中若X是随机变量，Y=g（X）是普通的实函数，则Y=g（X）是X的函数。探讨：（1）实函数Y是随机变量吗？（2）如果是随机变量，那么，随机变量Y的分布与X的分布有什么关系？（3）如何由已知随机变量X的分布，求其对应函数Y=g（X）的分布？

二、分析问题

（一）随机变量函数

定义：设g（X）是连续函数，X是一个随机变量，那么Y=g（X）作为X的函数也是一个随机变量，称Y=g（X）为随机变量X的函数。

注：（1）g（x）是自变量x在其定义域内的函数，随机变量X的函数g（x）是指这样的一个随机变量Y：当X取值x时，它取值Y=g（X），记作Y=g（X）；（2）从函数角度分析随机变量X，可以判断其是基本事件的函数，从而可知随机变量X的函数Y是基本事件的复合函数；（3）随机变量X是连续型随机变量，但不能确定随机变量函数Y一定连续。

（二）分布函数

分布函数在X点处取值的几何意义是随机变量X落入区间（-∞，x]的概率，它的本質是研究随机变量在某区间取值时对应的概率。

（三）连续型随机变量函数的分布

学生在学习分布函数法时产生的困惑可以从以下几方面剖析：在概念方面，连续型随机变量函数概念不易理解；在计算方面，需要用高等数学中的微积分知识；在教学过程中，学生对“分布”不理解，分布其实就是密度函数或者分布函数。

连续型随机变量函数的分布是教材的经典内容之一[3]。公式法和分布函数法是其分布的两种方法，公式法对随机变量函数的单调性要求比较苛刻，而分布函数法不仅求解过程对随机变量函数是否单调性没有严格要求，而且分布函数法也是公式法理论证明的推导方法，所以，分布函数法是目前理论研究求解连续型随机变量函数的分布的主要方法。

三、分布函数法

运用分布函数法求解连续型随机变量函数的分布时，关键是要将Y的分布与X的分布建立起某种联系，当X的分布已知，求Y的分布具体步骤如下：

（1）确定随机变量Y的取值范围R（Y），随机变量X的取值范围已知，结合关系Y=g（X）式可确定的随机变量函数Y取值范围R（Y）。

（2）在随机变量Y的取值范围R（Y）内，求出Y的分布函数：FY（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}=f（x）dx，步骤中，Y是随机变量，其分布函数是FY（y）在R（Y）之外的取值为0或1。

（3）在随机变量Y的取值范围R（Y）内，求出Y密度函数：fY（y）=，分布函数FY（y）在R（Y）之外求导值为0。

（4）在定义域（-∞，+∞）上求出Y密度函数：fY（y）=F′Y（y），y∈R（Y）0，其他。

四、小结

随机变量的函数分布的求解用公式法具有局限性，用分布函数法求密度函数应用很广泛。本文的教学首先运用视频、动画等相结合的教学手段，由单臂车和电压视频导入提出问题，激起学生的学习兴趣，进而讲解分布函数法的具体求解步骤，使学生明白和领悟分布函数法求解连续型随机变量步骤及相关知识，激发了学生的求知欲望和对概率统计学习的兴趣。因此，为提高连续型随机变量函数的分布的教学效果，对连续型随机变量函数的分布的教学设计和教学方法仍需不断地探索和研究。

参考文献：

[1]郭家勇.随机变量分布函数的连续性的教学探讨[J].科技创新导报，2011（5）.

[2]刘淼，周鑫.连续型随机变量函数分布的理论研究[J].伊利师范学院学报，2007（4）.

[3]李寿贵，余胜春.概率论与数理统计[M].2版.北京：科学出版社，2011.