试分析“构造法”在高中数学解题中的运用

刘玲

摘 要：在运用构造法的解题过程中，学生其实主要就是要实现“未知量”与“已知量”之间的转化，然后获取更多的有利于解题的条件，从而更为快速地解决难题。因而教师在介绍“构造法”时，会着重突出它的核心思想——转化相关条件，只有构造出与原问题相关的辅助问题，才能探索出解题的奥妙，进而逐步发现构造法解题的优势，久而久之，学生就会将此种解题方法的思想牢记于心，自然也就为自己解题的正确率增设了一道屏障。本文主要从三个反面分析了在高中数学解题中如何巧妙运用“构造法”的方法达成目的，并结合典型的教学案例呼吁高中数学教师不能忽略这一重要解题思想。

关键词：构造法；高中数学；解题

全新的课程教育改革对高中生的学习状态提出了明确的要求：基于一定量的数学题之上，学生要学会从另一个角度思考并解决问题。这一明令的潜在要求就是在数学学习中，高中生需要掌握转化思维的解题能力，将一个问题的共通性质串联起来，这样更有利于解题的全面性与规范性。出于提高学生学习数学兴趣的目标，构造法恰好能够较好地应对这一问题。数学题目原先一定是枯燥的，因为它缺乏一定的问题情境，在进行一番构造之后，学生可以列出相应的函数方程或不等式，或者画出对应的图形，而后才能在此基础之上继续学习活动，这一过程非常考验学生的观察能力、分析能力及创造能力，与现代素质教育的要求完全吻合。

一、依据已知条件构造相关函数

简而言之，“构造法”就是指根据题目中的已知条件或结论，再结合其特有的性质进而构造出满足已知条件的数学模型。在学习《解不等式》这一内容时，学生通常会选择直接法来解题，但是直接法解题的过程又来得很烦琐，中间也易导致错误，所以很多学生在解多元不等式时总是无法静下心来，导致错误率激增。自从“构造法”创造出来，数学教师将其运用到例题讲解中之后，学生的正确率明显有了上升的趋势。因为“不等式”问题通常建立在函数单调性的基础之上，因此除去直接证明不等式的成立，还可以通过构造函数的方法证明其单调性，然后通过画图来解释结论的正确性。在《不等式》问题中，构造法的突出效果就是简洁明了，具有较大的灵活性与技巧性，但同时构造对应的函数也是具有一定难度的，因为不等式的右边一定要最简便，正常情况下为1，只有这样才能够通过画图来判断不等式最终是否成立。

例如，已知x，y，z均属于区间（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。这是一道含有三个变元的不等式证明题，如果高中生采用直接证明法的话会出现解到一半无法继续的问题，因此我们可以采取构造法解决问题。

证明：先构造一个函数：f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1）。然后针对这一函数进行分析，给出以下证明过程：因为y，z∈（0，1），所以f（0）=yz-y-z+1>0恒成立， f（1）=（y+z-1）+（yz-y-z+1）>0也恒成立，而易得f（x）就是一个单调递增的一次函数，它所得的图线就是一条直线。所以综上所述，f（x）>0恒成立，从而不等式恒成立，整理可得出结论：x（1-y）+y（1-z）+x（1-x）<1。

二、根据等量关系构造方程式

对于比较复杂的数学应用题，一定会运用到自变量与因变量这一概念，因此也可以根據需要结合有利的条件进行思路框架的设计。无论是“一元二次方程”还是“二元二次方程”，都是为解决未知量的值服务的，所以在遇到具有定量关系式的题目时，我们可以利用构造方程式的方法来解决问题。

例如，在学习《一元二次方程》的相关内容时，商店里的某商品进价为50元，要是按50元的单价出售可以卖出400台，每涨1元，销售量就会少10台，问价格为多少时利润最大？遇到这种题目时，如果不借助设变量的话是很难解决的。因此我们可以设利润为W，设涨价x元，可以列出一下方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x。由此可得一个关于x的方程，然后求得其对称轴，得出最大利润的取值x即可。

三、按照题目要求构造平面图形

一般而言，高中数学中的代数问题如果单单从代数这一角度来寻求解题的方法，学生是很难找到解题的突破口的，往往都比较困难或者过程很复杂。数学解题思想中，“数形结合”的方法也尤为重要。所谓数形结合，就是要求学生能够把数学代数问题将平面图形或者空间立体图形结合起来，在脑海中构建出相应的数学模型，然后在该图形的基础之上解题。这样通常都能增加问题的直观程度，让学生的解题思路更为清晰，从而答题过程中取得事半功倍的佳绩。

例如，在解答上述那道不等式题目时，不仅可以运用构造函数的方法解决，也可以利用构造平面图形的方法解决，虽然这类解题方法不易叙述，但是却更能直观地标明不等式的正确性，因此也是一种非常有效的解题方法。在解题时，我们可以构造三边相等，长度为1的等边三角形△ABC，D，E，F分别为AB，BC，AC边上的三点，设BD长度为x，CE长度为y，AF长度为z，然后通过三角形的面积公式S=底乘以高除以2，求得各三角形的形状，然后两两相加，比较出不等式的答案。构造法通常都能打破常规的解题方式，给学生带来一片崭新的天地，便于学生精巧、便捷地解答，以达训练解题能力的目的。

四、结语

“构造法”给高中生数学解题提供了很大的便利，它的核心解题思想着重突出了“他山之石，可以攻玉”的特点，因此当学生看到一道数学题目之后无从下手时，不妨首先想想构造法可不可以解决。不难发现，在用构造法解题的过程中，问题会变得迎刃而解，且方法巧妙，引人入胜。因此在高中数学中，教师要将“构造法”归为教学的一大重点，注重对高中生解题方法中“构造意识”的建立。其实构造法也是切换问题形式的方式之一，这类解题方法考验的是学生的联想想象、另辟蹊径以及换化条件的能力，若学生能够将构造法运用得出神入化，就证明他们已经具备了基本的创新意识与探究意识，智力也得到了一定开发。

参考文献：

1.耿燕.高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].语数外学习：数学教育，2013，02.

2.德吉.试论高中数学解题中运用构造法的措施[J].西藏科技，2015，03.

（作者单位：湖北省襄阳东风中学）