浅谈与抛物线焦点弦和切线有关的一些性质

区艳群

（华南师范大学，广东广州，510000）

摘 要：对抛物线焦点弦和切线的部分性质进行探究，归纳出6个性质和两个推论，主要从几何的角度进行证明，结合图象，直观形象。

关键词：抛物线 焦点弦 切线 性质

有关抛物线焦点弦的性质是高考的考察热点。下面对与抛物线的焦点弦和切线有关的部分性质进行探究。

线段AB是抛物线y2=2px（p>0）的任一焦点弦，如图1所示，其中A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0，点F是抛物线的焦

点。过点A作x轴的平行线与准线l：x=-p/2相交于点C，过点B作x轴的平行线与准线l：x=-p/2相交于点D，过点A作抛物

线的切线l1，过点B作抛物线的切线l2，准线l、切线l1和切线l2相交于点E，连接EF、CF、DF，其中CF和AE相交于点M，DF和AE相交于点N。

性质1：在图1中，四边形ACEF和四边形BDEF都是筝形。

证明：由抛物线的光学性质和对顶角相等，可得∠CAE=∠FAE。

由抛物线的定义，可得AC=AF。

又AE=AE，

∴△ACE≌△AFE， （1）

∴CE=FE， （2）

∵两组邻边分别相等的四边形是筝形，

∴四边形ACEF是筝形。

同理，可得△BFE≌△BDE， （3）

则有BF=BD，DE=FE （4），

∴四边形BDEF都是筝形。

性质2：点E是线段CD的中点。

证明：由（2）、（4）可得，CE=FE=DE，

∴点E是线段CD的中点。

性质3：EF⊥AB.

证明：由（1）得，∠ACE=∠AFE。

∵准线l与x轴垂直，直线AC与x轴平行，

∴准线l与直线AC垂直，

∴∠ACE=90°，

∴∠AFE=90°，

∴EF⊥AB.

性质4：切线l1与切线l2垂直于点E，即AE⊥EB。

证明：由（1）得，∠AEC=∠BEF。

由（3）得，∠BEF=∠BED。

又∠AEC+∠AEF+∠BEF+∠BED=180°，

∴∠AEB=∠AEF+∠BEF=90° （5）

∴AE⊥EB，即切线l1与切线l2垂直于点E。

性质5：△AEF～△EBF。

证明：由性质3可知，EF⊥AB.

∴∠AFE=∠AFE=90°

∴△AFE中，∠AEF+∠EAF=90°，

又由（5）可知，∠AEF+∠BEF=90°，

∴∠EAF=∠BEF，

∴△AEF～△EBF。

性质6：四边形EMFN是矩形。

证明：由性质1可知，四边形ACEF和四边形堕都是筝形。

∴CF⊥AE，DE⊥EB，

∴∠EMF=∠ENF=90°。

由性质4可知，AE⊥EB，

∴∠AEB=90°。

∵有三个角是直角的四边形是矩形，

∴四边形EMFN是矩形。

推论1：CF⊥FD。

推论2：DF∥l1，CF∥l2。

参考文獻

[1]孙海斌.关于抛物线焦点弦的一个性质[J].宁波教育学院学报.2010，12（6）：129-130.

[2]折军飞.抛物线焦点弦的九条性质及其应用[J].西北成人教育学报.2012.6：119-121.