具有负系数的一类螺旋解析函数

周海燕，何 涛

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

具有负系数的一类螺旋解析函数

周海燕，何 涛

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

本文利用从属关系定义了一类负系数的螺旋解析函数P(β,A,B),讨论了该类中函数的系数估计,偏差定理和封闭性质.

螺旋解析函数；从属关系；系数估计；偏差定理；封闭定理

1 引言

令

显然T⊂S⊂A.

设f(z),g(z)在D内解析,如果存在D内解析函数ω(z),满足ω(0)=0,|ω(z)|＜1,使得f(z)=g(ω(z))(z∈D),则称f(z)从属于g(z),记为f(z)≺g(z)[1].

利用上述从属关系,我们定义如下螺旋解析函数类:

定义1 设-1≤B＜A≤1,-1≤B≤0,-π＜β＜π 2 2 ,若函数f(z)∈R满足条件

则称f(z)∈P(β,A,B).

由定义1和从属关系可知,f(z)∈P(β,A,B)当且仅当存在D中的解析函数w(z),满足w(0)=0,|w(z)|＜1,使得

而由（2）式,我们不难得到

本文中,我们主要讨论上述螺旋解析函数类P(β,A,B)的一些性质,如系数估计、偏差定理、封闭定理等.

2 主要结果

证明 先证充分性.令|z|=1,则

而由（4）式,我们可得

于是,由最大模原理知,f(z)∈P(β,A,B).

其次,证明必要性.令

因为|Rez|≤|z|,对所有的z成立.所以我们有

如果取函数

则能达到精确值.证毕.

定理2 若f(z)∈P(β,A,B),则对于|z|=r(0≤r＜1),有

因此

综上,有（5）式成立.

如果取函数

则能达到精确值.证毕.

知

而

再利用定理1,即得g(z)∈P(β,A,B).证毕.

其中

证明 设

则

因此由定理1可知,f(z)∈P(β,A,B).

另一方面,设f(z)∈P(β,A,B),则由定理1, 有

令

证毕.

〔1〕汤获,李书海,周海燕.线性算子与微分从属和微分超从属[M].科学出版社,2016.

O174.51

A

1673-260X（2017）05-0004-02

2016-12-22

国家自然科学基金项目(11561001)；内蒙古自然科学基金项目(2014MS0101)