滑动轴承承载量系数曲面拟合的高效实现

李玉龙， 钟 飞， 文昌明

(成都大学 机械工程学院， 四川 成都 610106)



滑动轴承承载量系数曲面拟合的高效实现

李玉龙， 钟 飞， 文昌明

(成都大学 机械工程学院， 四川 成都 610106)

为满足滑动轴承优化设计对承载量系数拟合方程之需要，结合MATLAB的拟合功能，将有限宽轴承的承载量系数的数据表，划分为4个子数据表，针对第1个子数据表，采用拟合工具及拟合命令分别进行拟合，并就拟合误差进行比较.结果表明：拟合工具的拟合误差高达600%，不能用于承载量系数的曲面拟合；拟合命令的拟合误差小于1%，符合工程实际需要；由拟合误差中出现的奇异点，可有效判断出原始数据中的错误之处等.所提供的3个拟合命令和拟合系数，可为滑动轴承优化设计所直接采用，也为其他工程曲面的拟合提供一种高效的实现方法.

滑动轴承；承载量系数；曲面拟合；多项式系数；MATLAB

0 引 言

滑动轴承广泛应用于各种旋转机械中，例如齿轮泵，其润滑性能对旋转机械的稳定性、安全性以及经济性起着非常重要的作用[1-4].其中，承载量系数是基于雷诺方程的表征滑动轴承承载能力的一个无量纲量参数的多重积分式.由于该积分式非常困难，目前多采用数值积分的方法进行计算，并制作成相应的线图或表格供设计应用[5].随着现代机械向大型化、高速化方向的发展，滑动轴承的润滑性能的分析和优化也越来越重要[6].而在滑动轴承润滑性能的优化设计中，不可避免地会涉及到承载量系数的运用：一种方法是直接在优化模型中内嵌承载量系数的数值积分，但其效率低且计算速度慢；另一种方法是采用最小二乘法、回归方程、NURBS曲面方程等拟合方法[7-8]，首先得到承载量系数的曲面拟合方程，然后供优化模型调用.但这些方法的理论性相对较强，不便于工程技术人员直接采用.对此，本研究拟就承载量系数的曲面拟合的实现做进一步深入分析.

1 有限宽承载量系数

承载量系数是表征轴承承载能力的一个无量纲参数.对于一个具体的轴承来说，在一定的外载荷作用下，轴颈将平衡在轴承中某个确定位置(一定的偏心距、一定的偏位角)，即处于稳定工作状态.当外载荷改变时，轴颈又将迁移到新的平衡位置.所以说，承载量系数是轴颈在轴承中位置的函数，取决于轴承的包角(即入油口和出油口所包围轴颈的夹角)、偏心率γ和宽径比φ=B/d.其中，B为轴宽，d为轴直径.

若轴承是在非承载区内进行无压力供油，且设液体动压力是在轴颈与轴承衬的180 °弧内产生时，则不同偏心率γ和宽径比φ的承载量系数值如表1所示[9].同时，考虑到轴承的实际工况，将γ∈[0.3，0.925]和φ∈[0.5，2]的承载量系数值作为拟合的原始数据.

表1 有限宽轴承的承载量系数表

2 原始数据的拟合分区

MATLAB作为一款用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的计算语言和交互式环境的工具，在数值计算方面得到广泛应用.目前，MATLAB软件能够提供最高阶次为5的多项曲面式拟合功能.不同阶次拟合所需的原始数据点自然不同，例如，5×5多项式拟合至少需要21数据点，4×4至少需要15数据点，3×3 至少需要10数据点，2×2至少需要6数据点.

本研究拟采用5×5多项式的曲面拟合方法，为此，将表1中γ在0.3～0.925和φ在0.5～2的原始数据，以γ=0.7和φ=1作为分界点，分割为(1)、(2)、(3)、(4)的4个子表.其中，子表(1)，γ∈[0.3，0.7]和φ∈[0.5，1]；子表(2)，γ∈[0.7，0.925]和φ∈[0.5，1]；子表(3)，γ∈[0.3，0.7]和φ∈[1，2]；子表(4)，γ∈[0.7，0.925]和φ∈[1，2].那么，每一子表下的承载量系数拟合多项式，可表示为，

Cfit(φ,γ)

=p00+p10φ+p01γ+p20φ2+p11φγ+ p02γ2+p30φ3+p21φ2γ+p12φγ2+ p03γ3+p40φ4+p31φ3γ+p22φ2γ2+ p13φγ3+p04γ4+p50φ5+p41φ4γ+p32φ3γ2+ p23φ2γ3+p14φγ4+p05γ5

(1)

为便于原始数据导入MATLAB软件中，首先将4个子表(1)、(2)、(3)、(4)中数据在Excel软件中建立出相应的数据表.

以子表(1)为例，其对应的数据表如图1所示，文件名设为Sub1.其中，A列为φ，B列为γ，C列为承载量系数的原始数据Cact.

图1 子表(1)的承载量系数Excel表

3 拟合工具的失败拟合

在MATLAB的主页中，依据“导入数据→Sub1→进入导入窗口→导入所选内容→导入数据"，则生成VarName1～VarName3共3组36×1数组.在MATLAB应用程序中，依据“CurveFitting→CurveFittingTool→VarName1(Xdata)→VarName2(Ydata)→VarName3(Zdata)→Polynomial→DegreeX：5Y：5”，则在Results窗口中显示出对应于95%置信度的多项式拟合方程式，其中，系数如表2所示.定义拟合误差为，

η=(Cfit-Cact)/Cact×100%

(2)

式中，η为拟合误差百分比；Cact为表1子表(1)中的原始数据值；Cfit为由式(1)计算出的对应拟合值.

表2 子表(1)的Curve Fitting拟合多项式系数表

对应于表1中36个原始数据下的拟合误差，如图2所示.结果显示，误差很大，说明拟合失败.

图2FittingTool的拟合误差率

4 拟合命令的正确拟合

由于直接采用MATLAB拟合工具不能得到正确的拟合多项式，本研究拟采用拟合命令的方式来解决该问题，具体步骤为：

首先，执行如式(3)所示的命令语句，获取承载量系数的多项式拟合曲面，

Poly-surface=fit([VarName1,VarName2],VarName3,′poly55′)

(3)

其次，执行如式(4)所示的命令语句，获取拟合多项式的系数,结果如表3所示.

P=coeffvalues(Poly-surface)

(4)

最后，执行如式(5)所示的命令语句，计算36个相应的拟合值，其拟合误差如图3所示.

Cfit=feval(Poly-surface, [VarName1,VarName2])

(5)

图3 Fitting Command的拟合误差率

从图3可发现，对应于γ=0.4、φ=0.6、Cact=0.238的拟合误差接近10%，这与95%的拟合置信度相违背，为一奇异点.经检查，发现原始的0.238数据有误，应该为0.283[5].

5 承载量系数的曲面拟合

在表1中，将γ=0.4、φ=0.6时的Cact=0.238修改为0.283，并依照以上的命令拟合方式，依序执行子表(1)～(4)多项式拟合的4组系数，结果如表4所示，承载量系数的拟合误差如图4所示.由表4及图4可知，所有原始数据点的拟合误差均小于1%，说明拟合精度相当高，完全符合工程实际需要.

图4 承载量系数的拟合误差

6 结 论

采用MATLAB拟合工具的拟合误差高达600%，不能直接用于承载量系数的曲面拟合.对此，本研究采用MATLAB拟合命令的拟合误差小于1%，精度相当高，符合工程实际需要，同时，由拟合误差中的奇异点，还能有效判断出原始数据中的错误之处.

[1]刘维雄.滑块轴承加速阶段下润滑性能的理论仿真与实验研究[D].太原：中北大学，2015.

[2]米菲.活塞和曲轴轴承润滑的数值仿真[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2008.

[3]Fiebig W,Korzyb M.Vibrationanddynamicloadsinexternalgearpumps[J].Arch Civil Mech Eng,2015,15(3):680-688.

[4]何存兴.液压元件[M].北京:机械工业出版社,1982.

[5]《机械设计手册》编委会.机械设计手册——滑动轴承[M].北京：机械工业出版社,2007.

[6]王风斌.滑动轴承润滑特性数值分析及优化设计研究[D].杭州：浙江大学，2011.

[7]霍晓程,李小平.用最小二乘法拟合曲面方程[J].赤峰学院学报(自然科学版),2009,25(9):11-13.

[8]梁忠伟,马正元,任建民.逆向工程中自由曲面测量规划与重建研究[J].沈阳工业大学学报,2006,28(1):11-13.

[9]Liyue.径向滑动轴承的几何关系和承载量系数[EB/OL].[2013-09-11].http://www.iw168.cn/jixiesheji/jixiesheji/3705/.

Effective Realization of Surface Fitting of Sliding Bearing Capacity Coefficient

LIYulong,ZHONGFei,WENChangming

(School of Mechanical Engineering, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

Fitted equation of bearing capacity coefficient is needed in the optimization design of sliding bearing.With the strong fitting function of MATLAB software，the data table of bearing capacity coefficient of the finite sliding bearing is divided into four sub-data tables. As for the first sub-data table,it is fitted by fitting tool and fitting command and then their fitting error percentage is compared.The results show that the fitting error percentage from fitting tool is as high as 600%,and thus it cann’t be used for the curved surface fitting of bearing capacity coefficient;the fitting error percentage from fitting command is as low as 1%,which is in accordance with the actual engineering demands，so it can be used for the curved surface fitting of bearing capacity coefficient;when singular points appear in fitting error percentage,the wrong data points can be effectively picked out from raw mass data.The three fitting commands and the fitting coefficient provided by sub-data tables can be directly used for sliding bearing optimization design,and provide references for a high-efficient fitting method for other curved surface fitting.

sliding bearing;bearing capacity coefficient;curved surface fitting;polynomial coefficients;MATLAB software

1004-5422(2017)02-0183-04

2017-03-19.

四川省教育厅自然科学重点课题(16ZA0382)资助项目.

李玉龙(1968 — )， 男， 博士， 教授， 从事齿轮泵理论与现代设计方法研究.

TH133.31

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