指数形超声变幅杆放大理论分析

何 涛，陈锡侯

(1.遵义职业技术学院 机电与信息工程系， 贵州 遵义 563000；2.重庆理工大学 机械检测技术与装备教育部工程研究中心， 重庆 400054)



指数形超声变幅杆放大理论分析

何 涛1，陈锡侯2

(1.遵义职业技术学院 机电与信息工程系， 贵州 遵义 563000；2.重庆理工大学 机械检测技术与装备教育部工程研究中心， 重庆 400054)

采用微元法建立指数形变幅杆的波动方程，分析连续纵振动的两种边界条件，结合边界条件和分离变量法求解指数形变幅杆的波动方程，得到变幅杆在纵向的位移函数关系表达式，进而得到指数形变幅杆的放大倍数。为研究变幅杆几何尺寸和振动频率对放大倍数影响，选择控制变量法对指数形变幅杆的放大倍数进行分析，结果表明：指数形变幅杆放大倍数随其长度的增大而减小，随其大小端半径之比成近似的线性关系，振动频率等于固有频率时放大倍数达到最大。

变幅杆；放大倍数；边界条件；分离变量法

变幅杆是超声波加工装置的主要组成部件，其主要作用是把机械振动的质点位移或速度放大，或者将超声能量集中在较小的面积[1-2]。在工作时，超声波引起变幅杆内各质点按正弦规律沿超声的传递方向在原地做往复振动，并传导到工具端面，使工具端面做超声频振动[3-4]。文献[5]应用杆纵向振动四端网络等效电路，计算了指数形变幅杆负载为纯阻与纯抗时纵向振动共振频率方程和放大系数。文献[6]分析了开斜槽变幅杆的结构，从理论上揭示了斜槽几何尺寸对变幅杆的谐振频率和纵弯两个方向振幅的影响规律，采用有限元动态数值模拟分析得到不同斜槽参数情况下的谐振频率振幅。本文利用微元法建立指数形形超声变幅杆的波动方程，通过分离变量法求解波动方程得到超声变幅杆放大倍数，然后再利用分离变量法放大倍数进行研究，定量分析放大系数与变幅杆长度、大小端半径比、振动频率变化的关系。

1 微元法建立波动方程

如图1所示的指数形变幅杆，以变幅杆左侧的中点为坐标原点，以变幅杆轴线为x轴建立直角坐标系，设t时刻在x处的位移为u(x，t)，根据牛顿第二定律建立动力学方程：

σ(x,t)S(x)

(1)

其中：σ(x，t)为x处截面上在t时刻的应力；σ(x+Δx，t)为x+Δx处截面上在t时刻的应力；ρ为材料密度；S(x)为面积函数。

当Δx→0，且在式(1)右端加、减相同项σ(x,t)S(x+Δx) 时,可得：

即

(2)

其中应力

(3)

图1 指数形变幅杆微元受力

简谐振动的振动方程为

+ω2u(x,t)=0

(4)

联立式(2)(4)可得指数形变幅杆的波动方程：

k2u(x,t)=0

(5)

2 求解放大倍数

对于式(5)的超越方程，不能直接使用普通的代数方程进行求解，必须采用分离变量法将原方程拆分成多个更简单的只含有1个自变量的常微分方程，利用高数知识、级数求解等方法求出各个方程的通解，最后把把这些通解“组装起来”。分离变量法运用的最重要一个条件就是边界条件。

2.1 边界条件

连续纵振动杆件的边界条件有两种情况:

其一是端面自由。根据牛顿第三定律可知，端面上所受的轴向力为0。如图2所示，设两个端面所受的力和端面位移分别为F1、F2和u1、u2，根据胡克定律建立的方程为：

(6)

其二是端面受力，如图2所示。设2个端面所受的力和端面位移分别为F1、F2和u1、u2，根据胡克定律建立的方程为：

(7)

图2 振动受力示意图

2.2 分离变量法求解放大倍数

如图1所示的指数形变幅杆，设在x=0处的半径为R1，在x=l处的直径为R2，则变幅杆截面的面积函数和半径函数为：

S(x)=S1e-2βx

(8)

R(x)=R1e-βx

(9)

联立式(5)(8)(9)可得：

u(x,t)=eβx(Acosk′x+Bsink′x)eiωt

(10)

其中k′=(k2-β2)1/2。时间因子eiωt在讨论位移、应力及应变等可以不用写出来，但在求振动速度的时候必须记住，应变分布表达式为

=βeβx(Acosk′x+Bsink′x)+

eβx(-Ak′sink′x+Bk′cosk′x)

(11)

联立式边界条件(6)及式(10)(11)可确定常数：

(12)

并代入式(10)可得质点位移u沿轴向的分布为

(13)

当x=0时，u=u1，由此得放大倍数为

(14)

从式(14)可知：变幅杆放大系数Mp与其长度l、大小端半径之比N、振动频率f有关。在实际的应用设计中，为了更好地了解3个变量对放大系数的影响，常常采用控制变量法对变幅杆的放大倍数进行分析。

3 放大倍数研究分析

变幅杆材料的基本要求是:疲劳强度高,声阻抗率小,易于机械加工；在工作频率范围内材料的损耗小；在腐蚀环境下应用时还要求变幅杆的辐射面所用的材料耐腐蚀[7-9]。本文选择45号钢材作为变幅杆材料进行放大倍数分析，45号钢的物理参量如表1所示。

表1 45号钢的物理参数

从式(14)可知：放大倍数Mp与变幅杆大小端半径之比N、长度l和振动频率f有关。为了研究其中一个参量对放大系数的影响，本文采用控制变量法对变幅杆的放大倍数进行研究。

3.1 放大倍数与振动频率

根据超声变幅杆放大倍数表达式可知，放大倍数与振动频率(工作频率)有关，为了定量研究放大倍数与振动频率的关系，把变幅杆大小端直径之比N和长度l设为固定值，分别计算不同振动频率下变幅杆的放大倍数值。现设变幅杆的长度l为0.15 m，大小端半径之比为4，振动频率从8 kHz开始以500 Hz逐渐递增分别计算放大倍数值，计算结果如表2所示。

表2 放大倍数与振动频率计算数据

为了能够直观反映振动频率与放大倍数的关系，现对振动频率和放大系数两列数据进行拟合，拟合结果如图3所示。从图3中可看出：当振动频率大于固有频率(f0)时，变幅杆的放大倍数随振动频率的增大，放大倍数减小；当振动频率小于固有频率(f0)时，变幅杆的放大倍数随振动频率的增大，放大倍数增大。

图3 放大倍数与振动频率关系

3.2 放大倍数与半径之比

为了定量研究放大倍数与半径比的关系，把振动频率f和长度l设为固定值，分别计算不同半径之比下变幅杆的放大倍数值。现设变幅杆的长度l为0.15 m，振动频率为20 kHz，半径之比从1.1开始以0.2逐渐递增，分别计算放大倍数值，结果如表3所示。

表3 放大倍数与半径比计算数据

现对放大倍数和半径之比进行拟合，拟合结果如图4所示。从图中可以看出：放大倍数与半径之比有近似的线性关系。

图4 放大倍数与半径之比

3.3 放大倍数与长度

为了定量研究放大倍数与变幅杆长度的关系，把振动频率f和半径之比N设为固定值，分别计算不同长度变幅杆的放大倍数值。现设变幅杆的半径之比为4，振动频率f为20 000 Hz，半径从0.116 m开始以0.002 m逐渐递增，分别计算放大倍数值，结果如表4所示。

表4 放大倍数与长度计算数据

为了能够直观反应放大倍数与变幅杆长度之间的关系，现对表4中的两组数据进行拟合，拟合结果如图5所示。从图中可以看出:当振动频率f和半径之比N为固定值时，放大倍数随变幅杆长度的增加而减小。

图5 放大倍数与半径之比关系

4 结论

微元法是从部分到整体的思维方法,是分析、解决物理问题常用的方法。本文首先采用微元法对指数形变幅杆建立波动方程，再利用分离变量法对建立的波动方程进行求解，得到指数形变幅杆的放大倍数表达式，最后采用控制变量法分别研究指数变幅杆长度(l)、大小端半径之比(N)、振动频率(f)三个参数对放大倍数的影响。通过计算、拟合可得到3个结论：

1) 指数形变幅杆放大倍数与振动频率不总是随振动频率的增大而增大，也不总是随振动频率的增大而减小，而是在振动频率大于固有频率(f0)时，放大倍数随振动频率的增大而减小，在振动频率小于固有频率(f0)时，放大倍数随振动频率的增大而增大。

2) 指数形变幅杆放大倍数与其大小端半径之比成近似的线性关系。

3) 由于振动衰减，指数形变幅杆放大倍数随变幅杆长度的增加而降低。

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(责任编辑 陈 艳)

Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn

HE Tao1, CHEN Xi-Hou2

(1.Department of Mechanical Electrical & Information Engineering, Zunyi Vocational and Technical College, Zunyi 563000, China； 2.Chongqing Key Laboratory of Time-Grating Sensing and Advanced Testing Technology, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

This paper establishes the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the method of micro-element. And it analyzes the two boundary conditions of continuous longitudinal vibration, solves the wave equation of exponent ultrasonic horn according to the boundary condition and the separation variable method and obtains the amplification factor function expression. In order to study amplification factor affected by the geometric size and vibration frequency, the control variable method is used to analyze the magnification of the exponential horn. Reach three conclusions as follows: firstly, the amplification factor decreases with the increase of its length; secondly, the magnification is linearly proportional to radius ratio; thirdly, the magnification reaches the maximum when the vibration frequency is equal to the natural frequency.

horn; amplification factor; boundary condition; separation of variable

2017-03-09

国家自然科学基金资助项目(51675071)

何涛，男，硕士，主要从事精密仪器的研究，E-mail：hetao814185754@163.com； 陈锡侯，男，教授，主要从事精密测量与智能传感器研究。

何涛，陈锡侯.指数形超声变幅杆放大理论分析[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2017(6):90-94.

format：HE Tao, CHEN Xi-Hou.Amplitude Theory Analysis of Exponent Ultrasonic Horn[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(6):90-94.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.06.013

TH113.1

A

1674-8425(2017)06-0090-05