高中数学教学中分类讨论思想的应用

高爱军

摘 要：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容。分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力。

关键词：数学；分类讨论；应用

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）21-0048-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.21.026

一、分类讨论思想的标准

高中数学中，分类讨论方法是解决含有参数的复杂数学问题的主要途径。由于每个数学结论的成立具有特定的条件，每个定理的使用也具有特定的范围，因此，对于复杂的问题往往不能用统一的形式进行研究。分类讨论是按照一定的标准将一个复杂的数学问题分解为等价的若干个相对简单的子问题，通过对子问题的解答，使得原复杂问题得到解决的方法。分类讨论思想的应用难点在于分类的标准。高中数学对分类标准的考查主要有以下几个方面。

（一）数学性质

数学性质确定的分类标准往往比较直观，比如讨论|a|的值时需要考虑a=0时和a≠0时两种情况；求y=x+2+x-5+4的值域，零点是x=-2，x=5，所以需要将x=-2和x=5作为分类的标准，把x轴分为（-∞，-2），（-2.5），（5，+∞）三段来求解。这类问题往往比较简单，不再赘述。

（二）公式定理

在分类讨论中经常出现的问题就是不严密，所以需要严格依照公式和定理中的要求进行分类。常见的有绝对值的定义、底数运算的定义、等比数列求和问题等。比如求解log1-1/x）>1时需要考虑a>1时和当0

（三）题意要求

历年高考真题经常把分类思想作为“重头戏”，经常把分类讨论的思想与实际应用相结合，考查学生对含参问题中分类标准的应用。这就对学生对分类思想的掌握程度提出了要求。比如设函数y=ax2-2x-2a，x∈（1.3）当y>0时，求a的取值范围，题目将高中数学知识的多个知识点杂糅进行考查，需要学生认真审题，挖掘题目中的信息，综合考虑。

二、分类讨论思想的应用

在高中数学中，需要应用到分类讨论思想最多的是数列、概率和函数。下面将从这三方面进行探讨。

（一）在数列中的应用

在求数列问题时常需要用到分类讨论思想，常见的有等比数列的求和以及数列周期性的探索问题等。

例如：等比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，（n=1，2，3，4，...）Sn大于0。求q的取值范围。

综上所述，q的取值范围是（-1，0）U（0，+∞）。

（二）在概率中的应用

高中数学概率问题考查的主要是应用分类和题目中的条件求解基本事件个数。

例如：从编号1-18的球中任意抽取三个球，计算抽出的编号可以构成公差为3的公差数列的概率。

分析：这是一个古典型概率问题。基本事件个数为C318=816，等差数列为an=a1+3*（n-1）。从首项a1开始看。

当a1=1时，要想组成等差数列，余项应该从1.4.7.10.13.16中选，一共有{1.4.7}；{4.7.10}；{7.10.13}；{10.13.16}四種可能；

当a1=2时，要想组成等差数列，余项应该从2.5.8.11.14.17中选，一共有{2.，5.8}；{5.8.11}；{8.11.14}；{11.14.17}四种可能；

当a1=3时，要想组成等差数列，余项应该从3.6.9.12.15.18中选，一共有{3.6.9}；{6.9，12}；{9.12.15}；{12.15.18}四种可能；

解：P=（4+4+4）/816=1/68.

（三）在函数中的应用

在解决带有参数的函数问题中，参数值的变化往往需要重点注意，量变（参数的变化）引起质变（结果的变化）。因此，对参数进行分类讨论通常可以简化问题，从而得到解。

例如：a为何值时，函数y=（a+2）x2a+1+3x+7（x≠0）是一次函数。

分析：已知条件是y=（a+2）x2a+1+3x+7（x≠0）是一次函数（a+2）x2a+1可能是0、常数项或者一次项，对其分类讨论可以得到问题的解。

解：当2a+1=1且a+2+3≠0时，即a=0时，y=5x+7是一次函数；

当2a+1=0时，即a=-（1/2）时，y=3x+7是一次函数；

当a+2=0时，即a=-3时，y=3x+7是一次函数。

三、结语

分类讨论思想在高中数学的教学中运用得十分广泛。在教学中不仅能够帮助学生解答问题，还能够培养学生的思维能力，让学生在学习过程中建立起对数学的缜密思维。分类讨论思想是需要一定的逻辑性、自主学习能力和分析问题的能力，而这些能力在分类讨论思想的学习过程中都能够得到培养，促进学生综合能力的提高。使得学生在学习中能够更加灵活。高中数学的学习对于学生来说是十分重要的，应用分类讨论思想能够帮助学生更好的学习，对学生的后续发展起着关键的作用。

参考文献：

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[2] 姜文华.探究式学习在数学课堂教学中的应用分析[J].华章， 2012（32）.

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[ 责任编辑 林娜 ]