关于求常系数非齐次线性微分方程特解的注记

罗 艳(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)

关于求常系数非齐次线性微分方程特解的注记

罗 艳
(湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南湘潭 411201)

求常系数非齐次线性微分方程特解的关键是正确写出特解的形式。本文给出了求常系数非齐次线性微分方程特解的几个注记：类型Ⅰ的推广、利用复数法和解的叠加原理求特解，并给出实例加以说明。

特解；推广；复数法；解的叠加原理

对于常系数非齐次线性微分方程的求解问题，其中a1,a2,…,an是常数，f(t)为连续函数，一般情况考虑f(t)的两种类型[1].

(1)

类型Ⅰf(t)=P(t)eλt，其中P(t)是带实常数系数的t的多项式，λ是实常数.

1 类型Ⅰ的推广

类型Ⅰ中的多项式P(t)可以是带复常数系数的t的多项式，λ也可以是复常数.

2 复数法求常系数非齐次线性微分方程特解

下面介绍复数法求常系数非齐次线性微分方程特解的理论依据.

定理1 方程

有复值解x=U(t)+iV(t)的充分必要条件是U(t)和V(t)分别是方程

和

的解，这里ai(t)(i=1,2,…,n)及u(t),v(t),U(t),V(t)都是实函数.

证明 直接代入验证即可，在此省略.

注记1 若常系数非齐次线性微分方程是下列形式：

(2)

(3)

其中，α1,β1,α2,β2为常数，而A(t),B(t)是带实系数的t的多项式，则可以考虑应用复数法求(2)和(3)的特解.

第一步，写出(2)和(3)分别对应的方程

(4)

(5)

第二步，(4)和(5)属于类型Ⅰ，利用待定系数法求出(4)和(5)的特解(复值解).

第三步，利用定理1，(4)特解的实部就是(2)的特解，(5)特解的虚部就是(3)的特解.

解 特征方程λ2+4λ+4=0有重根λ1=λ2=-2.

复数法的优点是间接通过类型Ⅰ的特解求(2)和(3)的特解，可避免求cosβt,sinβt和eαt积的各阶导数的运算，减少了运算量，学生易接受.复数法的应用参见文献[2-3].

3 解的叠加原理求常系数非齐次线性微分方程特解

下面先介绍解的叠加原理.

定理2 设x1(t),x2(t)分别是非齐次线性微分方程

的解，则x1(t)+x2(t)是方程

的解.

证明 直接代入验证即可，在此过程省略.

此定理可以推广到有限个方程的情形.叠加原理的应用参见文献[4-5].

注记2 若方程(1)中的非线性项f(t)为下列形式中的某一种：

f(t)=P(t)eλt+Q(t)eμt，λ≠μ，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtcosβt，

f(t)=P(t)eλt+A(t)eαtsinβt，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tcosβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一个成立，

f(t)=A(t)eα1tcosβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一个成立，

f(t)=A(t)eα1tsinβ1t+B(t)eα2tsinβ2t，α1≠α2和β1≠β2至少有一个成立，

这里，P(t),Q(t)是带常数系数的t的多项式，其中λ,μ,α,β,α1,β1,α2,β2为常数，而A(t),B(t)是带实系数的t的多项式，则方程(1)求特解可以考虑应用解的叠加原理.

[1]王高雄,周之铭,朱思铭,等.常微分方程[M].3版.北京:高等教育出版社,2006:145-150.

[2]李素峰.几类常微分方程的特殊求法[J].邢台师范高专学报,2002,17(4):57-58.

[3]张守贵.一类三阶非齐次欧拉方程特解的简单求法[J].内江师范学院报,2016,31(8):14-17.

[4]陈新一.一类二阶常微分方程的特解[J].高等数学研究,2010,13(1):87-88.

[5]郭军,吴芸.叠加原理在解常微分方程中的应用[J].九江学院学报:自然科学版,2011,26(1):36-37.

Notes on Finding Particular Solution for Non-homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients

LUO Yan

(School of Mathematics and Computer Science,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan Hunan 411201,China)

The key of finding particular solution for non-homogeneous linear differential equation is writing the form of particular solution. In order to enable students grasp the knowledge, we give several notes: the generalization of types of Ⅰ, finding particular solution by complex number method and superposition principle of solutions. In order to facilitate teaching and students’ comprehension, we also give examples to illustrate the applicability of our results.

particular solution; generalization; complex number method; superposition principle of solutions

2017-01-12

罗 艳(1980- )，女，讲师，博士，从事常微分方程与动力系统研究。

O175.1

A

2095-7602(2017)06-0009-03