谈谈高中数学解题入手能力的培养
2017-06-30陈奋
陈奋
摘要：本文是谈谈高中数学解题入手能力的培养思路，包括观察能力，运用基础知识的能力和渗透数学思想三方面。
关键词： 入手；观察；能力培养；渗透；数学思想
中学数学学习以解题为主要手段，因此数学教学的重点在于帮助学生理解题意和掌握解题方法，培养学生的解题能力。本文对“数学解题能力”简单划分为三个部分：解题入手能力、逻辑推理能力和表达能力。反思平时的教学，对后两部分比较注重，指导也到位，而对于解题入手能力关注不够。目前，高中学生用于学习数学科的时间相对较多，但效率不高。往往老师对学生的问题稍微指点一下，就能迎刃而解，很明显是学生解题入手能力的问题。因此，在正常的教学过程中，必须对学生“数学解题入手”能力的培养加以重视。在此本文从三方面谈谈培养“数学解题入手”能力的思路。
一、培养学生观察能力，
数学学习需要敏锐的观察力和丰富的想象力，而数学观察是数学解题的基础。数学观察就是通过题中所给的数值、形态结构、代数式的形式、图形等获取数学信息，了解数学信息中数字、图形之间的内在联系。由于学生观察能力不足，并不熟悉从何做起，教师可利用一些習题有意识有方向性地加以引导。以下是我从事教学多年来总结出来的几点做法：
1.观察题目的结构特征，选用有利的解题入口，培养选择入口的意识 有些题目入口宽，有多种入手角度，但不同的入手角度形成的解题过程不同，有繁有简，容易入手不一定容易解题。必须通过观察题目的结构，寻找出一个较合适的角度入手，使解题过程更简便。
例如：计算：13+115+135+163+199
限时三分钟，结果三分钟过去了许多学生未得最后结果，延到五分钟，还有部分未完成。我便借用学生名义提出三种思路：（1）全通分（多数学生的选择），计算量相对大。（2）逐项相加：13+115=25 ，25+135=37 ，37+163=49 ，49+199=511。引导学生：如果后面增加一项 111×13 呢？学生立即说出答案。若增加到10项、n项呢？结果与项数有什么关系？学生“……”
（3）裂项：13=11×3=12（1-13），115=13×5=12（13-15），135=12（15-17），163=12（17-19） ，199=12（19-111），原式=12（1-13+13-15+15-17+17-19+19-111）=12（1-111）=511。
引导：如果给出题目是：求 13+115+135+……+1（2n-1）（2n+1），你选择何种方法？
本题题设简单，但入口多。学生没有选择入口的意识，缺乏对题目的细致观察，造成多数学生直接使用方法一：全通分法，这时入口容易了，但过程却困难。方法二：逐项相加法，两项相加，能约简，很容易得出“规律”n2n+1，但要有一定的观察力。方法三：裂项法，要观察出1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），这方法是本题的核心方法。通过本例题的教学对学生“观察能力”的培养和“解题入手意识”的引导有较明显的效果。针对解题入手意识这个方向的引导，可选一些入口宽的例题或训练题。利用一题多解，拓宽学生的视野，培养观察思考能力，养成选择入手角度的意识习惯。
2.有些题目入口不够明显，不妨从条件与结论的差异入手 条件与结论透露出的信息差异有时比较直接，从差异中找到联系，从而消除差异，便能获得成功。
例如：设α为锐角，若cos（α+ π6）=45，求sin（2α+ π12 ）值为
本题把已知条件展开或把求值式子展开都非常麻烦，而从“角度”入手，观察条件与求值式子的角度的差异，发现：2α+π12=2（α+π6）-π4 ，于是sin（2α+π12）=sin2（α+π6）cosπ4-cos2（α+π6）sinπ4=2425×22-725×22=17250
从条件与结论的差异中寻找入手点也是一个常用的入手方向。三角问题中，有不少题目从“角度”入手，将结论中角度化为已知的和差倍分，往往比较容易打开思路。
3.观察上、下小题的联系
有些题目设置成2至 3个小题，往往是前面小题为后面小题作铺垫或后面小题作为前面结论的延伸。后面的小题难度增大，入口隐蔽。这时可以观察前后小题之间的联系，从中找到入手方向。
例如：在△ABC中，ACAB=cosBcosC
（1）证明B=C，（2）已知cosA= -13，求sin（ 4B+π6）值。
第（1）小题中，用正弦定理将AB、AC转化成三角函数，可以顺利证明B=C，而第（2）小题中4B+π6）与条件cosA= -13中的A如何联系？联系（1）中有B=C，则4B+π6=2B+2C+π6=2（B+C）+π6=2（π-A）+π6即可突破。
4.观察图形，读取相关信息
有不少题目包含有图形或可转化成图形，读取图形信息是解题入手的基本能力。
例如：设函数f（x）在R上可导，其导函数为f，（x），且函数y=（1-x）f'（x）的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是：（A）函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）（B）函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（1）（C）函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（-2） （D）函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f（2）
解析：由图象可知当x<-2时，y=（1-x）f'（x）>0，所以此时f'（x）>0，函数递增.当-2
观察能力的培养就是培养学生对数学信息的搜集、初选的思路、方法，对问题观察、思考的切入角度和方向。使学生不但能看清题目的显性条件，还能发现一些隐性条件或一些隐性关系，能够看懂题目的深层意思。
二、提高学生运用基础知识的能力
数学能力体现在对知识和方法的运用上。教材在每个知识板块都给出了许多概念、性质、公式及一些思想方法。在高中阶段，大部分题目编写的出发点是在于对它们的理解和运用。这些基础知识是解题思维的源头，逻辑推理的基础。应该帮助学生熟练掌握这些基础知识并提高运用的能力。
1.培养学生运用“定义”“公式”“性质”等的意识。
例如： 下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题：
（1）数列{an}是递增数列；（2）数列{nan}是递增数列；（3）数列{ann}是递增数列；（4）数列{an+3nd}是递增数列；其中的真命题为.
本题用举反例的方法可以很快否定（2）（3），可是学生并不能很容易地举出适合的反例。有些学生为了构造例子将会用去较多的时间，还有可能因例子的不恰当得出错误的结论。那么解题入手还应该从“递增数列”定义出发，求相邻两项的差，问题将得到顺利解决。（1）中an+1-an=d>0，数列{an}是递增数列。（2）中（n+1）an+1-nan=a1+2nd=a2n+1，不能保证为正值，不能肯定是递增数列。（3）中an+1n+1-ann=d-a1n（n+1），当d>a1时为正，数列{ann}才是递增数列；（4）中an+1+3（n+1）d-（an+3nd）=4d>0，数列{an+3nd}是递增数列。
2.培养学生发散思维，对问题的情景而作出适当联想
数学学习需要发散思维，有一定的想象能力。运用好数学知识要有灵活的思维，能对问题与相关的知识作出比较和归类，对问题的情景作出适当联想，才能形成解题思路。在教学上教师可用一题多解与多题同解、数形结合、建模等引导学生如何联想，如何比较。
例如；已知F1 是椭圆 x29+y25=1 的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，求∣PA∣+ 32∣ PF1 ∣ 的最小值。
分析：观察问题的表达式，其中含有特征数值32，及焦半径长∣PF1∣，思考32是否与椭圆离心率有关？由椭圆第二定义，知PF1d=e=23。过点P作准线的垂线PM，垂足为M，则 PA+32PF1=PA+PM 。观察草图可知：当M，P，A共线，且P在M，A之间时满足题意，过A作直线交椭圆于P1P2两点，P1（在M.A之间）即为 PA+32PF1取最小值的点，最小值为PM=1+92=112。
解题能力是建立在基础知识上的，不能抛开基础知识谈能力，要提高解题能力，先要掌握一定量的基础知识和基本方法。通过对这些知识、方法的归纳类比，多次使用，才能达到更熟练的程度。而发散思维可以将当前问题与储备知识建立关系，从而快速形成解题思路。
三、渗透数学思想，提升思维品质
数学思想与方法是《高考大纲》里数学科明确规定的考试内容，并在近几年高考中加强了考查力度，是能力考查的着力点。我们不是为了考试而教学，而渗透数学思想与方法可提升学生的思维品质，提高解决问题的能力。有些题目入手较难，若能恰当地运用数学思想，将会柳暗花明，找到入手之处。
1.运用函数与方程思想
运用运动和变化的观点，集合与对应的思想去分析和研究所涉及问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图象或性质分析问题，从而使问题获得解决。可以说“函数”是高中数学的基础，各个板块的知识都可以与它交汇。利用函数的性质解题是常见的解题思想。
例如：已知cos5θ- sin5θ<7 （sin3 θ- cos3θ），θ∈（0，2π）那么θ的取值范围是。若用直接法解这道题难度较大。将其变形为7sin3 θ+sin5θ>7 cos3θ+ cos5θ，观察到两边结构相同，考虑构造函数：f（x）=7x3+x5，则上述不等式变为f（sinθ）>f（cosθ）. ∵f（x）是R上的增函数，∴ sinθ>cosθ。又θ∈（0，2π）），于是θ∈（π4，5π4 ）。
本题入手方法是将条件变型成7sin3θ+sin5θ>7cos3θ+cos5θ构造函数f（x）= 7x3+x5 ，使不等式问题转化成运用函数单调性问题。在平时教学中教师有意识地渗透数学思想。
2.运用数形结合思想
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”在分析数学问题时，能运用“数形结合”思想一方面把数学问题的数量信息转换为图形信息，由图形的特征的启示抓住问题的本质，寻找解决问题的途径，另一方面由形思数，把空间形式进行代数化处理，用数量关系刻画事物的本质特征，从而探幽发微。
例如：求 sinθ+1cosθ+2的最大值，最小值
观察表达式的特点，形式类似于斜率公式：K=y2-y1x2-x1 设点A（sinθ，cosθ），B（-2，-1），则 sinθ+1cosθ+2表示为直线AB的斜率，问题转化为求斜率的最值。点A （sinθ，cosθ）在圆O：x2+y2=1上，思考AB斜率的最值是过点B的圆O的切线的斜率，最小值是O，最大值是43，本题代数问题几何化，用图形特征解最值问题。入手角度比较常见。
3.运用转化思想
转化思想是中学数学最常用而又重要的数学思想方法之一。运用它可将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将抽象问题简单化，将难以解决的问题转化为可以解决的问题。
例如：已知函数f（x）= {x2+1，x≥01，x<0 求满足不等式f（1-x2）>f（2x） 的x取值范围。
解答本题的最大“障碍”为不等式中的函数符号“f”。如何去掉”f”是解题的入手之处。借助函数图象进行分类讨论以实现等价转化，进而化为求不等式组的解集。
解：借助图象将不等式等价转化为如下不等式组
1-x2>02x<0 或 1-x2>2x2x≥0 解之得：-1 这就成功地将不可直接解决的不等式f（1-x2）>f（2x） 转化成具体的不等式组。 4.分类与整合思想 分类与整合思想的基本思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题来解答。对问题实行分类与整合，其分类标准等于增加了一个已知条件，将大问题（或综合性问题）分解成小问题（或基础性问题），优化了解题思路，降低了问题的难度。其步骤：1）确定分类对象，2）合理分类，3）逐类讨论，4）归纳总结。 例如：两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有： A.10种 B.15种 C.20種 D.30种 解决这个问题的关键是对整个比赛场数进行分类计数：第一类，实际比赛场数是3，相应的情形共有2种；第二类，实际比赛场数是4，相应的情形共有2C23=6种；第三类，实际比赛场数是5，相应的情形共有2C24=12种。因此，满足题意的情形总数是2+6+12=20种。本题入手之处是对事件进行分类。 数学观察是数学信息的搜集、初选，为数学思维奠定基础，培养数学观察能力是提高数学思维水平的前提；基础知识和基本方法是数学能力的载体，是数学逻辑推理的支撑点；数学思想是数学问题转化的利器。从以上三个方面培养学生的解题能力，将会有明显的效果。能力培养是一个系统过程，需要长时间多方面的引导和训练。“解题入手”能力的培养是其中的一个重要的子系统，在教学中加以重视，以减少教学上出现瓶颈现象。 （作者单位：广西区贵港市桂平市实验中学 537200）
