以问题驱动数学课堂教学的实践与思考

陈华林

所谓问题驱动，是指通过对某个现象或对象的观察，并由浅入深地探究进而揭示现象或对象的本质。数学作为自然界的抽象反映，它与其他自然科学一样，也是围绕问题展开的，通过提出问题、分析问题、解决问题最终形成一整套理论。问题既是自然科学研究的源动力，也是数学研究的源动力。因此，我们的数学课堂教学应该是由问题驱动的活动过程。

一、以问题驱动数学课堂教学的基本理念

在数学教学中运用问题驱动有利于培养学生的问题意识，激发学生的学习兴趣和动机，培养学生的创新能力。当学生怀着强烈的问题意识进行学习、探究时，可以从具有挑战性的创造中获得积极愉悦的感情体验，有助于强化求知欲，增强学习的内在动机，改变学生过分依赖教师、书本的学习习惯，实现教学过程中主体作用的发挥，为发展创新能力奠定基础。

建构主义学习理论认为只有进入学生认知场域并被其意识到的问题，才能促进其积极思考，进而形成自己的认识或解答，用本原性问题驱动数学课堂教学就是要抓住师生间互动的认知场域，形成普遍的共识或解答。它有助于学生问题意识的提高，有助于合作意识和探究能力的提高，也有助于创新意识和实践能力的加强。

下面结合我去年的一个具体教学案例《直线与椭圆的位置关系》，来谈谈对以问题驱动数学课堂教学的实践与思考。

二、以问题驱动《直线与椭圆的位置关系》课堂教学实践

（1）内容解析

解析几何是高中数学的重点和难点，其中直线和椭圆的位置关系，是圆锥曲线中最基本、最重要内容之一，其研究方法是研究直线与其他圆锥曲线位置关系的基础。学生之前已经接触过直线和圆的位置关系，所以运用类比的方法研究直线和椭圆的位置关系，让学生思考，自己提出以直线和椭圆为载体，会提出什么样的问题。让学生在“做”和“思”的过程中收获更多的知识、体验和感悟。

（2）教学过程

问题1 我们以前学过直线和圆，还记得直线和圆的位置关系有几种？他们的位置关系怎样判断呢？

生：有三种，相交、相切、相离，利用圆心到直线的距离和半径比较。

教师引导学生回顾如何判断直线和圆的位置关系，并追问：还有其他办法吗？

生：联立直线和圆的方程，得到一元二次方程，利用方程解的个数，判断直线与圆的位置关系。

师：我们又学了一种新的和圆非常类似的曲线——椭圆，直线和椭圆的位置关系有哪几种？

生：相交、相切、相离。

师：他们的位置关系又如何来判断呢？

生甲：利用椭圆中心到直线的距离。

师追问：利用椭圆中心到直线的距离和谁作比较？

生甲犹豫中发现自己回答有问题。

经过讨论交流，大家都发现了生甲的问题所在。

生乙：类比直线和圆的位置关系那样，联立直线和椭圆的方程，得到一元二次方程，利用方程解的個数，判断直线与椭圆的位置关系。

设计意图：以学生熟悉的直线和圆的位置关系入手，运用类比的方法得出如何判断直线和椭圆的位置关系。

例1：已知椭圆■+■=1，直线l：4x-5y+k=0. 问：k取何值时，直线与椭圆相交？

由前面的铺垫和启发，学生都意识了第二种方法适用，联立直线和圆的方程，得到一元二次方程，方程有两个不等解，则直线和椭圆相交。

设计意图：给学生时间，做出最终结果，让学生体会解析几何的核心是“用代数方法研究几何问题”，并归纳出判断直线和椭圆的位置关系的一般方法。

问题2 大家觉得给出直线和椭圆相交会出什么类型的问题？

师：已知椭圆■+■=1，直线l：4x-5y+k=0.

学生有些手足无措。

师：大家想一下直线和圆相交会出什么类型的问题？

生：求弦长。

师：那直线和椭圆相交，可以求弦长吗？

生（思考之后）：好像不行，圆的弦长是利用垂径定理，但椭圆不具备这个性质。

师：那我们要想其他办法了，弦长本质就是两点间距离，怎么求呢？

生：用两点间距离公式■。

一段时间过后，大家就没耐心做下去了，也听到有同学在下面说，不求出x1、 x2，利用韦达定理来求（x1-x2）2，可是（y1-y2）2怎么办呢，再化成关于y的方程？

师：刚才的思路理论上可以，但计算量太大，有同学说可以利用韦达定理来求（x1-x2）2，但（y1-y2）2没办法解决，我们来看下两者有没联系。

生：由图可知，利用斜率公式=k（准确讲是 | k |），所以， （y1-y2）2=k2（x1-x2）2。

师：很好，我们刚才是从图形上找到二者的联系，还有其它方法吗？x1、 x2和y1、 y2并不是孤立的。

生：y1=kx1+b，y2=kx2+b，两式相减，则y1-y2=k（x1-x2），推导出弦长公式：| AB |。

设计意图：让学生自己类比直线与圆，设计问题，推导出弦长公式，体验知识生成的过程，寻求解决问题的方法，并体验取得成功的喜悦。

问题3 把上面的问题改为动直线，已知椭圆，直线l：4x-5y+n=0和椭圆相交，以此为背景，还可以出什么问题？

生：可以求弦长的最值。

师（追问）：怎么求？

生：弦长是关于n的式子，可以看成关于k的函数，利用函数知识来解决。

师：还有其它问题吗（没人响应）？这是一组斜率相同的直线，会不会有些规律，比如一些特殊的点的轨迹。

生：中点，椭圆、圆（大家回答五花八门）。

师：（几何画板演示）中点的轨迹是线段，问题是怎么证明（学生有些手足无措）？

师：中点的变化是由谁引起的？

生：n的变化引起的？

师：直线和谁对应？

生：二元一次方程。

师：中点的横坐标和纵坐标都和n有关，那么……

生：消掉n，得到x和y的等式。

通过学生的独立自主运算，得到了相交弦中点的轨迹方程。

设计意图：让学生自己得到直线与椭圆相交，得到相交弦的中点轨迹问题。并自己解决这个问题。

问题4 已知椭圆，直线l：4x-5y+k=0和椭圆相离，以此为背景，可以出什么问题？

生：可以求椭圆上的点到直线的最近距离和最远距离。

师：怎么求？

生：平移直线，最先接触椭圆的点为最近距离，最后接触的点为最远距离。

师：你们所说的最先接触的点和最后接触到的点又如何来刻画呢？

生：利用相切，找到平行于已知直线的切线即可。

学生通过独立自主的演算，得到了距离的最值。

（3）反思

建构主义教学理论指出，学习者不是空着脑袋走进教室的，在以往的生活、学习和交往活动中，他们逐步形成了自己对各种现象的理解和看法，而且，他们具有利用现有知识经验进行推论的智力潜能。因此问题的设计要接近学生现有的认知结构。

在“问题驱动”的这节课教学实施中，我们以直线和圆的知识为载体，让学生自主发现、探索，解决直线与椭圆的关系以及由此所衍生出来的问题。心理学中的“宜家效应”是指人们购买了宜家家具后，回到家需要花很多力气把它组装起来。看到亲手组装的家具，喜爱程度就会超过同等品质的其他家具。人們自己制作产品时，会产生对这一产品的依恋感和自豪感。应用到教学中，教师要让学生在课堂这一舞台上充分展示自我，让学生经历实验、猜测、交流、反思、合作等理性思维的过程，让学生参与其中，成为学习的主人。

数学问题的产生主要有两个来源。一是教师在备课过程中精心设计的反映该数学主题实质的问题；二是在课堂教学活动过程中，由学生所提出的涉及该数学主题实质的关键问题。前者意味着教师要把实质性的数学问题“教学法化”，让数学实质能够被学生触及和逐步理解；后者意味着教师在充满不确定性的课堂里发现本原性数学问题，能及时抓住学生的那些反映数学思想实质的朴素想法并加以发展。由此不难得出，数学问题具有自然生成、预设下的原发性和多角度对话的品性等特征。

以问题驱动的数学课堂教学是学生主体、师生互动的生成性教学，是学生认知场域和教师认知场域之间的碰撞、交流、拓展、提升的动态过程。由于“问题”是师生在教学互动中自然产生的自己的问题，具有较大的开放度和一定的难度，由此势必要求师生共同合作、相互探究，有利于学生合作和探究能力的提升，有利于学生创新精神的养成和实践能力的加强，这正是数学新课程所追求的理念和价值。

参考文献

[1]杨玉东，李传峰. 用本原性问题驱动数学概念教学[J].中学教研（数学），2006（1）.

[2]何勇，曹广福. 以问题驱动数学教学[J].中学数学教学参考，2014（7）.

[3]张署青，曹广福. 以问题驱动对数概念教学[J].中学数学教学参考，2014（7）.

（作者单位：广州市培正中学）

责任编辑 黄佳锐