石墨烯p-n结中巨磁阻效应的磁场调控

李源，丁冠云

(杭州电子科技大学 物理系,浙江 杭州,310018)



石墨烯p-n结中巨磁阻效应的磁场调控

李源，丁冠云

(杭州电子科技大学 物理系,浙江 杭州,310018)

研究了磁场作用下石墨烯p-n结中的Klein隧穿效应。采用石墨烯的紧束缚模型，用非平衡格林函数方法分析了磁场对石墨烯p-n结输运性质的具体影响。发现透射率曲线的侧向偏移可用经典洛伦兹力图像定量的进行解释。通过理论计算，得到了透射率曲线与不同变量之间的关系。在垂直磁场作用下，狄拉克费米子沿着回旋轨道运动，通过分析入射角和透射率之间的关系，得到了隧道效应被完全抑制时的能量范围。

石墨烯；p-n结；巨磁阻效应

石墨烯是具有蜂窝状晶格结构的单层碳原子，因其优良的导电性和高迁移率，使其在实验和理论研究上引起了广泛的兴趣[1,2]。石墨烯特有的低能线性色散关系，产生了一些新奇的物理现象，如反常量子霍尔效应[3,4]和Klein隧穿[5-7]。石墨烯系统具有零能隙电子结构，且存在Klein隧穿现象，使得难以有效约束无质量狄拉克费米子。近年的研究表明，不均匀磁场可用来调节Klein隧穿，从而有效约束狄拉克费米子的运动[8-10]。在过去数年中，人们提出了不同的磁构型和石墨烯磁性超晶格结构，用以控制石墨烯中载流子的输运特性[12-16]。最近，几个研究小组研究了石墨烯p-n结中量子霍尔条件下蛇态引起的传输行为[17-21]。磁场在石墨烯器件上引起的库仑阻塞效应和量子局域效应也得到了实验的验证[22]。然而，低磁场作用下电子手性传输的研究仍较少，低磁场作用下电子的局域效应非常有意义并值得进一步研究。此外，大多数研究均采用低能有效哈密顿量分析[23]，方法上值得进一步改进。

受到上述问题的启发，我们采用石墨烯的紧束缚模型，并运用非平衡格林函数方法，探究狄拉克费米子通过石墨烯p-n结的磁输运现象[24]。本文中，考虑了低磁场的作用，计算了体系的透射率，并根据经典洛伦兹力的物理图像，定量地解释了数值结果。数值结果表明，在能量和波矢量空间，磁场产生了一个输运禁区，这一特性导致了p-n结中的巨磁阻效应。

图1 磁场作用下的石墨烯p-n结。中间区域为磁场作用区，左边区域为N型区，右边区域为P型区。Fig.1 Schematic of the graphene p-n junction modulated by an external magnetic field.The length of the central magnetic field region is L，the left region is n-doped graphene，and the right region is p-doped graphene.

我们研究一个由门电压调控的石墨烯p-n结，其结构如图(1)所示。该p-n结的紧束缚哈密顿量可写为：

(1)

根据Fisher-Lee的透射率计算公式[26,27]，假设入射电子的波矢量为ky，则透射率可写为：

T(ky，E)=Tr(ΓLGrΓRGa)，

(2)

(3)

当电子以确定的ky或入射角θ入射，可计算系统的透射率，即T(θ)。入射角定义为θ=arcsin(ky/kF)，kF=2EF/(3at)是费米波矢。通过对方程(2)中的波矢ky积分，我们可计算得到体系电导：

(4)

其中因子2对应自旋的二重简并，W是p-n结的横向长度，G0=2e2W/(vFh2)是单位电导。

根据透射率公式(2)，用Matlab数值计算软件，研究了不同磁场作用下，透射率随入射角的变化关系，如图2所示。当磁场B=0时，曲线关于法线方向对称(θ=0)，电子在垂直入射时透射率最大，这是典型的Klein隧穿效应，此时电子能完全通过磁势垒区。当磁场强度逐渐增强，如B=1T，透射曲线向正角度偏移。而当磁场增加到B=1.8T时，透射曲线继续向大角度方向偏移，且曲线的角度分布区间变窄，意味着电子只有以某些角度入射时，才能透射穿过磁势垒区域。也就是说，通过施加磁场，我们可以调节电子的输运行为，使其约束在某些角度区间，从而实现了对狄拉克费米子的有效调控。这一现象，对今后石墨烯器件的设计和制造，具有较好的理论指导意义。可以预见，当磁场强度继续增大时，透射率将变为零，即存在一个临界磁场Bc，当B>Bc时，T=0。当磁场为负值时，如B=-1T，透射率曲线向负角度方向偏移。这一现象表明，此时电子的运动可由经典的洛伦兹力图像解释，即在磁场作用下，电子沿回旋轨道运动，当磁场反向时，电子回旋运动的方向相反，从而使透射率曲线反向偏移。

图2 不同磁场作用下透射率T(θ)曲线随入射角的变化关系。费米能为E=100meV，势能为V0=200meV，磁场区的宽度为L=100nm。Fig.2 The total transmission T(θ)plotted as a function of the electron injection-angle θ for different magnetic fields.The Fermi energy is E=100meV，the potential barrier is V0=200meV and the width of the magnetic field region is L=100nm.

为了详细分析磁场和电势垒的影响，我们研究了磁场一定时，势垒V0和宽度L不同时电子的输运行为，如图3所示。当V0=0时，透射曲线向正角度偏移，且分布区域较宽[图3(a)]。而当势垒高度由30meV增加到150meV时，透射曲线的角分布宽度逐渐变窄。因为费米能为E=100meV，磁场强度为B=1T，所以V0=50meV的情况下，n型区的狄拉克点与费米能最接近，空穴载流子对透射率的贡献最小，透射曲线也最窄。同样的，当磁场反向时，透射曲线向负角度偏移。由图3(b)可知，当磁场区的宽度L由50nm增加到200nm时，透射率的最大值先减小，后逐渐增大，但曲线的角度分布区间逐渐变小。上述现象表明，石墨烯p-n结的势垒高度、磁势垒区的宽度均会影响电子的输运行为。

图3 (a)L=100nm，势能V0不同，(b)V0=200meV，磁场区宽度L不同时，透射率T(θ)与入射角的变化关系。费米能为E=100meV，磁场强度为B=1T。Fig.3 The total transmission T(θ)plotted as a function of the electron injection-angle θ for (a) different potential energies V0 and L=100nm，(b) different width L and V0=200meV.The Fermi energy is EF=100meV，the magnetic field is B=1T.

进一步研究了磁场作用下，石墨烯p-n结透射率与入射角θ和费米能的定量关系，如图4所示。当B=0T时，透射率关于法线方向对称，角度越小，透射率越大[图4(a)]。特别是，当E=V0=160meV时，透射率出现了一个很窄的区域，说明此时几乎只有垂直入射的电子透射率才不为零。此种情况下，费米能与势垒区的狄拉克电子对齐，参与传输的载流子很少，是一个特殊的能量范围。图3(b)中，磁场B=0.8T，透射图形的对称性被打破，整个图形向sinθ增大的方向偏移(与磁场方向有关)，更重要的是,在E=V0=160meV的能量附件出现了一个传输禁区，此区间电子的透射率趋于零。也就是说，通过施加磁场，可以使系统的电导在这个能量范围迅速减小为零，从而实现磁场对石墨烯p-n结输运性质的有效调控。

图4 (a)B=0T和(b)B=0.8T时，以费米能量和入射角sinθ为变量的透射率分布图。电势垒为V0=160meV,磁场区宽度为L=100nm。Fig.4 The transmission T(θ)plotted as a function of the Fermi energy and the sinusoidal value of sin θ for (a)B=0T and (b)B=0.8T.The potential barrier is fixed at V0=160meV，and L=100nm.

总之，根据石墨烯的紧束缚模型，采用非平衡格林函数方法，研究了磁场作用下，石墨烯p-n结的输运行为。发现电子受到磁场的作用，沿着回旋轨道运动，透射率的角度分布曲线向某一侧偏移，呈现了经典的洛伦兹力物理图像。磁场强度、磁势垒宽度以及p-n结的电势垒均会影响透射率大小。在某些能量范围，磁场使得体系的透射率迅速减小为零，实现了磁场对狄拉克费米子输运性质的有效调控。

[1]BEENAKKER CWJ.Andreev reflection and Klein tunneling in graphene [J].Rev.Mod.Phys.2008，80(4)，1337-1354.

[2]CASTRO NETO A H，GUINEA F，PERES N M R，et al.The electronic properties of graphene [J].Rev.Mod.Phys.2009，81:109-162.

[3]NOVOSELOV K S，GEIM A K，MOROZOV S V，et al.Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene [J].Nature,2005，438:197-200.

[4]ZHANG Y，TAN YW，STORMER HL，et al.Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene [J].Nature,2005,438(7065):201-204.

[5]KATSNELSON M I，NOVOSELOV K S，GEIM A K.Chiral tunneling and the Klein paradox in graphene [J].Nat.Phys.2006，2:620-625.

[6]YOUNG A,KIM P.Quantum interference and Klein tunnelling in graphene heterojunctions [J].Nat.Phys.2009，5(11):222-226.

[7]STANDER N，HUARD B，GOLDHABER-GORDON D.Evidence for klein tunneling in graphene p-n junctions [J].Phys.Rev.Lett.,2009，102(2):026807.

[8]MA De，DELL’ANNA L，EGGER R.Magnetic Confinement of Massless Dirac Fermions in Graphene [J].Phys.Rev.Lett,2007，98(6):066802.

[9]MASIR MR，VASILOPOULOS P，PEETERS FM.Wavevector filtering through single-layer and bilayer graphene with magnetic barrier structures [J].Appl.Phys.Lett.,2008，93:242103.

[10]MASIR MR，VASILOPOULOS P，MATULIS A，et al.Direction-dependent tunneling through nanostructured magnetic barriers in graphene [J].Phys.Rev.B,2008，77:235443.

[11]DELL’ANNA L,MA De.Wave-vector-dependent spin filtering and spin transport through magnetic barriers in graphene [J].Phys.Rev.B,2009，80:155416.

[12]DELL’ANNA L,MA DE.Multiple magnetic barriers in graphene [J].Phys.Rev.B,2009，79,045420.

[13]WU Q S，ZHANG S N，YANG S J.Transport of the graphene electrons through a magnetic superlattice [J].J.Phys.Condens.Matter,2008，20(48),485210.

[14]YAN H，CHU ZD，YAN W，et al.Superlattice Dirac points and space-dependent Fermi velocity in a corrugated graphene monolayer [J].Physical.Review.B condensed Matter,2013，87(7):109-115.

[15]SATTARI F,FAIZABADI E.Spin transport and wavevector-dependent spin filtering through magnetic graphene superlattice [J].Solid State Commun,2014，179(179),48-53.

[16]ZHAI F,YANG L.Strain-tunable spin transport in ferromagnetic graphene junctions [J].Appl.Phys.Lett.,2011，98(6):109.

[17]CARMIER P，LEWENKOPF C，ULLMO D.Graphene n-p junction in a strong magnetic field：A semiclassical study [J].Phys.Rev.B,2010，81,241406.

[18]CARMIER P，LEWENKOPF C，ULLMO D.Semiclassical magnetotransport in graphene n-p junctions [J].Phys.Rev.B,2011，84,195428.

[19]WILLIAMS JR,MARCUS CM.Snake States along Graphene p-n Junctions [J].Phys.Rev.Lett.,2011，107(4),046602.

[20]BARBIER M，PAPP G，PEETERS FM.Snake states and Klein tunneling in a graphene Hall bar with a pn-junction [J].Appl.Phys.Lett.,2012，100(16):301.

[21]MILOVANOVIC SP，RAMEZANI MASIR M，PEETERS FM.Interplay between snake and quantum edge states in a graphene Hall bar with a pnjunction [J].Appl.Phys.Lett.,2014，105(12):666.

[22]MORIYAMA S，MORITA Y，WATANABE E，et al.Field-induced confined states in graphene [J].Appl.Phys.Lett.,2014，104(5):666-R.

[23]KUMAR S BALA，JALIL MBA，Tan SG.Klein tunneling in graphene systems under the influence of magnetic field [J].J.Appl.Phys.,2013，114(8):157.

[24]LI Yuan，JALIL MBA，ZHOU Guanghui.Giant magnetoresistance modulated by magnetic field in graphene p-n junction [J].Appl.Phys.Lett.,2014,105(19):1337 .

[25]PEIERLS R.On the theory of the diamagnetism of conduction electrons II:strong magnetic fields[J].Z.Phys.,1933，80,763.

[26]FISHER DS,LEE PA.Relation between conductivity and transmission matrix [J].Phys.Rev.B,1981，23(12):6851-6854.

[27]DATTA S.Electronic Transport in Mesoscopic Systems [J].Physics Today,1996,49(5):70.

[28]SANCHO MPL，SANCHO JML，RUBIO J,et al.Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green functions [J].J.Phys.F Met.Phys.2000,15(4):851.

Giant magneto resistance modulated by a magnetic field in the grapheme p-n junction

LI Yuan，DING Guanyun

(Department of Physics，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou 310018，China)

We investigate the tunneling transport across a graphene p-n junction in the presence of the magnetic field.We adopt the tight-binding model and non-equilibrium Green’s function (NEGF) to calculate the transmission of the graphene p-n junction under the effect of the magnetic field.We observe a sideway deflection of the transmission profile，which can be quantitatively explained by invoking the classical Lorentz force.We obtain the angular dependent transmission as a function of the magnetic field，potential barrier and the width of the scattering region.In terms of the angular distribution of the transmission，we obtain the energy regime of the case that the transport of the electrons is full suppressed.

Graphene；p-n junction；giant magneto resistance

1672-7010(2017)03-0066-06

2017-01-28

浙江省自然科学基金资助项目(LY16A040007)

李源(1980-)，男，湖南醴陵人。教授，博士，从事二维材料与磁电子器件研究。E-mail:liyuan@hdu.edu.cn。

O475

A