基于稀疏优化字典的图像去噪算法

金 燕，王卫静

(浙江工业大学 信息工程学院，浙江 杭州 310023)

基于稀疏优化字典的图像去噪算法

金 燕，王卫静

(浙江工业大学 信息工程学院，浙江 杭州 310023)

稀疏表示算法是用过完备字典表示图像信息从而去除图像中的无用信息，达到去噪目的.KSVD字典是过完备字典中的一种，但是KSVD字典过于冗余，导致图像处理过程中冗余无用的图像信息降低算法的效率，为了提高KSVD字典的高效性和稀疏表示算法去噪能力，笔者提出了一种基于稀疏优化字典设计的图像去噪新算法.新算法的去噪步骤为首先运用正交匹配追踪算法求出稀疏系数；其次运用迭代算法用稀疏系数对初始DCT字典进行更新学习，在迭代的过程中逐渐去除噪声，得到去噪后的图像.仿真结果表明：与DCT字典算法、Global字典算法以及原有的KSVD字典算法进行对比，新方法的系数矩阵更加稀疏，去噪效果较好.

噪声；稀疏算法；正交匹配追踪；字典学习

噪声会导致信息判断出错，去除图像噪声成为研究的热点.图像去噪意义重大，在工业、交通安防领域以及医学中应用广泛[1-2].现代生活中，由于接触到的图像信息非常大，对图像的存储内存空间带来严重负荷，有时关心的只是海量信息的一部分，噪声中不含有有用信息，就可以对图像进行稀疏处理，将高维信号，压缩到低维，获得有用信息，去除噪声等杂余信息，即节约了空间又达到去噪的效果[3-4]，理论研究证明，对图像的处理越稀疏，得到的有用信息越多，噪声的去除越彻底[5].稀疏算法最关键的一步就是找到一个恰当的字典表示原信号.超完备字典的提出开启了稀疏算法的先河[6]，信号在冗余的基函数集上进行分解，选择符合图像信号特征的基函数，可以充分表达图像信息[7]，而且图像信号越稀疏，恢复出的信号就越接近原信号.贪婪算法的提出更是对稀疏算法的求解问题的研究提升了一个高度，由最初的匹配追踪算法(Matching pursuit,MP)到后来经典的正交匹配追踪算法(Orthogonal matching pursuit,OMP)而后是由OMP改进的其他贪婪算法，例如压缩采样匹配追踪[6]、正则化正交匹配追踪[9]、分段式正交匹配追踪[10]和子空间追踪等[11].

字典一般分为分析字典和学习字典，分析字典分为小波字典和DCT字典，分析字典简单易于实现，但是不能精确的恢复原始信号，学习字典分为MOD字典和KSVD字典，KSVD相对于MOD噪声的收敛速度更快[12].由于KSVD字典过于冗余，使得更新后的字典含有不必要的信息，有用图像信息不能充分表达，笔者对KSVD字典进行改进，在稀疏表达的过程中逐渐剔除无用的信息，使得KSVD字典表达图像信息更加充分，去噪效果更好.新方法的图像去噪算法分为两步，首先对图像进行分块处理，运用OMP对图像求稀疏系数，利用求得的稀疏系数用改进的字典进行更新，从而恢复出较好的无噪图像.

1 基于KSVD字典的稀疏表达去噪算法

由于DCT字典由数学变换得到，不能有效的表达图像信息，而全局字典虽然易于实现，但是去噪效果不够理想，KSVD字典能够克服以往字典的不足，获得较好的去噪效果.KSVD算法是字典训练算法，是将图像分成若干块，运用正交匹配追踪算法(OMP)求出系数A，再由系数和图像块，根据误差最小原则，对误差项进行SVD分解，选择使误差最小的分解项作为更新的字典原子和对应的原子系数，经过不断的迭代从而得到优化的解.令f∈RN，D∈RN×K，A∈RK分别代表训练信号、字典和训练信号的稀疏系数向量，KSVD字典设计算法步骤可以分为两部分。

1.1 初始化

1.2 迭代进程

使用OMP算法计算稀疏系数矩阵aj=OMP(f,dj),A={a1,a2,…,aj}，字典原子更新阶段使用已经处理好的稀疏图像样本fi，计算k次迭代产生的残差，即

(1)

KSVD算法步骤如图1所示.

图1 KSVD字典算法迭代过程Fig.1 KSVD dictionary algorithm iterative process

2 优化的稀疏算法去噪

一个信号f∈RN的稀疏表示可以用字典原子D中少量原子的线性组合来实现，即f≈DA满足‖f-DA‖p≤ε，其中A∈Rk包含表示信号f的所有系数，且系数的零范数尽可能的小(通常是小于阈值).在给定字典D的情况下，求解信号f的稀疏系数是NP-hard的，一般的，用零范数表示向量的稀疏度，可以进一步建立稀疏模型，即

(2)

其中T1表示稀疏表达系数中非零分量的数目的上限，系数中非零元素越少，信号越稀疏.

DCT字典算法和Global字典算法不能根据图像自身的特点自适应的进行学习，而KSVD字典原子过于冗余，导致在求解字典过程中，冗余信息反复迭代，造成字典中不必要的空间浪费，图像有用信息表达不完整，去噪效果欠佳.新方法既能自适应的学习图像信息，保证非凸的时候对稀疏中的零元素进行标记，同时又能保证系数矩阵的完整性.由于KSVD算法将达到阈值要求的残差运用奇异值分解得到更新的字典原子，这种计算方法，是将所有与原子相对应的系数矩阵进行了遍历，将过程复杂化，不利于更加稀疏的表达图像.

新方法定义一个限制因子p右乘残差，即

(3)

更新字典原子的目的是用来移除无关列，既能避免和系数矩阵中的零矩阵相乘，简化复杂度，提高系数的稀疏度，又能将图像的去噪效果有所提高.矩阵p的行数和残差的列数相对应，稀疏系数等于零的位置标记为1，这样做只标记了非零元素，能大大的提高训练的收敛速度.

更新字典的一个原子为

(4)

将残差进行奇异值分解得dj←U0，aj←Λ0V0；对字典进行标准化处理，∀k，dj←dj/‖dj‖2；计算Gram矩阵，互相干性反映了字典原子之间的相干程度，相干系数越小，字典原子间的相干程度越小，稀疏表达信号越精确；字典原子间的相关程度采用Gram矩阵G=DTD，可以增加字典原子表达图像的效率.最终得到的字典为

D′=((βfAT)+β(1/λmaxλmin)D)+D

(5)

其中：0≤β≤1；f为待处理的图像块；A为系数矩阵；λmax,λmin分别为将初始字典进行奇异值，分解得到φ0=U0Λ0V0,λmax=λ1，λmin=λm.

最终图像由公式得

(6)

其中：I为N阶矩阵，它的所有元素为1；Rij是从图像f中提取的图像块；λ=30/σ.

新方法的流程图如2所示.

图2 算法流程图Fig.2 The algorithm flow chart

新方法首先对输入的图像进行分块处理，设置DCT字典为初始字典，固定图像块和字典，运用正交匹配追踪算法计算稀疏系数，固定图像块和稀疏系数，运用奇异值分解对字典原子进行更新，遍历所有的图像块，最终得到无噪的图像.

新方法运用残差右乘标记矩阵，对系数中的非零元素进行标记，同时保证系数的完整性和稀疏性.奇异值分解的时候，采用随机序列，每迭代一次，更新一个原子，将原子归一化处理.迭代完成后将得到的字典进行奇异值分解，得到对角矩阵的最大和最小的特征值，将得到的特征值代入式(5)得到优化的字典，该字典比KSVD字典表达图像信息更加完善.

3 仿真分析

由于正交匹配追踪(OMP)算法收敛性好，优化字典高效简洁，新方法运用OMP和优化字典进行迭代，并做了详细的仿真实验，并分别与DCT字典算法[13]、Global字典算法[14-15]和KSVD字典算法[16-17]进行了对比.其中DCT字典和Global字典为标准正交基字典，运用高斯随机矩阵进行图像的初始化计算；KSVD字典和新方法设置DCT字典为初始字典，图3(b)为新方法训练出的新字典，该字典对信号有着良好的分解能力.新方法的仿真实验结果如图4，5所示，其中(a)为原始无噪图像，(b)为噪声强度为15的含噪图像，(c)为新方法去噪算法去噪后图像.峰值信噪比是常见的衡量图像去噪效果的指标，新方法以峰值信噪比作为衡量指标说明图像去噪效果的优劣，公式为

(7)

图5 新方法对噪声为15的house处理结果Fig.5 The results of house processing for 15 noise are presented in this paper

图像去噪算法的研究意义重大，应用广泛[18].稀疏去噪算法为当前去噪效果较好的去噪算法之一，笔者在前人研究的基础上，提出的KSVD算法的改良算法并用实验证明其高效性.表1分别列出了不同噪声强度下，DCT字典、全局字典、KSVD字典以及新算法的去噪效果对比，可以看出更新后的字典表达图像信息更加完备.图6为算法去噪效果对比图，图7列举出了KSVD字典和新方法迭代次数与所耗时间的对比图.

表1 稀疏算法仿真结果的峰值信噪比

Table 1 The peak signal to noise ratio of the simulation results of sparse algorithm

σ/PSNR峰值信噪比/dbDCTGlobalKSVD新方法5/33．9837．7637．9137．9738．0210/28．1534．1434．5134．6334．7215/24．5832．3032．7332．9633．6220/22．2130．3930．8731．2631．1525/20．2229．4830．0130．3029．7730/18．6628．2328．7828．8928．66

图6 新方法与经典方法的比较Fig.6 Comparison between the classical method and the method of this paper

图7 KSVD与新方法消耗时间随迭代次数的对比Fig.7 Comparison of KSVD and new method consumption time with iteration number

基于这四种构造字典的稀疏表达去噪算法对图像的处理结果较原图的图像质量有了较大的提高，其中新算法和KSVD算法效果较好.新算法在一定噪声强度下，去噪效果优于，DCT、全局以及KSVD算法，新方法在噪声水平10～20时，效果更佳，从客观数据可以看出这两种算法所处理的图像结果都比较清晰.而DCT字典和全局字典的效果欠缺，处理效果没有前两种效果好，图7可以看出KSVD算法和新方法复杂度相当.

4 结 论

稀疏表达去噪算法是近几年去噪效果比较好的算法之一，稀疏表达最为关键的两步是字典的设计和算法的实现.笔者在KSVD字典的基础上，提出了一种优化字典设计，优化字典能够更有效的表达图像信息，结合正交匹配追踪算法，有利的解决了稀疏系数的求解问题.新方法只需要对图像的有用信息进行处理，在得到去噪后图像的同时，能很好地简化了图像处理的复杂度.在算法的实现方面，新方法在保证能够遍历所有图像信息的基础上，引入限制因子，在字典迭代更新的过程中，去除图像中无用信息，较大提高了字典迭代的效率，实验结果中，新方法可以进一步提高了图像的信噪比，去噪效果明显.

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(责任编辑：刘 岩)

Image denoising algorithm based on sparse optimization dictionary

JIN Yan, WANG Weijing

(College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Sparse representation algorithm uses over complete dictionary to represent the image information to remove unwanted information in the image and achieve the purpose of denoising. KSVD dictionary is a kind of over complete dictionary, but the KSVD dictionary is too redundant, which reduces the efficiency because of the reduction and useless image information of the KSVD dictionary algorithm in image processing. In order to improve the efficiency of KSVD dictionary and the denoising ability of sparse representation, a new kind of denoising algorithm based on sparse optimization dictionary is proposed. In this algorithm, the orthogonal matching pursuit algorithm is used to calculate sparse coefficient firstly, then, the iterative algorithm with sparse coefficient is used to update learning initial DCT dictionary.The noise in the process of iteration is removed and the de-noised image is gained. The simulation results reveals that compared to sparse iterative algorithm of DCT, Global and KSVD dictionary, the coefficient matrix in this algorithm is more sparse and has higher signal-to-noise ratio (SNR).

noise; sparse algorithm; orthogonal matching pursuit; dictionary learning

2016-10-26

浙江省自然科学基金资助项目(LY17F010015)

金 燕(1964—)，女，浙江绍兴人，副教授，研究方向为图像处理，自动化检测和控制，嵌入式系统研究与应用，E-mail:jy@zjut.edu.cn.

TP391.41

A

1006-4303(2017)03-0320-05