知困而后教

朱锯正

摘 要：教师在教学乘法分配律时总有这样的感悟：在教学中精心准备，但教学效果却不理想。究其原因是教师在教学过程中没有找到学生学习乘法分配律时真正困难。用“乘法算式”参加“加法算式”的童话故事入手，揭示加法和乘法的本质联系，接着在情境和算理的双重支撑下，揭示乘法分配律的本质内涵，然后通过乘法的竖式计算、长方形的周长公式等例子，以新引旧，以旧促新。整个设计从学生的角度考虑，把教学落实到学生的困难处，让学生真正学透乘法分配律。

关键词：本质；乘法分配律；乘法意义

近年来，对于“乘法分配律”这一内容，有不少新的教学设计在运用不完全归纳法得出规律的严密性方面都下了不少工夫。但是热闹过后，却总感觉有些遗憾：学生在运用乘法分配律时总是死记硬背，对乘法分配律的应用只停留在“形”上面，而没有进入“质”的层面。有些学生甚至到了六年级仍旧是错误百出，不能灵活应用。为什么教材中早有孕伏（乘法的竖式计算、长方形的周长公式），教师在教学中也要精心准备，但教学效果却不理想呢？究其原因，主要有以下两个方面。

第一，学生对加法和乘法的本质联系认识不到位。首先，在学生的认识中，加、减、乘、除四种运算是相互独立的，而且泾渭分明。其次，学生在以往的学习经历中，缺乏把4个数参与的运算改变成3个数运算的经历，也没有把3个数参与的运算改变成4个数运算的经验。因此，学生还停留在原来是几个数，现在仍然是几个数的经验之下，于是便出现了最常见的错误形式：a×（b+c）=a×b+c。

第二，学生对乘法分配律的本质认识不到位。翻阅人教版、苏教版、北师大版、西师大版教材，教材基本按照分析题意、列式解答、讲述思路（从实际问题情境的具体意义的角度）、观察比较、总结规律等层次进行，教师也基本按照以上步骤进行教学，这样很容易使学生把目光局限在数字及符号等表面变化上，对乘法分配律的理解也只停留在模仿上，没有进入“质”的层面。因此，有些学生会将乘法结合律和乘法分配律相混淆，而对变式题更是无从下手。

乘法分配律的本质是加法和乘法的合并，加法和乘法的本质联系是乘法和加法的简便计算，促使学生对這两个本质充分而深刻的理解是上好这堂课的逻辑基础。因此，教师在教学设计时应围绕这两点展开。

环节一：引入故事，激发学生兴趣

师：（课件出示数学王国的王宫大门）数学王国的国王为了感谢所有的加法算式所做出的巨大贡献，决定专门为加法算式们举行一场盛大的舞会。加法算式们纷纷结伴来到了王宫。突然，王宫门口传来了一阵争吵声，原来是看门的卫兵拦住了一位来宾（课件出示2×3）。这可急坏了2×3。你们知道卫兵为什么不让2×3进去吗？

生1：因为它不是加法算式。

师：你们能想个办法让它进去吗？看它多可怜呀！

生2：把“×”改成“+”。

生3：不行，把“×”改成“+”那就不是2×3了。

生4：我觉得应该改成3+3或者2+2+2，因为乘法是加法的简便算法，这样改虽然样子变了，但是意义没有变，还是2×3。

简析：一般的教学设计往往直接呈现主题图，按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、总结规律等层次进行教学，从而忽视了学生对四则运算的已有认识，大多数学生认为：加、减、乘、除四种运算泾渭分明，更别说加法和乘法之间可以相互转化了。乘法分配律的本质是加法和乘法的合并，这是学生学习乘法分配律的难点之一。而这一环节以美丽的数学王国中发生的童话故事（乘法去参加加法舞会的故事）为切入点，用优美的画面、富有生命的数学算式、拟人化的情节设计，使学生在愉悦的氛围中开始新知识的学习，激发他们的学习兴趣。

环节二：链接乘法意义，建构完整体系

1.观察两组算式左右两边各自的特征

引导学生得到：左边的算式都有一个括号，先算出和再乘一个数；右边的算式是先算出两个数的积，再将积加起来。

2.引导学生验证，将左右两边的算式组成等式

教师提问：同学们，对应的两道算式只是我们用不同的思路解决了同样的问题，按理它们的结果应该是相等的，那两边算式结果究竟等不等，我们怎样才能知道？（计算）

3.从乘法意义的角度揭示乘法分配律的内涵

师：刚才我们从实际问题情境的具体意义的角度和计算分析了每组左右两边的结果相等，你能从算式的意义上来说一说吗？

生：右边算式表示的是250个5加100个5，合起来是350个5；左边的算式正好也是350个5，所以是相等的。

4.总结规律，揭示课题

5.用字母表示乘法分配律

简析：学生经常会出现分配不均、乘法分配律和乘法结合律相混淆的错误，究其原因，其实是因为对乘法算式意义的不理解，对乘法分配律死记硬背，而没有真正理解乘法分配律的内在数学意义。于是在教学中，我将乘法分配律的学习放到乘法意义的框架之下，使学生认识到可以把算式中的几个几和几个几进行合并，以便达到使计算简便的效果。这样在情境和算理的双重支撑下，学生对乘法分配律的理解就不再停留在“形”的上面，而是进入“质”的层面。

环节三：回顾旧知，加深定律理解

1.回顾两位数乘两位数的笔算

师：其实说起乘法分配律，大家并不陌生，在我们以前的学习中就已经接触过，现在让我们一起回顾一下。这是我们在三年级下册学习“两位数乘两位数的笔算”，教材出示了两种不同的计算方法。你从中能找到乘法分配律的影子吗？（课件出示竖式）

生：12可以分成10和2，10个24和2个24加起来正好是12个24，所以24×12=288。

师：将这种想法用等式表示出来就是24×12=24×（10+2）=24×10+24×2=288，这样的想法不正符合我们刚学的乘法分配律吗？

2.回顾长方形周长的计算

师：三年级，我们学习了长方形周长（课件出示周长计算方法），你能看到乘法分配律的影子吗？

简析：一般的教学在探索归纳出乘法分配律后都直接用练习进行巩固，但事实上学生对乘法分配律的认识还不是那么深刻，学生仍旧处于乘法分配律是一个全新知识的状态。而在这一环节中，通过回顾两位数乘两位数的竖式计算、长方形的周长公式这些例子，进一步说明为什么乘法分配律左右两边的式子是相等的，乘法分配律得到进一步的验证，同时使学生对乘法分配律有一种亲切感，也增强了学生运用乘法分配律的信心。（原来我们早就在用啦！）这样以新引旧，以旧促新，不仅让学生感受到知识间的内在联系，而且对乘法分配律的本质也实现了进一步的感悟。

这一新的教学设计从学生感兴趣的故事入手，调动学生的积极性，接着从实际问题情境的具体意义和乘法的意义两个方面学习乘法分配律，在情境和算理的双重支撑下，学生更能把握乘法分配律的本质含义，接着以新引旧，以旧促新，让学生进一步感悟乘法分配律的本质。

在教学中，教师在看到问题表面的同时，更应追寻问题的根源，从学生的角度考虑问题，走进学生的思维世界，把握学生的思维脉络，把教学落实到学生的困难处，这样才能让学生真正学好、学会、学透。

参考文献：

[1]卢江.义务教育教科书教师用书[M].人民教育出版社，2014-10.

[2]杨淑萍.名师同步教学设计[M].山西教育出版社，2012-01.