大音希声扫阴翳，拨开云雾见青天

林文斌

352100 宁德市高级中学 福建宁德

【摘 要】本文主要从宏观上说明全国卷高考椭圆问题的有效复习及备考的解题策略。

【关键词】高中数学；椭圆；解题；策略

历届高考数学卷中，椭圆问题均做为必考题出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重。有时以选填小题形式出现，这类题难度偏小；也有以解答題的大题形式出现，若为准压轴题则该题的难度偏大，若与极坐标和参数方程结合，难度也相对较小。在高考复习中要引起我们的重视，下面探究此类问题的突破策略。

一、有关椭圆的基本知识回顾

（1）椭圆的基本定义：椭圆的第一定义，特别注意椭圆存在的条件，强调“2a>2c”。

（2）椭圆的方程和性质：方程有标准方程、一般方程、参数方程；性质包含图形、顶点、对称轴、对称中心、焦点、焦距、离心率等。

从2011-2016这六年的高考情况来看，高频考点有椭圆的定义、性质以及和其他曲线（直线、圆、双曲线、抛物线）的位置关关系等。不管是一轮复习、二轮复习都要对有关基础知识进行系统复习，引导学生在解题前认真审题、在解题中规范解答、在解题后反思，最后由教师断后，做好通解通法的点拨和总结。

二、做好考情、学情分析

笔者所在学校是一所省二级达标高中，招生时先由城区一级达标学校砍头（优质生源）后，再被同类学校分去相当中等生，学生基础差，学习数学的抽象思维能力有限，计算能力差，对知识的把握程度不足。解几的解题又必须结合以上多项能力的问题。我们从引导学生在解几解题技巧上进行归纳，在准压轴题上只能让他们用常用的思路求出第一小题，第二小题基本是直线与椭圆问题用六步法套路解题，让大多同学能拿个基本分。如何以椭圆问题为突破口，让学生在高考中尽量在解析几何板块上多得分，让学生的数学核心素质有所提高是我们的重要目标。

三、椭圆常见题型的解题方法总结

题型1.考察椭圆的定义及应用：

椭圆（双曲线、抛物线）的定义是解析几何的核心内容，以椭圆的定义为载体可以与函数、不等式、平面向量等知识交汇，能充分考查椭圆的特点，考查数形结合、转化化归的思想。此类问题的突破策略是遇到与焦点有关时优先考虑用定义解之。求曲线方程最常用的方法就是待定系数法，具体的解题步骤是“先定形（哪种曲线、“x型”还是“y型”），再定式，最后定量（写出最后的解析式）”。

题型2.椭圆的性质及应用：

椭圆的离心率问题是高考的高频考点，离心率问题综合性强，灵活多变，能较好地反映学生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力，能有效地反映学生对数学思想和方法的掌握程度。椭圆的性质主要是围绕椭圆中的“六点”（两个焦点、四个顶点），“两线一心”（两条对称轴、一个对称中心），“两形”（中心、焦点以及短轴端点构成的或椭圆上一点和两焦点构成的三角形），“两围”（x的范围，y的范围），注意用图形有平面几何特征解题。

题型3.椭圆和直线以及其他二次曲线（圆、双曲线、抛物线）的关系问题（包括：切线、弦长、定点、定直线、定值等）

解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，这蕴含了丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，题型3是复习数学思想方法的好素材。椭圆的切线问题是高考中较为新颖的问题，结合韦达定理可以设而不求，有时还要恰当运用平面几何知识对其进行求解。题型3涉及的最值问题与范围问题是新课标全国卷的最热点，在高考中经常出现，求解此类问题的一般思路是抓住函数关系，将目标量表示为一个或多个变量的函数，然后借助这个函数的探求使问题得以解决。

针对椭圆和直线的关系，我们向学生总结了此类问题的应试“六步法”，也适用于其它圆锥曲线与直线的关系问题。“六步法”包括：第一步设点（设而不求）、第二步设线（讨论斜率是否存在）、第三步联立直线和椭圆方程、第四步求判别式△>0（主要是有交点）、第五步用韦达定理列出根与系数的关系式、第六步根据具体题目要求的问题逆向思考需要的条件，具体问题具体分析，常涉及分类讨论思想。至于椭圆和其它二次曲线的关系问题也能用“六步法”的模式求解。

另外，特殊问题特殊法（如点差法（特别是中点弦问题），对称法）。

四、高考真题赏析：详见2011-2016年新课标高考全国卷

总而言之，在椭圆的复习中，帮助学生梳理考点，总结常用的解题途径和思路，让学生学会读题、审题、破题、解题，教师要展示必要的、完整的解题思路，提供可供模仿的解题过程，适当进行“一题多解”、“多题一解”的针对训练；在平时训练时要求学生选择好的算法，提高运算的准确性，让学生在高考中有所斩获。