水平荷载作用下单桩的虚拟桩解法及参数

摘要：根据Muki & Sternberg的虚拟桩方法，将水平荷载作用下单桩的问题分解为弹性半空间扩展土和一根虚拟桩的叠加，其中虚拟桩的弹性模量等于桩的弹性模量与土的弹性模量之差。基于水平位移协调条件推导出求解桩土间相互作用所需要的第二类Fredholm积分方程，通过广义胡可定律推导出该积分方程间断点的显式解，从而提高了Fredholm积分方程的数值计算精度并简化了计算程序的编写，根据Mindlin解推导出位移影响函数，简化了位移函数的推导过程。参数分析表明，桩土弹性模量比对单位水平力作用下桩身最大弯矩的位置有明显的影响，随着桩刚度的增加，桩身最大弯矩的位置随之加深。

关键词：水平荷载；虚拟桩；积分方程；间断点；参数分析

中图分类号：TU470文献标志码：A文章编号：16744764（2017）03011507

Abstract：Following the technique proposed by Muki and Sternberg， the problem is decomposed into an extended soil mass and a fictitious pile characterized respectively by Youngs modulus of the soil and that of the difference between the pile and soil. A Fredholm integral equation of the second kind is established which imposes the displacement compatibility condition. According to the generalized Hooke's law， the explicit solutions for the discontinuous point of the integral equation is derived， which improves the numerical accuracy and simplifies the calculation procedure. Based on the Mindlin's solution， the displacement influence function is derived which is simple. The results show that the pilesoil stiffness ratios have obvious influence on the position of the maximum bending moment for the pile under unit shear. With the increase of the pile stiffness， the position of the maximum bending moment of the pile is deeper.

Keywords：laterally loaded； fictitious pile； integral equation； discontinuous point； parametric analysis

隨着国民经济的发展，建设了大量的高层建筑、桥梁和海上平台，桩基是这些工程结构基础的主要形式。但已有的研究成果主要集中在桩基承受竖向荷载时的工作性能，而对水平向荷载作用下桩基的工作研究相对要少一些。桩基除了受到竖向荷载以外，还受到来自水平方向的荷载，如由于结构物自重和使用荷载的偏心而产生的弯矩；交通工具制动时产生的水平力和弯矩；风、波浪、潮水等产生的水平力和弯矩。

近年来，不少学者对水平荷载作用下单桩和群桩进行了研究，Jiang等[1]、Jeong等[2]和Su等[3]采用荷载位移曲线（py曲线法）研究桩土相互作用，Conte等[4]和Sánchez等[5]采用有限单元法研究桩与土相互作用，土为弹性连续体，桩为弹性梁。Kim等[6]、Georgiadis等[7]和Kavitha等[8]采用有限单元和py曲线相结合的方法研究水平荷载作用下桩的工程性状。有限单元法克服了py曲线法只能用不连续的地基反力系数这一模型参数来描述土体变形性质的缺点，但有限单元法由于计算量大而不适用于大规模群桩的计算。

弹性理论法通过引入弹性模量和泊松比这两个土体的基本参数把地基土体视为弹性连续体。Spillers等[9]利用弹性理论法对水平荷载作用下的单桩进行了研究。Poulos[1012]也根据弹性理论法分别对水平受荷单桩、群桩、嵌岩桩进行了研究。Poulos假定三维的桩通过高度为桩长，宽度为桩宽的二维矩形截面与土相互作用，按照梁的弯曲理论进行计算，对矩形截面进行离散，根据桩土的变形协调条件就可以得到桩土共同作用的控制方程。Bipin等[13]采用一种新的弹性理论方法，基于虚功原理考虑桩与土的相互作用。Muki等[14]提出的虚拟桩模型由于能够考虑桩土分离以后在原桩所在位置留下的孔洞，相对以上弹性理论方法计算结果更加准确 [15]。陆建飞等[16]基于虚拟桩模型对层状地基中单桩进行了理论分析。Pak[17]基于Muki[14]提出的虚拟桩模型建立了求解均质地基中水平荷载作用下单桩的Fredholm积分方程，Chen等[18]基于Pak的单桩分析，建立了求解两等长桩位移相互作用系数的虚拟桩模型，梁发云等[19]进一步建立了群桩的相互作用系数解法。

由于以上求解桩土相互作用的Fredholm积分方程中的间断点都未能给出显式解，因而计算精度不易控制；根据Muki[20]求解弹性非轴对称问题的位移函数法推导出位移影响函数（z，ξ），推导过程相对复杂[1719]。为此，本文通过广义胡可定律推导出了Pak方法求解水平荷载作用下桩的弯矩、位移和斜度的Fredholm积分方程的间断点的解析解，并简化了位移函数的推导过程，本文基于Mindlin[21]解推导出位移函数（z，ξ）。

1单桩的积分方程解法

1.1Fredholm积分方程的建立

桩与土之间的相互作用，不仅与土的力学性质有关，更重要的是与桩的受力方式有关。Muki等[14，22]把桩视为一维连续弹性体，解决了桩在竖向荷载作用下桩土相互作用的问题。

如图1所示，弹性半空间土体中水平向受荷桩的半径为a，长度为L，桩体的横截面积为A，桩顶受到作用在xoy平面内的水平剪力V（0）和弯矩M（0）。与Muki等[14]文中一样，通过引入虚拟桩B来考虑桩与土之间的相互作用。虚拟桩的弹性模量E为E=Ep-Es（1）式中：下标p和s分别表示桩和半空间扩展土。认为土是半无限连续弹性体，桩是三维连续弹性结构。

2算例验证及参数分析

2.1算例验证

2.1.1分段数对精度的影响为了确定桩身分段数对桩顶位移计算精度的影响，图3给出了仅受水平力的桩顶位移与桩体分段数之间的关系，樁体分段数表示为n=δL/d式中：δ为单位桩长L/d的分段数。计算中取不同的桩土模量比（Ep/Es=10、100、10 000）、桩长细比（L/d=80、100）、土的泊松比（μs=0.15、0.25、049）情况下，考察单位桩长分段数δ对仅受水平力的桩顶自由桩的位移计算精度的影响。

比较图3（a）、（b）可以发现，图中所示各种情况下数值计算结果呈现出相同的规律，桩长细比、地基土泊松比和桩土弹性模量比均对数值计算精度的影响不明显，其中，桩长细比对计算结果的影响规律与曹明等[25]的竖向荷载作用下的分析结果一致，即桩长细对数值计算精度没有明显的影响。

综合以上分析以及曹明等[25]的分析结果，当桩的分段数δ≥3时，数值结果已经稳定。虽然桩体分段数越多，计算精度越高，但随着计算精度的提高，计算耗时也在增加。如果求解的第二类Fredholm积分方程中的间断点没有显式解，数值求解中为了逼近精确解，需要无限在间断点处增加桩的分段数。

2.1.2与Pak计算结果的比较为了验证本文水平荷载作用下单桩工程性状计算方法的正确性，下面与Pak的计算结果进行比较。计算参数为：泊松比为μs=0.25，桩土弹性模量比分别为Ep/Es=1 000、5 000，桩长细比L/a=50。

从图4可以看出，两种计算方法所得计算结果数值大小基本一致，说明本文单桩的工程性状的计算方法是正确的，同时，也验证了本文计算程序的正确性。

3.2参数分析

为了考察单桩分别在单位水平力作用下和单位弯矩荷载作用下的工程性状，对影响桩身弯矩分布、桩身位移分布和桩身斜度分布的桩长细比、桩土弹性模量比参数进行了系统的分析。土的泊松比为μs=0.3，桩土弹性模量比分别为Ep/Es=100、1 000、5 000和10 000，桩长细比为L/a=40。

1）单位水平力从图5可以看出，桩身的弯矩沿桩的埋深，先增加，再减小，具体有如下分布规律：

桩土弹性模量比对桩身最大弯矩的位置有明显的影响，随着桩刚度的增加，桩身最大弯矩的位置在加深。另外，当桩顶自由桩桩顶作用单位水平荷载时，桩的刚度越大，桩身的最大弯矩值也越大。

桩身的最大位移和最大斜度位置都在桩顶，随着桩的埋深增加，桩身的位移和斜度逐渐减小，桩土弹性模量比对桩顶位移和斜度值大小都有明显的影响，桩的刚度越大，桩顶位移和斜度值绝对值越小。相反，桩的刚度越大，桩身的位移和斜度为零的位置越深。

2）单位弯矩从图6可以看出，桩顶自由桩在桩顶单位弯矩作用下，桩身的弯矩沿桩的埋深，由桩顶的单位弯矩减小到桩底弯矩等于零。桩土弹性模量比对桩身弯矩的分布有明显的影响，桩身刚度越大，桩身弯矩从单位弯矩减小到0的位置越深。如果弯矩为零的位置不在桩底，在该位置的下部会出现负弯矩，如图6（a）中桩土弹性模量比Ep/Es=100，在桩埋深L/a=8的位置，桩身弯矩减小为0，在桩埋深L/a=8以下位置出现了负弯矩。

与桩顶作用单位水平荷载桩身斜度分布规律一样，桩顶作用单位弯矩荷载时，桩身的最大位移和最大斜度位置也在桩顶，随着桩的埋深增加，桩身的位移和斜度逐渐减小，具体有如下分布规律：桩土弹性模量比对桩顶位移和斜度值大小有明显的影响，桩的刚度越大，桩顶位移值和斜度值绝对值越小。相反，桩的刚度越大，桩身的位移和斜度分别为零的位置越深。

将图6（c）与单位水平力作用下桩的斜度分布图5（b）对比发现，对于不同的桩刚度，桩顶作用单位弯矩的桩顶位移值大小等于桩顶作用单位水平力的桩顶斜度的绝对值。

4结论

通过广义胡可定律推导出了Pak方法求解水平荷载作用下桩的弯矩、位移和斜度的Fredholm积分方程中间断点的解析解，从而提高了Fredholm积分方程的数值计算精度并简化了计算程序的编写，根据Mindlin解推导位移函数u（z，ξ），简化了位移函数的推导过程。

对影响均质地基中桩的弯矩、位移和斜度的桩土弹性模量比进行了系统的研究，分别考察了均质地基中桩的弯矩、位移和斜度特性。通过参数分析，得出以下结论：

1）桩土弹性模量比对单位水平力作用下桩身最大弯矩的位置有明显的影响，随着桩刚度的增加，桩身最大弯矩的位置在加深，桩土弹性模量比对桩顶斜度和位移的大小也有明显的影响。

2）桩土弹性模量比对桩顶作用单位弯矩下桩身弯矩的分布有明显的影响，桩身刚度越大，桩身弯矩从单位弯矩减小到0的位置越深；对于不同的桩身刚度，当桩埋深到一定的深度，桩身都会出现弯矩为0的位置以及负弯矩。桩土弹性模量比对桩顶作用单位弯矩下桩顶斜度和位移的大小有明显的影响。

3）对于不同的桩刚度，桩顶作用单位弯矩的桩顶位移值大小等于桩顶作用单位水平力的桩顶斜度的绝对值。

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（編辑王秀玲）