事件独立性应用的注记

姚晓鹏 郑挺

【摘要】概率论中事件的独立性是一个很重要的概念，应用中经常会出现问题.本文指出了文献[1]中事件独立性应用中存在的值得商榷之处.

【关键词】概率；事件；条件概率；贝叶斯公式

文献[1]是普通高等教育“十一五”国家级规划教材.该教材自出版以来，深受好评.我们概率论课程就是使用这本教材.在该课程学习中，发现教材对于事件的独立性的应用问题中有值得商榷之处.

文献[1]中例1.4.9：

伊索寓言《孩子与狼》讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没，第一天，他在山上喊：“狼来了！狼来了！”山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了.

文献[1]用贝叶斯公式试图分析村民的心理变化过程并给出如下解法：

首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”，不妨设村民过去对这个小孩的印象为

P（B）=0.8，P（B）=0.2，（1）

我们现在用贝叶斯公式来求，这个小孩说了一次谎后，村民对他的可信度的改变.

即用贝叶斯公式来求P（A|B）和P（A|B），这两个概率的含义是：前者为“可信（B）的孩子说谎（A）”的可能性，后者为“不可信（B）的孩子说谎（A）”的可能性.在此不妨设P（A|B）=0.1，P（A|B）=0.5.（2）

第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎（A），村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.8×0.10.8×0.1+0.2×0.5=0.444.

这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是（1）调整为P（B）=0.444，P（B）=0.556.

在此基础上，我们再一次用贝叶斯公式来计算P（B|A），即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信度的改变为

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.444×0.10.444×0.1+0.556×0.5=0.138.

这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到了0.138.如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时怎么再会上山打狼呢？

这里的计算有值得商榷的地方.

1.文中说P（B|A）的含义是：“可信（B）的孩子说谎（A）”的可能性.从一般证明，我们认为，“可信的孩子说谎”这个命题应该是命题“孩子可信”与命题“孩子说谎”的合取.也就是说，“可信（B）的孩子说谎（A）”这一事件应该是事件A与事件B的积事件，而不是条件概率计算问题.

事件的条件概率的定义是（文献[1]第41页）：“设A与B是样本空间Ω中的两事件，若P（B）>0，则称P（A|B）是条件概率.”

第一个随机试验是：观察小孩是否说谎，样本空间为

Ω1={A，A}；

而第二个随机试验是：观察村民是否信任小孩，样本空间为Ω2={B，B}.

根据条件概率的定义，显然事件A与事件B之间不存在条件概率.

2.在这里指出，“小孩说不说谎”与“村民相信还是不相信小孩”并无直接联系，也就是说，对小孩而言，他并不知道村民对他的信任度是多少，他在喊出狼来了的前提是认为村民对他是百分之百地信任，这样村民才一定会在他喊狼来了时，毫不犹豫地受骗.若他知道村民对他的信任度不是百分之百时，他就会犹豫他喊狼来了时村民是否会来，也就是说村民可能不来.如此就成为他自己愚弄自己.用概率的术语，那就是：事件A与事件B相互独立.

3.文献[1]中（1）与（2）式都是由“不妨设”设出来的，有随意性，若设村民过去对这个小孩的印象为

P（B）=0.7，P（B）=0.3，（3）

还设P（A|B）=0.1，P（A|B）=0.7，（4）

由文献[1]的算法得

P（B|A）=0.7×0.10.7×0.1+0.3×0.7=0.25.

这说明村民第一次受骗后，对小孩的信任度由0.7降到0.25，也就是说村民不可能上第二次当了.这与该文的结论差别很大.主要原因是假设的（1）（2）是在已知村民受骗两次，为了凑出要想的结果而拼凑出来的.而假设（3）（4）也是为了凑出要想的结果而拼凑出来的.因此，這种方法不具实际意义.

【参考文献】

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011：50-51，59.

[2]盛骤等，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004：34-35.

[3]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程习题与解答[M].北京：高等教育出版社，2005：43.

[4]王增辉，张好治，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011：28.