试析平面向量在解决二面角问题的应用
2017-06-22刘泽粲
刘泽粲
摘要：平面向量和二面角在我们学习高中数学的过程中都是比较重要的知识点，很多同学在学习二面角的过程中会觉得比较复杂，在解决相关问题的过程中会无从下手。平面向量在高中数学学习过程中的应用范围是非常广泛的，并且很多数学问题转化为平面向量的时候就可以得到一定程度的简化，因此，在解决二面角问题的时候就可以应用平面向量，使得抽象的几何问题能够简化为代数问题，从而降低数学问题的综合性。我主要根据自身的学习经验，对平面向量在解决二面角问题的过程中进行分析。
关键词：平面向量；二面角问题；应用
随着新课程改革的不断深入，平面向量在高中数学学习过程中的应用范围越来越广，很多高中数学题都需要借助平面向量进行解答。近年来，我们在学习平面向量的过程中，可以发现越来越多的新思路和新方法被提出和应用，使得平面几何内容越来越丰富。就平面向量的具体应用来说，将其应用于解决二面角问题能够大大降低问题的综合性，从而使得问题得以简化，我们在解题过程中也可以保持更加清晰的思维，从而提升解题效率。
一、法向量方向的不同应用
1、法向量方向相同
在应用平面向量求解二面角问题的过程中，首先要明确的就是二面角问题中能够应用平面向量解题的条件。因此，我们要知道二面角的平面角θ与法向量所成的角α是相等或者互补的，只有满足这个条件才能应用平面向量解答二面角问题。有时候，我们会遇到二面角的两个法向量都指向二面角的内部或者外部，这时就要知道θ的大小是等于π-α的，而当二面角的两个法向量指向的方向不同时，就是θ=α，这时我们还需要判断法向量的方向。我在学习过程中，发现部分同学在判断法向量的方向时，很容易出现错误，所以我就具体分析一下在這种情况下如何判断法向量的方向：我们可以在二面角的公共棱上面任意取一点，标为M，然后在二面角的内部位置上任意取一点，标为N，为了验证取点的正确性，我们还可以在两个半平面内各取A、B两点，将AB连线，这是点N就是线段AB的中点，并且处于二面角的内部。然后我们再构造一个向量MN，则可以得出法向量n1和n2的方向都指向二面角内部时，有n1·MN>0并且n2·MN>0，这是根据向量的夹角的定义和其数量积得出的结论，同样地，若都指向外部，则n1·MN<0并且n2·MN<0，最后还可以得出当二面角两个半平面的法向量都指向二面角的内部（或外部）时，二面角θ=π-
2、法向量方向不同
法向量在解决二面角问题的过程中如果其方向是不同的，那么就需要视具体情况进行具体分析。在一般情况下，如果法向量n1的方向指向二面角的内部，而n2的方向指向二面角外部，这时就是n1·MN>0并且n2·MN<0，也就是说n1·MN与n2·MN在异号的情况下，二面角的两个半平面的法向量的方向就是一个在内，一个在外，可以用θ=
在解决这个问题的时候，我们先将立体图形的空间直角坐标系画出来，然后将相关的点和线段用向量的方向表示出来，再求出两个法向量的余弦值，这样能够使得复杂的图形得到简化，然后就可以应用我提到的异号判断法向量的方向的方法确定二面角平面角的余弦值。这种方式主要是需要集合作图、求证及计算才能得出结果，很多同学在应用这种方法求解的过程中会觉得比较繁琐，在一定程度上增加了题目过程的计算量。但是这种方法在我们刚刚接触到这种类型的题时是有较大的作用的，我们在应用这种方法解答二面角问题的时候，可以简化思路，不需要对图形进行想象，并且可以不要动用逻辑推理，这对于尚且还是“新手”的我们，有重要的作用。
二、基底向量法
我上述提到的用平面向量解决二面角问题主要是根据判断法向量的方向求解，另外还有一种方式是可以不用判断法向量的方向就可以求解二面角问题。在求解过程中，我们需要在二面角的两个半平面中，用与公共棱垂直的两个向量的夹角表示二面角的平面角，这就是基底向量法。在用基底向量法解决二面角问题的过程中，要在空间内选取任意不共面的三个向量作为基向量，然后再将解题过程中需要用到的向量用基底进行表示，二面角就是这两个向量的夹角，在计算过程中我们应用的是向量的数量积和线性运算。在应用这种方法解决二面角问题的过程中，是不用求二面角的两个平面法向量的，并且向量基的运算一向都是需要以严谨的思维为基础依据的，而坐标法计算则使得这种思维得到了简化，使得我们在解题过程中能够更加流畅。
三、结语
综上所述，二面角问题是高中数学学习过程中的重要知识点，其具有较多的理论知识，并且需要以严谨的数学思维为基础，应用平面向量解决二面角问题能够使得几何问题得到一定的简化，让我们在解题过程中能够更加细心和精准，对于提升我们的数学学习能力有重要的意义。
参考文献：
[1]赵雄.浅析向量法求解二面角[J].求知导刊，2014（06）：104
[2]裴小伟.平面向量在立体几何中的应用[J].中学生数理化：高中版·学研版，2011
