MATLAB在质点运动轨迹中的应用*

李 洁 梁冬梅 罗志荣

(玉林师范学院物理科学与工程技术学院 广西 玉林 537000)

MATLAB在质点运动轨迹中的应用*

李 洁 梁冬梅 罗志荣

(玉林师范学院物理科学与工程技术学院 广西 玉林 537000)

在物理教学中，质点运动轨迹问题是一个常见的问题.根据质点的运动方程，应用Matlab软件的绘图功能绘制出质点的运动轨迹，能够让学生更容易理解和掌握物理规律，领会其中的奥妙.

质点 运动轨迹 Matlab

物理学中，质点是一个比较普遍的研究对象，有些质点的运动方程比较复杂，学生难以根据运动方程构建质点的空间运动轨迹.本文对质点的运动轨迹问题进行分析讨论，应用Matlab描绘出质点的运动轨迹.Matlab软件具有功能强大、简单易学、界面友好、图像清晰直观等特点，在工程计算、数值分析领域均有广泛应用[1].在大学物理教学中应用Matlab来辅助教学，不仅可以将抽象问题形象化，而且能够增强学生对物理的直观感性认识，激发学生的学习兴趣，提高教学效果[2,3].

1 应用实例

案例1：在光滑水平面上有一个半径为R，质量为M的均匀圆环，在环内壁有一个质量为m的质点做无摩擦的滑动(M>m).以环心O为原点，如图1所示，建立xOy固定地面坐标系.开始时，圆环静止，质点位于(0，R)处，速度沿x轴正方向，大小为v0.求该质点、环心在固定地面坐标系xOy，以及质点相对于环心的运动轨迹[4].

图1 光滑水平面上的圆环

题意分析：圆环质量分布均匀，可看成质量集中于O点.圆环和质点组成的质心系的质心C到O的距离为rC，质点和环心到质心的距离为rm和rM，有

(1)

根据动量守恒得

(M+m)vC=mv0

(2)

式中，vC是系统的质心速度.

整个系统不受水平外力的作用，根据角动量定理，可得环心和质点绕质心C的角速度ω为

(3)

根据式(1)～(3)，可求得质点、环心在固定地面坐标系xOy及质点相对于环心的运动方程，它们分别为

(4)

(5)

(6)

根据式(4)～(6)，取m=10 kg，M=20 kg，v0=5 m/s，R=5 m，ω=1 rad/s，利用Matlab编程可得质点运动轨迹y1和环心运动轨迹y2，如图2所示，质点相对于环心的运动轨迹，如图3所示.

图2 质点和环心的运动轨迹

图3 质点相对于环心的运动轨迹

由图2可见，质点、环心做周期运动.应用Matlab进行数值模拟可直接求得当x=10.472 0 m时，质点、环心刚好运动了一个周期.质点从x=0开始运动，到达最低点后，沿着关于x=5.236 0 m对称的轨迹继续运动，完成一个周期.环心从x=0开始运动，在一个周期内，随着x的增大，y2先增大后减小.由图3可见，质点相对于环心的运动轨迹是一个圆.

案例2：如图4所示，质点A做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω1，质点B绕质点A做半径为r的匀速圆周运动，角速度为ω2，求质点B在xOy坐标系中的运动轨迹[5].

图4 质点B绕质点A做匀速圆周运动

题意分析：质点B绕质点A做匀速圆周运动，质点A又绕O做匀速圆周运动，得质点B在xOy坐标系中的运动方程为

(7)

(a)R=10 m,r=10 m

(b)R=10 m,r=5 m图5 质点B的运动轨迹

此外，当ω1与ω2比值不同时，质点的回旋个数也不同.此情况下质点B的运动轨迹如图6所示.图6(a)、(b)、(c)中质点回旋个数分别为2，5，6.可见，质点的回旋个数等于角速度比之差的绝对值.

图5和图6中质点的轨迹还可以在Matlab的figure窗口做动态演示.只需在Matlab的Command Window中改变参数ω1，ω2，R，r的值，就可得到质点B不同的运动轨迹，从而探究质点的运动规律.

(a)ω1∶ω2=1∶3

(b)ω1∶ω2=1∶6

(c)ω1∶ω2=1∶7图(a)、(b)R=10 m,r=10 m;图(c)R=10 m,r=5 m图6 ω1与ω2比值不同时质点B的运动轨迹

案例3：两相互垂直的简谐振动的运动学方程为x=A1cos(ω1t+α1)，y=A2cos(ω2t+α2)，若质点同时参与上述二振动，求质点的运动轨迹[7].

题意分析：已知质点的二分振动运动学方程为

(8)

式(8)中，取A1=2 m，A2=3 m，利用Matlab编程可得质点的运动轨迹，如图7所示的李萨如图.由图7(a)、(c)可见，当初相位差α1-α2相同，ω1与ω2不同时,质点的运动轨迹变得复杂.由图7(b)可见，α1-α2=0时，改变ω1和ω2的值可得质点不同的运动轨迹.

可见，该质点运动轨迹曲线与初相位差和角速度密切相关.

(a)ω1=ω2=1

(b)α1-α2=0

(c)初相位差及ω1，ω2均不同图中ω1和ω2的单位为rad/s图7 不同情况下质点的运动轨迹

2 总结

由上述案例分析可见，根据质点的运动方程，利用Matlab强大的绘图功能，可以绘制出质点的运动轨迹曲线.同时也可以在Matlab的figure窗口做动态演示，进一步探讨质点运动轨迹中的规律.在物理教学中应用Matlab来辅助教学，通过形象的图形将抽象问题直观化，有助于增加学习的趣味性，让学生更容易理解和掌握物理规律，领会其中的奥妙.

1 张志涌,杨祖樱.MATLAB教程.北京:北京航空航天大学出版社,2010

2 周小奋.Matlab在中学物理教学中的应用初探.物理通报,2011,40(10):68～71

3 魏丽霞,劳家盛,黎雪,等.Matlab在电磁学最值问题中

的应用.物理通报,2016,35(9):62～64 4 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程.合肥：中国科学技术大学出版社,2013.79～81

5 江浩宁,江博渊.参数方程——“攻克”相对运动的“利器”.物理教学,2016,38(1):16～16

6 姜付锦.月球绕太阳运动轨迹的研究.2011年中国教育学会物理教学专业委员会年会暨全国物理教学研讨会.http://www.pep.com.cn/gzwl/jszx/ztts/2011hybd/2z/201202/t20120223_1102973.htm

7 漆安慎,杜婵英.普通物理学教程：力学(第3版).北京:高等教育出版社,2012.12

ApplicationonMATLABinParticleMotionTrajectory

LiJieLiangDongmeiLuoZhirong

(CollegeofPhysicsScienceandEngineering,YulinNormalUniversity,Yulin,Guangxi537000)

Particle motion trajectory is a common problem in the physics teaching. This article in accordance with the motion equation of trajectory, by using the drawing function of Matlab, to draw the motion trajectory of particle, so that physics law can be understood and mastered more easily by the students, and then get the secret of it.

particle; motion trajectory; Matlab

*广西高等教育本科教学改革工程项目，项目编号：2016JGA308；广西高校大学生创新创业训练计划项目，项目编号：201510606165,201510606170

李洁(1997- )，女，在读本科生，物理专业.

罗志荣(1981- )，男，博士，副教授，主要从事大学物理的教学及材料微观结构的数值模拟研究.

2016-10-31)